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广东高考理科数学前四道解答题限时训练31-40

时间:2017-08-17


珠海市第二中学

刘诗彪编

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得分

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 31 16. (12 分)已知 ?

17. (14 分)甲、乙两名同学在 5 次英语口语测试中的 成绩统计如图 5 的茎叶图所示.

>
? 0 ,函数

f ( x) ? sin(? x ? ) ? 3 cos(? x ? ) 3 3
的最小正周期为 ? .

?

?

(1)现要从中选派一人参加英语口语竞赛,从两同 学的平均成绩和方差分析,派谁参加更合适; (2)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次英 语口语竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于 80 分 的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? . (样本数据 x1 , x2 , x3 ,?, xn 的方差

7? (1)求 f ( ) 的值; 12
(2)若 ?ABC 满足

f (C ) ? f ( B ? A) ? 2 f ( A) .

证明: ?ABC 是直角三角形.

s2 ?

2 2 2 1 其中 x 表示样 x1 ? x ? x 2 ? x ? ? ? x n ? x , n

??

? ?


?

?

??

本均值) .

乙 5 7 8 9 图5 7 3 7 6 7

7 3

5 0

1

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18. (14 分)如图 6,四棱柱 ABCD ? 面 ABCD 是平行四边形, ?ABC 且

A1 B1C1 D1 的底

19. (12 分)已知直线 x ?

3 y ? 3 ? 0 经过椭圆

? 60 0 ,AB ? 1 ,

BC ? 2 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD .
(1)证明:平面 A1 AE (2)若 DE 角的余弦值. A1 B1 D1 C1

C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个顶点 B 和 a2 b2

? 平面 A1 DE ;

一个焦点 F . (1)求椭圆的离心率; (2)设 P 是椭圆 C 上动点,求 || 值范围,并求 ||

? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成

PF | ? | PB || 的取

PF | ? | PB || 取最小值时点 P 的坐标.

A

D

B

E 图6

C

2

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 32 16. 分) (12 已知

17. (12 分)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等 级系数 ? 依次为 1,2,?,8,其中 ? ? 5 为标准 A ,

f ( x) ? sin x ? cos(? ? x), x ? R .

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值和最小值; (3)若 f (? ) ?

? ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量
越好,已知某厂执行标准 B 生产该产品,且该厂的产品 都符合相应的执行标准. (1)从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的 等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

1 ? ,? ? (0, ) ,求 sin ? ? cos? 的值. 4 2

该行业规定产品的等级系数 ? ? 7 的为一等品, 等级 系数 5 ? ? ? 7 的为二等品,等级系数 3 ? ? ? 5 的为三 等品,试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品 率和三等品率; (2) 已知该厂生产一件该产品的利润 y(单位: 元) 与产品的等级系数 ? 的关系式为:

?1, 3 ? ? ? 5 ? y ? ? 2 , 5 ? ? ? 7 ,从该厂生产的产品中任取一件, ?4 , ? ? 7 ?
其利润记为 X ,用这个样本的频率分布估计总体分布, 将频率视为概率,求 X 的分布列和数学期望.

3

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18. (14 分)已知函数

1 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? 2 x ? a , 3

19. (14 分)如图①边长为 1 的正方形 ABCD 中,点 E、 分别为 AB、 的中点, F BC 将△BEF 剪去, 将△AED、 △DCF 分别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点重合于点

x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点.
(1)求函数

f ( x) 的单调区间;
f ( x) ? 2 ? a 2 恒成立, 3

(2)若当 x ?[1, ??) 时, 求 a 的取值范围.

P 得一三棱锥如图②所示. (1)求证: PD ? EF ; (2)求三棱锥 P ? DEF 的体积; (3)求 DE 与平面 PDF 所成角的正弦值. A D

E

B D

F 图①

C

P 图② E

F

4

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 33 16. (12 分)已知数列 {an } 是一个等差数列, 且 a2

17. (13 分)2012 年春节前,有超过 20 万名广西、四 川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国道长 途跋涉返乡过年,为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶, 手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故,肇庆市公安交警

? 1 , a5 ? ?5 .

