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2010届高考数学总复习:第四章第一节:三角函数的概念、同角三角函数[精品题库](共12章)

时间:2010-02-18


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第四章 第一节

三角函数及三角恒等变换

三角函数的概念, 三角函数的概念,同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 五年高考荟萃

2009 年高考题 一,选择题
海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题: 1

.(2009 海南宁夏理,5)

p1 : x ∈ R, sin 2
p3 : x ∈ [ 0, π ] ,
其中假命题的是 A. p1 , p4 答案 A

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : x,y ∈ R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy x+y=

1 cos 2 x =sinx 2

π
2

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4

2..(2009 辽宁理,8)已知函数 f ( x ) =Acos( ω x + )的图象如图所示, f ( ) =

π

2

2 ,则 f (0) =( 3

)

A. 答案

2 3
C

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

3.(2009 辽宁文,8)已知 tan θ = 2 ,则 sin θ + sin θ cos θ 2 cos θ = (
2 2

)

A. 答案

4 3
D

B.

5 4

C.

3 4

D.

4 5

4.(2009 全国 I 文,1) sin 585 °的值为 A. 答案

2 2
A

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 2

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5.(2009 全国 I 文,4)已知 tan a =4,cot β = A.

1 ,则 tan(a+ β )= 3
D.

(

)

7 11
B

B.

7 11

C.

7 13

7 13

答案

6.(2009 全国 II 文,4) 已知 ABC 中, cot A = A.

12 , 则 cos A = 5
D.

12 13

B.

5 13

C.

5 13

12 13

解析:已知 ABC 中, cot A =

12 π ,∴ A ∈ ( , π ) . 5 2

cos A =

1 1 + tan A
2

=

1 5 1 + ( ) 2 12

=

12 13

故选 D.

7.(2009 全国 II 文,9)若将函数 y = tan(ωx +

π
4

)(ω > 0) 的图像向右平移
)

π
6

个单位长度后,与函数

y = tan(ωx +
A.

π
6

) 的图像重合,则 ω 的最小值为(
B.

1 6
D

1 4

C.

1 3

D.

1 2

答案

8.(2009 北京文) α = " A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 答案 A

π
6

"是" cos 2α =

1 "的 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念,简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识, 基本运算的考查. 当α =

π
6

时, cos 2α = cos

π
3

=

1 1 π π ,反之,当 cos 2α = 时, 2α = 2kπ + α = kπ + ( k ∈ Z ) , 2 2 3 6

或 2α = 2kπ

π
3

α = kπ

π
6

( k ∈ Z ) ,故应选 A.
1 " 的 2
( )

9. 2009 北京理) α = ( " A.充分而不必要条件

π
6

+ 2kπ (k ∈ Z ) "" cos 2α = 是

B.必要而不充分条件

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C.充分必要条件 答案 A

D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查三角函数的基本概念, 简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识, 基本运算的考查. 当α =

π

π π 1 + 2kπ (k ∈ Z ) 时, cos 2α = cos 4kπ + = cos = 6 3 3 2
1 π π 时,有 2α = 2kπ + α = kπ + ( k ∈ Z ) , 2 3 6
α = kπ

反之,当 cos 2α = 或 2α = 2kπ

π
3

π
6

( k ∈ Z ) ,故应选 A.
12 ,则 cos A = 5
D.

10.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A = A.

12 13

B.

5 13

C.

5 13

12 13

答案:D 解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA=

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 和 B,再由 5

cot A =

cos A 12 12 = , 和 sin 2 A + cos 2 A = 1求得 cos A = 选 D sin A 5 13

11.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x ) = sin( x A. 函数 f (x ) 的最小正周期为 2 π B. 函数 f (x ) 在区间[0,

π
2

)( x ∈ R ) ,下面结论错误的是 ..

π
2

]上是增函数

C.函数 f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称 D. 函数 f (x ) 是奇函数 答案 D 解析∵ f ( x ) = sin( x

π
2

) = cos x ,∴A,B,C 均正确,故错误的是 D

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误. 易错提醒】 12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ABC 中, cot A = A.

12 , 则 cos A = ( 5 5 13

) D.

12 13

B.

5 13

C.

12 13

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解析:已知 ABC 中, cot A =

12 π ,∴ A ∈ ( , π ) . 5 2

cos A =

1 1 + tan A
2

=

1 5 1 + ( ) 2 12

=

12 13

故选 D.

