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3.双曲线的简单几何性质


双曲线的 简单几何性质(3)

2 2 x y 方程 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 性质 a b

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

图形

范围 对称性 顶点坐标

B1 (0,?b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B

1B2叫短轴
c e ? , (0 ? e ? 1) a

x ? ?a或x ? a, y ? R 关于x, y轴及原点对称 关于x, y轴及原点对称 A1 (?a,0), A2 (a,0) A1 (?a,0), A2 (a,0)
A1 A2叫实轴, B1B2叫虚轴
c e ? , (e ? 1) a

? a ? x ? a,?b ? y ? b

离心率

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b
b 直线 y ? ? x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1的渐进线为 2 ? 2 ? 0 a b a b

y

b y? x a

O

x
y?? b x a

a2 点 M ( x,y )与定点F (c, 0)的距离和它到定直线 l:x? 的 例1、 c c 距离的比是常数 (c ? a ? 0),求点M的轨迹 . a y l 解: 设 d是点M到直线l的距离,则 d .M | MF | c ? d a
即 ( x ? c) 2 ? y 2 c ? . 2 a a | x? | c

.

O

.

F

x

化简 (c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 ? a 2 ? b2 ,则 方程化为 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) a b

? 点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.

双曲线的第二定义:
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e ? (e ? 1),则这个点的轨迹是双曲线. a
“三定”: 定点是焦点;定直线是准线;

l' y

l d .M

定值是离心率.
F’

x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1中 : a b

.

O

.

x

F

a2 右焦点F2 (c, 0),对应的右准线方程是 x ? ; c a2 左焦点F1 (?c, 0)对应的左准线方程是x ? ? . c

y x 双曲线 2 ? 2 ? 1中 : a b a2 上焦点F2 (0, c),对应的上准线方程是 y ? ; c
a2 下焦点F1 (0 , ? c)对应的下准线方程是 y ? ? . c

2

2

例2、以坐标轴为对称轴的双曲线,一条 准线方程为y=4,焦距为12,求此双曲线 的标准方程. 练习: 1、3y2-x2=1的准线方程是___________, 渐近线方程是_______________. 2、若双曲线 上一点P到左、右 焦点的距离之比为1∶2,则P到右准线的 距离为_______________.

x2 y 2 例3、已知双曲线 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的焦点F ( )F2 (c,0), 1 ? c,0 a b | PF P( x0 , y0 )是双曲线右支上任意点 ,求证: 1 |? a ? ex0 ,

| PF2 |? ?a ? ex0 其中e为双曲线的离心率.
a2 证明: ? 双曲线的左准线为 x?? c

l' y

l

P.

| PF1 | c ? ?由双曲线的第二定义得: 2 a a x0 ? c

整理得:| PF 1 |? a ? ex0

F1

.

O

.

F2

x

| PF2 |?| PF 由双曲线的第一定义得: 1 | ?2a ? ?a ? ex0

| PF 1 |min ? c ? a

说明:|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径.

x2 y 2 例4、已知双曲线 ? ? 1右支上一点P到右焦点的距离等于8, 64 36 求点P到双曲线左准线的距离。
法1:

l' y

l

法2:

P.

l' y

l

P.

F1

.

O

.

F2

x

F1

.

O

.

F2

例5、求与双曲线 有共同渐近 线,且焦点在x轴上,且两准线间的距离 144 为 的双曲线方程.
5

分析:与 程可设为

有共同渐近线的方 ( )

作业:
1、求中心在原点,坐标轴为对称轴,一条渐进 ? 线的倾斜角为 ,一条准线方程为x=6的双曲
6

线的标准方程。

2、求与双曲线x2/2-y2=1有公共渐近线且以 y=-3为准线的双曲线的标准方程.


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