(1)求 {an } 的通项 an ; (2)设 cn 求T

部门在 321 国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人 员休息站,让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车 休息的场所.交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息 的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就进行省籍询问一次,询 问结果如图 3 所示:

?

5 ? an , bn ? 2cn , 2

? log 2 b1 ? log 2 b2 ? log 2 b3 ? ? ? log 2 bn 的值.

(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采 用的是什么抽样方法? (2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进 行抽样,若广西籍的有 5 名,则四川籍的应抽取几名? (3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名,求抽取的 2 名驾驶人员中四川籍人数 ? 的分布列及其均值.

5

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18. (13 分)已知 ?ABC 的面积为 2

2 ,角 A, B, C 的

19. (14 分) 如图, 已知斜三棱柱 (侧棱不垂直于底面)

对边分别为 a, b, c , 已知 a ? 3, b ? 4 , ? C 0 (1)求 sin( A ? B) 的值; (2)求 cos(2C ?

? 90o .

ABC ? A1B1C1 的侧面 A1 ACC1 与底面 ABC 垂直,
BC ? 2, AC ? 2 3 , AB ? 2 2 ,AA1 ? A1C ? 6 .
(1)求侧棱 B1 B 在平面 A1 ACC1 上的正投影的长度. (2)设 AC 的中点为 D ,证明 A1 D ? 底面 ABC ; (3) 求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值. A1 B1 C1

) 的值; 4 ??? ???? ? ??? ???? ? (3)求向量 CB, AC 的数量积 CB ? AC .

?

D A B C

6

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 34

17. (12 分)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一 种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工 的零件不是一等品的概率为

? 3 3 16. (12 分)已知向量 a ? (cos x ,sin x) , 2 2 ? x x ? ? b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [? , ] . 2 2 6 3
(1)求 a ? b 及|a ? b ; |

1 , 乙机床加工的零件是一 4
1 , 甲、 12

? ?

?

?

等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为

? ? ? ? (2)若 f ( x) ? a ? b? | a ? b | ,求 f ( x) 的值域.

丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为

2 . 9

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是 一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验, 求至少有一个一等品的概率.

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18. (14 分) 如图 1, 在正三角形 ABC 中, 已知 AB=5, E、 P 分别是 AB、 F、 AC、 边上的点, AE ? 2 x , BC 设

19. (14 分) 在直角坐标平面 xoy 中, 已知点 F1 (?5, 0) 与点 F2 (5, 0) ,点 P 为坐标平面 xoy 上的一个动点, 直线 PF1 与 PF2 的斜率 k PF 与 K PF 都存在,
1 2

CF ? CP ? x , 0 ? x ?

5 ,将 ?ABC 沿 EF 折起到 2

?A1 EF 的位置,使二面角 A1—EF—B
连结 A1B、A1P(如图 2) . (1)求证:PF//平面 A1EB; (2)若 EF (3) EF 当

? 的大小为 , 2

且 k PF ? k PF ? ? , ? 为一个常数. 1 2 (1)求动点 P 的轨迹 T 的方程,并说明轨迹 T 是什 么样的曲线; (2)设 A、B 是曲线 T 上关于原点对称的任意两点, 点 C 为曲线 T 上异于点 A、B 的另一任意点,且直线 AC 与 BC 的 斜 率

? 平面 A1EB,求 x 的值;

求平面 A1BP 与平面 A1EF ? 平面 A1EB 时,

所成锐二面角的余弦值. A

k AC 与 k BC 都 存 在 , 若

E F B P C

k AC ? kBC ? ?

9 ,求常数 ? 的值. 25

图1 A1

E B 图2 P

F C

8

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 35 16. (12 分)设三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分 别为 a, b, c , a ? 4, c ? 13 , sin A ? 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小; (3)求三角形 ABC 的面积 S .

17. (12 分)一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球 恰好颜色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸 得白球的个数的分布列与期望.