答案 D 13.(2009 湖北卷文) "sin α = A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由 cos 2a =
1 1 "是" cos 2α = " 的 ( 2 2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 可得 sin 2 a = ± ,故 sin a = 2 2

1 1 2 是 sin a = 成立的充分不必要条件,故选 A. 2 4
)
0 0 0

14.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 < cos10 < sin168
0 0 0 0 0 0 0

B. sin168 < sin11 < cos10
0

C. sin11 < sin168 < cos10
0

D. sin168 < cos10 < sin11

答案 C 解析 因为 sin160° = sin(180° 12° ) = sin12° , cos10° = cos(90° 80° ) = sin 80° ,由于正弦函数

y = sin x 在区间 [0° ,90° ] 上为递增函数,因此 sin11° < sin12° < sin 80° ,即 sin11° < sin160° < cos10°
二,填空题 15.(2009 北京文)若 sin θ = 答案

4 , tan θ > 0 ,则 cos θ = 5

.



3 5
属于基础知识,基本运算的考查.
2

解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.

由已知, θ 在第三象限,∴ cos θ = 1 sin θ = 1

3 3 4 = ,∴应填 . 5 5 5

2

16.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x ) = f '( ) cos x + sin x, 则 f ( ) 的值为

π

π

4

4

.

答案 1 解析 因为 f '( x ) = f '( ) sin x + cos x 所以 f '( ) = f '( ) sin

π

π

π

π
4

4

4

4

+ cos

π
4

f '( ) = 2 1 故 f ( ) = f '( ) cos + sin f ( ) = 1 4 4 4 4 4 4

π

π

π

π

π

π

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三,解答题 17.(2009 江苏,15)设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , 4 sin β ) (1)若 a 与 b 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ‖ b . 分析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式,二倍角的正弦,两角和的 正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力.

18.(2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12 12分) 12 已知向量 a = (sin θ ,2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ) =

π
2

).

10 π , 0 < < ,求 cos 的值. 10 2
2

解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a b = sin θ 2 cos θ = 0 ,即 sin θ = 2 cos θ ,代入 sin

θ + cos 2 θ = 1 得

sin θ = ±
∴ sin θ =

2 5 5 π , cos θ = ± ,又 θ ∈ (0, ) , 5 5 2 2 5 5 , cos θ = . 5 5

(2)∵ 0 < <

π
2

,0 <θ <

π
2

,∴

π
2

< θ <

π
2

,则 cos(θ ) = 1 sin (θ ) =
2

3 10 , 10

∴ cos = cos[θ (θ )] = cos θ cos(θ ) + sin θ sin(θ ) = 19.(2009 安徽卷理)在 ABC 中, sin(C A) = 1 , (I)求 sinA 的值; sinB=

2 . 2

1 . 3

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(II)设 AC= 6 ,求 ABC 的面积. 本小题主要考查三角恒等变换,正弦定理,解三角形等有关知识,考查运算求解能力. (Ⅰ)由 C A = ,且 C + A = π B ,∴ A =

π

π
4

2



B π B 2 B B ,∴ sin A = sin( ) = (cos sin ) , 2 4 2 2 2 2
C

∴ sin 2 A =

1 1 3 (1 sin B) = ,又 sin A> 0 ,∴ sin A = 2 3 3

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC = sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC = = sin B

6 1 3

3 3 = 3 2 ,又 sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B

=

3 2 2 6 1 6 × + × = 3 3 3 3 3 1 1 6 AC BC sin C = × 6 × 3 2 × =3 2 2 2 3
5 , AC = 3, sin C = 2 sin A

∴ S ABC =

20.(2009 天津卷文)在 ABC 中, BC = (Ⅰ)求 AB 的值. (Ⅱ)求 sin( 2 A

π
4

) 的值. AB BC BC = ,于是 AB = sin C = 2 BC = 2 5 sin C sin A sin A AB 2 + AC 2 BC 2 2 AB AC

(1)解:在 ABC 中,根据正弦定理,

(2)解:在 ABC 中,根据余弦定理,得 cos A = 于是 sin A = 1 cos A =
2

5 , 5 4 3 , cos 2 A = cos 2 A sin 2 A = 5 5

从而 sin 2 A = 2 sin A cos A =

sin(2 A

π
4

) = sin 2 A cos

π
4

cos 2 A sin

π
4

=

2 10

【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和余弦,两角差 的正弦等基础知识,考查基本运算能力. 21.(2009 四川卷文)在 ABC 中, A,B 为锐角,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且

