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线性规划问题


高考数学线性规划常见题型及解法
线性规划问题是高考的重点,也是常考题型,属于中等偏简单题易得分,高考中要求会 从实际情景中抽象出二元一次不等式组且能用平面区域表示, 会从实际情景中抽象出一些简 单的二元线性规划问题,并能加以解决。现就常见题型及解决方法总结如下:

一、求线性目标函数的最值;
例题:(2012 年广东文 5)已知变量 x,

y 满足条件
A
y

?x ? y ? 1 ? ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ?1 ? 0 ?
A.3 B.1 C.-5 D.-6

O

B

x

C

解析:利用线性规划知识求解。 可行域如图阴影所示, 先画出直线 l0 : y ? ? 当直线过点 A 时, z ? x ? 2 y 的值最小,得

1 平移直线 l0 , x, 2

? x ? ?1 ? x ? ?1 ? A(?1, ?2),? zmin ? ?1 ? 2 ? (?2) ? ?5 ? ? ? x ? y ? 1 ? 0, ? y ? ?2,
探究提高:本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力,数形结合思想及运算 求解能力,难度适中。

二、求目标函数的取值范围;
?x ? 2 y ? 2 ? 例题: (2012 山东文 6)设变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 , ? 4 x ? y ? ?1 ?
则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是
B

y
A

O

C

x

? 3 ? ? 3 ? A.? ? , 6? B.? ? , ?1? ? 2 ? ? 2 ?

C. ? ?1, 6?

3? ? D.? ?6, ? 2? ?

解析:作出不等式组表示的区域,如图阴影部分所示,作直线 3x ? y ? 0 ,并向上、向下 平移,由图可得,当直线过点 C 时,目标函数取得最大值,当直线过点 A 是,目标函数取 得最小值,由 ?

?x ? 2 y ?1 ? 0 ?4 x ? y ? 1 ? 0 1 , 得A(2, 0) ;由 ? , 得B( ,3) 2 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?2 x ? y ? 4 ? 0

1 3 ? 3 ? 6 ? zmax ? 3 ? 2 ? 0 ? 6, zmin ? 3 ? ? 3 ? ? ,? z ? 3x ? y的取值范围是 ?- , 2 2 ? 2 ? ?
1

探究提高:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条条件,取得目标函数的最大(小) 值,进一步确定取值范围

三、求约束条件中参数的取值;
? x ? y -3 ? 0 ? 例题:(2012 福建文 10)若直线 y ? 2 上存在点 ( x, y ) 满足条件 ? x -2y -3 ? 0 , 则实数 m 的最 ?x ? m ?
x

大值为





A.1 -

B.1

3 C. 2

D.2
x

解析:在同一直角坐标系中函数 y?2 的图像及

?x ? y ? 3 ? 0 ,所表示的平面区域图阴影部分所示。由图可 ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0
知,当 m ? 1 时,函数 y ? 2 的图像上存在点(x, y )满足约束
x

条件,故 m 的最大值为 1. 探究提高: 本题是线性规划的综合应用, 解决这类问题的关键是利用树形结合的思想方法, 给目标函数赋予一定的几何意义。

四、求线性规划问题的整点问题;
例题:设等轴双曲线 y ? x ? 1 的两条渐近线与直线 x ? 2 围城的三角形区域(包含边界)为
2 2

M , p(x, y)为 M 内的一个动点,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值___________.
解析:等轴双曲线的渐近线为 x ? y ? 0 和 x ? y ? 0 .它们和
y=x C

?x ? y ? 0 ? x ? 2 共同围城的三角形区域为 ? x ? y ? 0 ,即图中阴影部分, ?x ? 2 ?
由图像可知当直线经过点 C 时,Z 最大,点 C 的坐标为( 2,2), 此时 z ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 。

Y

x=2 y=-x

X

探究提高: 本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。 验证法或排除法是最效的方法。

五、求可行域的面积;

2

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例题、不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域的面积为 ?y ? 2 ?
A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解:如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯形 OMBC 的面积减去梯形 OMAC 的面积即可,选 B 探究提高:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面 区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。





Y
2x+ y-6= 0 x+ y-3= 0 B y= 2 A M C

X

六、(2012 年咸阳模拟)求非线性目标函数的最值;
?x ? y ?1 ? 0 y ? 例题:实数 x , y 满足 ? x ? 0 , (1)若 z ? ,求 z 的取值围; x ?y ? 2 ?
(2)若 z ? x +y ,求 z 的最大值与最小值,并求 z 的取值范围.
2 2

?x ? y ?1 ? 0 ? 解析:由 ? x ? 0 ,作出可行域如图中阴影 ?y ? 2 ?
y y 部分所示 (1)z= 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此 的取值范围为直线 x x OB 的斜率到直线 OA 的斜率(OA 斜率不存在).而由 ? 2 则 kOB= =2.∴zmax 不存在,zmin=2, 1 ∴z 的取值范围是[2,+∞) (2)z=x2+y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方. 因此 x2+y2 的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.

?x ? y ?1 ? 0 ,得得 B(1,2), ?y ? 2

?x ? y ?1 ? 0 ,得 A(0,1),∴|OA|2=( 02+12)2=1,|OB|2=( 12+22)2=5. ? x ? 0 ?
∴z 的最大值为 5,没有最小值.故 z 的取值范围是(1,5]. 探究提高:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提 下,作出可行域,寻求最优解。

七、求线性规划的简单应用;
例题: (2012.江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不

3

超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表: 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

总利润为使一年的种植 (总利润=总销售收入-总种植成本)最大, 那么黄瓜和韭菜的种植 面积(单位:亩)分别为 A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 ( )

解析 :设种植黄瓜 x 亩,韭菜 y 亩,则由题意可知,求

? x ? y ? 50 ? 目标函数 z ? x ? 0.9 y 的最大值 ?1.2 x ? 0.9 y ? 54 , 根据 ? x, y ? N ? ?
题意画可行域如图阴影所示。当目标函数 l 向右平移,移 至点 A(30, 20) 处时, 目标函数取得最大值, 即当黄瓜种 植 30 亩,韭菜 20 亩时,种植总利润最大。 探究提高:解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线 性约束条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)解答

4


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