9

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18. (14 分)如图,四边形 ABCD 为矩形, E 为 BC 上 的动点,且

19. (14 分)已知点 C (1, 0) ,点 A , B 是圆 x 2 上任意两个不同的点,且满足 AC ? BC AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 T 的方程;

? y2 ? 9

AD ? 2, AB ? 1 , PA ? 平面 ABCD .

???? ??? ?

(1)当 E 为 BC 的中点时,求证: PE ? DE ; (2)设 PA ? 1 ,在线段 BC 上存在这样的点 E ,使 得二面角 P ? ED ? A 的平面角大小为 的位置. P

? 0 ,设 P 为弦

? , 试确定点 E 4

(2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直 线 x ? ?1 的距离恰好等于到点 C 的距离?若存在,求 出这样的点的坐标;若不存在,说明理由. A D A y ·P B x O C

B 第 18 题图

E

C

10

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 36 16. (12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为

17. (14 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面

? E ABC , BAC ? 900 , ? BC ? CA ? 2 , 为 PC PB
的中点,点 F 在 PA 上,且 2PF (1)求证:平面 PAC

a , b , c ,满足 A ? C ? 2B ,且 cos( B ? C ) ? ?
(1)求 cosC 的值; (2)若 a ? 5 ,求 ?ABC 的面积.

11 . 14

? FA .

? 平面 BEF ;

(2)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面 角(锐角)的余弦值. P

E

F

C

B

A

11

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18. (13 分)佛山某学校的场室统一使用“佛山照明” 的一种灯管,已知这种灯管使用寿命 ? (单位:月)服 从正态分布 N ( ? , ?
2

19. (12 分)已知圆 C1 : ( x ? 4)2

? y2 ? 1,

圆 C2 : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,动点 P 到圆 C1 , C2 上点的 距离的最小值相等. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)点 P 的轨迹上是否存在点 Q ,使得点 Q 到 点 A(?2

且使用寿命不少于 12 个月的概 ),

率为 0.8,使用寿命不少于 24 个月的概率为 0.2. (1)求这种灯管的平均使用寿命 ? ; (2)假设一间功能室一次性换上 4 支这种新灯管, 使用 12 个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换下 (中途不更换),求至少两支灯管需要更换的概率.

2 , 0) 的距离减去点 Q 到点 B (2 2 , 0) 的

距离的差为 4,如果存在求出 Q 点坐标,如果不存在 说明理由.

12

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姓名 17. (12 分)已知 ?

用时

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 37 16. (12 分)某工厂生产某种产品,已知该产品的月 生产量 x (吨)与每吨产品的价格 关系式为:

? 0 ,函数

f ( x) ? 2 sin ?x ? cos?x ? 2 3 cos2 ?x ? 3 ,
直线 x

p (元/吨)之间的

? x1 ,x ? x2 是 y ? f (x) 图象的任意两条对称

p ? 24200 ? 0.2 x

2

,且生产 x 吨的成本

轴,且 |

x1 ? x2 | 的最小值为

? . 2

为 R ? 50000 ? 200 x (元) .问该厂每月生产多少吨 产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?

(1)求 ? 的值; (2)若

f (? ) ?

2 5? ,求 sin( ? 4? ) 的值. 3 6

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18. (14 分)甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜 者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

19. (14 分)已知斜三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 的底面是

直角三角形, ?ACB ? 900 ,侧棱与底面所成角为 ? , 点 B1 在底面上的射影 D 落在 BC 上. (1)求证: AC ? 平面 BB1C1C ; (2)若 cos ?

1 p( p ? ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结 2
束时比赛停止的概率为 (1)求

5 . 9

p 的值;

(2) ? 表示比赛停止时比赛的局数, 设 求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .

1 ? ,且当 AC ? BC ? AA1 ? 3 时, 3

求二面角 C ? AB ? C1 的大小. B1 C1 A1

B D C

A

14

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 38 16. (12 分)在 ?ABC 中,角

17(12 分)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率 分别是

A, B, C 的对边分别为

2 3 和 假设两人射击是否击中目标,相互之间 3 4

a , b , c , S 是该三角形的面积.
B ? (1)若 a ? (2sin cos B ,sin B ? cos B) , 2 ? ? ? B b ? (sin B ? cos B , 2sin ) ,且 a / / b , 2
求角 B 的度数; (2)若 a ? 8 , B

没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也 没有影响. (1)求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率; ... (2) 假设某人连续 2 次未击中目标, 则停止射击, 问: ... 乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是多少? (3)设甲连续射击 3 次,用 ? 表示甲击中目标时射击 的次数,求 ? 的数学期望 E? . (结果可以用分数表示)

?