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sin A =

5 10 ,sin B = 5 10

(I)求 A + B 的值; (II)若 a b =

2 1 ,求 a,b,c 的值.
5 10 ,sin B = 5 10

解(I)∵ A,B 为锐角, sin A = ∴ cos A = 1 sin A =
2

2 5 3 10 , cos B = 1 sin 2 B = 5 10 2 5 3 10 5 10 2 × × = . 5 10 5 10 2

cos( A + B ) = cos A cos B sin A sin B =
∵ 0 < A+ B <π ∴ A+ B =

π
4

…………………………………………6 分

(II)由(I)知 C = 由

3π 2 ,∴ sin C = 4 2

a b c = = 得 sin A sin B sin C

5a = 10b = 2c ,即 a = 2b, c = 5b
又∵ ∴ ∴

a b = 2 1 2b b = 2 1
a = 2, c = 5


b =1

…………………………………………12 分

22.(2009 湖南卷文)已知向量 a = (sin θ , cos θ 2sin θ ), b = (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan θ 的值; (Ⅱ)若 | a |=| b |, 0 < θ < π , 求 θ 的值. 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2 sin θ = cos θ 2 sin θ , 于是 4sin θ = cos θ ,故 tan θ =

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |=| b | 知, sin 2 θ + (cos θ 2sin θ ) 2 = 5, 所以 1 2sin 2θ + 4sin
2

θ = 5.

从而 2sin 2θ + 2(1 cos 2θ ) = 4 ,即 sin 2θ + cos 2θ = 1 ,

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于是 sin(2θ + 所以 2θ + 因此 θ =

π
4

)=

2 π π 9π .又由 0 < θ < π 知, < 2θ + < , 2 4 4 4

π
4

=

5π π 7π ,或 2θ + = . 4 4 4 3π . 4

π
2

,或 θ =

23.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin 2 A



π

的值 4

本小题主要考查正弦定理,余弦定理,同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦与余弦,两角差的正弦等 基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sin C BC = 2 BC = 2 5 sin A
AB 2 + AC 2 BD 2 2 5 = 2 AB AC 5

AB BC = sin C sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 cos 2 A = 从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A5 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= 5 5

π
4

)=sin2Acos

π
4

-cos2Asin

π
4

=

2 10

2005—2008 年高考题 2005— 一,选择题 1.(2008 山东)已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m = ( 3, 1),n = (cos A, A) .若 m ⊥ n ,且 a cos B + b cos A = c sin C ,则角 A,B 的大小分别为 sin
( )

A. , 答案 C

π π 6 3

B.

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

解析 本小题主要考查解三角形问题.∵ 3 cos A sin A = 0 ,

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∴A=

π
3

; sin A cos B + sin B cos A = sin 2 C ,

sin A cos B + sin B cos A = sin( A + B) = sin C = sin 2 C , C=

π
2

.∴B =

π .选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法. 6

2.(2008 海南,宁夏)

3 sin 70 =( 2 cos 2 10
C. 2 D.

)

A.

1 2

B.

2 2

3 2

答案 C 解析

3 sin 70 3 cos 20 3 (2 cos 2 20 1) = = = 2 ,选 C 2 cos 2 10 2 cos 2 10 2 cos 2 10
) B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

3.(2007 北京)已知 cos θ tan θ < 0 ,那么角 θ 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 答案 C 4.(2007 重庆)下列各式中,值为 A. 2 sin15 cos15 C. 2sin 15 1
2

3 的是( 2
2 2

)

B. cos 15 sin 15 D. sin 15 + cos 15
2 2

答案 B 5.(2007 江西)若 tan α = 3 , tan β = A. 3 答案 D 6.(2007 全国 I) α 是第四象限角, tan α = A. B.

4 ,则 tan(α β ) 等于( 3
D.

)

1 3

C. 3

1 3

5 ,则 sin α = ( 12 5 13

)

1 5

B.

1 5

C.

5 13

D.

答案 D 7.(2006福建)已知 α ∈ ( π , π ), sin α = 3 , 则 tan(α + π ) 等于 ( A. )

1 答案 7A

B. 7

2

C.



1 7

5 D. 7

4

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8.(2006年湖北)若△ ABC 的内角 A 满足 sin 2 A =

2 ,则 sin A + cos A =( ) 3
D.

A. 答案 A

15 3

B.

15 3

C.

5 3

5 3

9.(2005 全国 III)已知 α 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 答案 D 10.(2005 全国 I)在 ABC 中,已知 tan ① tan A cot B = 1 ③ sin 2 A + cos 2 B = 1 其中正确的是( A.①③ 答案 B 二,填空题 ) B.②④

α
2

所在的象限是

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

A+ B = sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 < sin A + sin B ≤

2

④ cos 2 A + cos 2 B = sin 2 C

C.①④

D.②③

11. (2008 山东) 已知 a, , 为△ABC 的三个内角 A, , 的对边, b c B C 向量 m= ( 3 , 1 ) n= , (cosA,sinA) . 若 m⊥n,且 acosB +bcosA=csinC,则角 B= 答案

π
6

解析 本题考查解三角形

3 cos A sin A = 0 , A =

π
3

, sin A cos B + sin B cos A = sin C sin C ,

sin A cos B + sin B cos A = sin( A + B) = sin C = sin 2 C , C =

π
2

.∴B =

π
6

.

(2007 湖南)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a = 1 ,b= 7 ,c = 则B = 答案 .

3 ,C =

π , 3

5π 6
数学家赵爽的 一个大正方形

12.(2007 北京)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代 弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的

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(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ ,那么 cos 2θ 的 值等于 答案

7 25
AC = 5 ,三角形面积为 12,则 cos 2C =

13.(2006 年上海春卷)在△ ABC 中,已知 BC = 8,

答案

7 25

三,解答题

1 2 sin(2 x ) 4 , 14.(2008 北京)已知函数 f ( x) = cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)设 α 是第四象限的角,且 tan α =

π

4 ,求 f (α ) 的值. 3

解: (1)依题意,有 cosx≠0,解得 x≠kπ+

π
2

,

即 f ( x) 的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ+

π
2

,k∈Z}

1 2 sin(2 x ) 4 =-2sinx+2cosx∴ f (α ) =-2sinα+2cosα (2) f ( x) = cos x
由 α 是第四象限的角,且 tan α = ∴ f (α ) =-2sinα+2cosα=

π

4 4 3 可得 sinα=- ,cosα= 3 5 5

14 5

15.(2008 江苏)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 α , β ,它们的终边分别与 单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (1) 求 tan(α + β ) 的值; 解

2 2 5 , 10 5

(2) 求 α + 2 β 的值. 式.

本小题考查三角函数的定义,两角和的正切,二倍角的正切公

由条件得 cos α =

2 2 5 , ∵α 为锐角, , cos β = 10 5

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故 sin α > 0且 sin α =

7 2 5 .同理可得 sin β = , 10 5
1 . 2

因此 tan α = 7, tan β =

1 7+ tan α + tan β 2 =-3 . = (1) tan(α + β ) = 1 tan α tan β 1 7 × 1 2
(2) tan(α + 2 β ) = tan[(α + β ) + β ] =

3 +

1 2

1 1 (3) × 2

=-1 ,

∵0 < α <

π π 3π 3π ,从而 α + 2 β = . , 0 < β < , ∴ 0 < α + 2β < 2 2 2 4
π 1 π ,β 为 f ( x) = cos 2 x + 的最小正周期, a = tan α + β , 1, 4 4 8

16.(2007 安徽)已知 0 < α <

2 cos 2 α + sin 2(α + β ) b = (cos α, ,且 a b = m .求 2) 的值. cos α sin α
解:因为 β 为 f ( x ) = cos 2 x +



π 的最小正周期,故 β = π . 8

因 a b = m ,又 a b = cos α tan α + 故 cos α tan α + 由于 0 < α <



1 β 2. 4



1 β = m+2. 4

π ,所以 4

2 cos 2 α + sin 2(α + β ) 2 cos 2 α + sin(2α + 2 π) = cos α sin α cos α sin α 2 cos 2 α + sin 2α 2 cos α (cos α + sin α ) = = cos α sin α cos α sin α
= 2 cos α