2? , S ? 8 3 ,求 b 的值. 3

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18. (14 分)如图, 四边形 ABCD 中(图 1) E 是 BC , 的中点, AB ?

19(14 分)已知函数

AD ? 2 , DB ? 2 , DC ? 1 ,

f ? x? ?

x2 4a ? 1 ? (1 ? 2a) x ? ln(2 x ? 1) . 2 2
? 1 时,求函数 f ( x) 极大值和极小值;

BC ? 5 .将(图 1)沿直线 BD 折起,使二面角
. A ? BD ? C 为 600 (如图 2) (1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离. D C D A . E 图1 B B A

(1)设 a

(2) a ? R 时讨论函数

f ( x) 的单调区间.

C E 图2

16

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 39 16. (12 分)已知函数

17. (12 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有 关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 50 不喜爱打篮球 5 合计

f ( x) ? 2cos 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x ? 1(? ? 0)
的最小正周期为 ? . (1)求

f ( ) 的值; 3

?

(2) 求函数 方程.

f ( x) 的单调递增区间及其图象的对称轴

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的 学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2) 能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为 喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱 打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布列与期望. 下面的临界值表供参考:

3 5

P( K ? k )
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K 2

?

n(ad ? bc) 2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

其中 n ? a ? b ? c ? d )

17

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18.(14 分)三棱柱

ABC ? A1 B1C1 的直观图及三视图

19. (14 分)已知函数

f ( x) ? log m x ( m 为常数,

(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形) 如图, D 为 AC 的中点. (1)求证: AB1 // 平面 BDC1 ; (2)求证: A1C

,且数列 ? f ( a n )? 是首项为 2,公差为 2 的 0 ? m ? 1) 等差数列.

? 平面 BDC1 ;

(1)若 bn

? a n ? f (a n ) ,当 m ?

2 时, 求数列 ?bn ? 2

(3)求二面角 A ? BC1 ? D 的正切值.

的前 n 项和 S n ; (2) cn 设

? an ? lg an ,如果 ?cn ? 中的每一项恒小于它

2 后面的项,求 m 的取值范围. 正视图 2 2 俯视图 B1 D B 侧视图 A1 A

C1

C

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 40 16. (12分)已知函数 (1)求

17. (12分)如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组 (每小组4人)在期末考试中的数学成绩.乙组记录中 有一个数据模糊, 无法确认, 在图中以 a 表示. 已知甲、 乙两个小组的数学成绩的平均分相同. (1)求 a 的值; (2)求乙组四名同学数学成绩的方差; (3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学, 记这两名同学数学成绩之差的绝对值为 变量 X 的分布列和均值(数学期望) .

? f ( x) ? tan(3x ? ) . 4

? f ( ) 的值; 9 3? ? ? (2)设 ? ? (? , ) ,若 f ( ? ) ? 2 , 2 3 4
求 cos(?

? ) 的值. 4

?

X ,求随机

甲组 9 6 7 6 8 9 7 a

乙组

3

5

图4

19

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18 . 14 分 ) 如 图 5 所 示 , 在 三 棱 锥 (

P ? ABC 中 ,

19. (14 分)等比数列

?an ? 的各项均为正数,已知

AB ? BC ? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,

2a4 , a3 , 4a5 成等差数列,且 a3 ? 2a2 2 .
(1)求数列

PD ? AC 于点 D ,AD ? 1 ,CD ? 3 ,PD ? 3 .
(1)证明 ?PBC 为直角三角形; (2)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值. P

?an ? 的通项公式;
2n ? 5 a ,求数列 ?bn ? 的 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n

(2)设 bn

?

前 n 项和 S n .

D A B 图5 C

20


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