1 + tan α π = 2 cos α tan α + = 2(2 + m) 1 tan α 4
三角形 ABC 三内角,向量, 1, 3 , n = cos A,sin A m= ( )

17.(2006年四川卷)已知B , C A, 且mn =1 (Ⅰ)求角 A ;

(

)

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1 + sin 2 B = 3 2 2 (Ⅱ)若 cos B sin B ,求 tan B
解: (Ⅰ)∵ m n = 1 ∴

( 1, 3 ) ( cos A,sin A) = 1
π 1 sin A = 6 2

即 3 sin A cos A = 1

3 1 2 sin A cos A = 1 2 2 ,



0 < A <π,

π
6

< A

π
6

<

5π 6



A

π
6

=

π
6


A=

π
3

1 + 2 sin B cos B = 3 2 2 2 2 (Ⅱ)由题知 cos B sin B ,整理得 sin B sin B cos B 2 cos B = 0
∴ cos B ≠ 0 ∴ tan B tan B 2 = 0
2

∴ tan B = 2 或 tan B = 1 而 tan B = 1 使 cos B sin B = 0 ,舍去
2 2

∴ tan B = 2

tan A + tan B = 2 + 3 8 + 5 3 = = tan C = tan π ( A + B ) = tan ( A + B ) 1 2 3 1 tan A tan B 11 ∴

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题 一,选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)若 sin α cos α > 0 ,且 cos α < 0 ,则角 α 是 1.( ( ) B. 第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

A.第一象限角 答案 C

2. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)已知 sin θ cos θ = ) A. 答案 D

1 ,则 sin 2θ 的值为 ( 3
D.

)

2 3

B.

2 3

C.

8 9

8 9

3.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文)已知 sin θ = ) ( A. )

4 , sin θ cos θ > 1 ,则 sin 2θ = 5

24 25

B.

12 25

C.

4 5

D.

24 25

第 13 页

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答案 A 4.(2009 福州三中)已知 tanα = A.

3 ,且 tan(sin α ) > tan ( cos α ) 则 sinα的值为 4
C. ±

(

)

3 5

B.

3 5

3 5

D.

4 5

答案 B 二,填空题

π 3 5.(20009 青岛一模)已知 sin( x) = ,则 sin 2x 的值为 4 5
答案

;

7 25

6.( 6.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) 在△ABC 中,若 tan A = 答案: 答案: 10 . 三,解答题 7.(2009 厦门集美中学)已知 tan (2)

1 , C = 150°, BC = 2 ,则 AB= 3

.

α
2

=2,求 (1) tan(α +

π
4

) 的值;

6 sin α + cos α 的值. 3sin α 2 cos α

解: (I)∵ tan

α
2

=2, ∴ tan α =

2 = 2× 2 = 4 ; α 1 4 3 1 tan 2 2

2 tan

α

4 +1 tan α + 1 1 4 = 所以 tan(α + ) = = 3 = ; 4 1 tan α tan π 1 tan α 1 + 4 7 4 3

π

tan α + tan

π

4 6( ) + 1 7 4 6 sin α + cos α 6 tan α + 1 3 (II)由(I), tanα=- , 所以 = = = . 3 3sin α 2 cos α 3 tan α 2 3( 4 ) 2 6 3
8.(2009 年福建省普通高中毕业班质量检查)已知 sin (π α ) = (1)求 sin 2α cos
2

4 π , α ∈ 0, 5 2

α
2

的值

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(2)求函数 f ( x ) =

5 1 cos α sin 2 x cos 2 x 的单调递增区间. 6 2

4 4 ∵ sin (π α ) = ,∴ sin α = 5 5 3 π 又 ∵α ∈ 0, ,∴ cos α = 5 2
(I)

sin 2α cos 2

α
2

1 + cos α 2 3 1+ 4 3 = 2× × 5 5 5 2 4 25 = 2 sin α cos α

(II)

5 3 1 f ( x ) = × sin 2 x cos 2 x 6 5 2 2 π = sin 2 x 2 4

令 2k π 得k π

π
2

≤ 2x

π
4

≤ 2 kπ +

π
2

π
8

≤ x ≤ kπ +

3π ,k ∈Z 8

π 3π ∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 kπ , kπ + k ∈ Z 8 8
9.(2009 年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查)已知 α ∈ ( (Ⅰ)求 cos α 的值; (Ⅱ)若 sin(α + β ) =

π
2

, π ) ,且 sin

α
2

+ cos

α
2

=

2 3 . 3

3 π , β ∈ (0, ) ,求 sin β 的值. 5 2

解: (Ⅰ)因为 sin

α
2

+ cos

α
2

=

2 3 , 3

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所以 1 + 2 sin 因为 α ∈ (

α
2

cos

α
2

=

4 1 , sin α = . 3 3

…………………………(2 分)

π
2

,π ) ,
2

所以 cos α = 1 sin (Ⅱ)因为 α ∈ (

α = 1

1 2 2 = . ……………………(6 分) 9 3

π

π π 3π , π ), β ∈ (0, ) ,所以 α + β ∈ ( , ) 2 2 2 2
3 4 ,得 cos(α + β ) = . …………………………(9 分) 5 5

又 sin(α + β ) =

sin β = sin [ (α + β ) α ]
= sin(α + β ) cos α cos(α + β ) sin α

3 3 2 4 1 = ( ) ( ) ( ) 5 3 5 3 = 6 2+4 . 15
………………………………………………(12 分)
x x x 1 cos + cos 2 . 2 2 2 2

10.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)已知函数 f ( x ) = sin (1)若 f (α ) =

2 , α ∈ (0, π ), 求 α的值 ; 4
π , π 上最大值和最小值 4

(2)求函数 f ( x ) 在 解: (1) f ( x ) =

1 1 + cos x 1 1 2 π sin x + = (sin x + cos x) = sin( x + ) …2 分 2 2 2 2 2 4

由题意知 f (α ) =

π 1 2 π 2 ,即 sin(α + ) = sin(α + ) = 4 2 2 4 4 π π 5π ∈( , ) 4 4 4
α =
7π 12
π
4 ≤ 5π 4

…………3 分

∵ α ∈ (0, π ) 即 α + ∴ α + π = 5π 4 6 (2)∵



≤α ≤π 即

…………6 分 …………8 分 …………12 分

π
4

0≤α +

∴ f ( x ) max = f ( π ) = 2 , f ( x) min = f (π ) = 1 4 2 2

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11.在 ABC 中, cos A = (1)求 sin C 的值

5 3 , cos B = , 13 5

(2)设 BC = 5 ,求 ABC 的面积 解(I)由 cos A = 由 cos B =

5 12 ,sin A = ,得 13 13

3 4 , sin B = ,得 5 5

又 A+ B+C =π 所以 sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B =

16 65

4 5× BC × sin B 5 = 13 = (II)由正弦定理得 AC = 12 sin A 3 13
所以 ABC 的面积 S =

1 1 13 16 8 × BC × AC × sin C = × 5 × × = 2 2 3 65 3
枣 庄 市 2009 届 高 三 年 级 一 模 考 ) 已 知 函 数

12.

(







f ( x) = sin 2 ωx + 3 sin ωx sin(ωx +
(1)求 f (x ); (2)当 x ∈ [

π
2

)(ω > 0) 的最小正周期为π

, ]时, 求函数f ( x) 的值域. 12 2 1 cos 2ωx + 3 sin ωx cos ωx 2
2分

π π

解: (1) f ( x ) =

=

3 1 1 π 1 sin 2ωx cos 2ωx + = sin( 2ωx ) + . 2 2 2 6 2 2π = π , 解得ω = 1. 2ω

4分

∵ 函数f ( x)的最小正周期为π , 且ω > 0,


∴ f ( x) = sin( 2 x
(2)∵ x ∈ [

π

1 )+ . 6 2

6分

π π 5π , ],∴ 2 x ∈ [ , ]. 12 2 6 3 6

π π

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根据正弦函数的图象可得: 当 2x

π
6

=

π
2

, 即x =

π
3

时,

g ( x) = sin(2 x
当 2x

π
6

) 取最大值 1

8分

π
6

=

π
3

, 即x =

π
12



g ( x) = sin( 2 x

π
6

)取最小值

3 . 2

10 分

1 3 π 1 3 ∴ ≤ sin(2 x ) + ≤ , 2 2 6 2 2
即 f ( x )的值域为[

1 3 3 , ]. 2 2

12 分

13.(2009 广东地区高三模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a+b=5,c = 7 ,且

4 sin 2

A+ B 7 cos 2C = . 2 2

(1) 求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. (1) 解:∵A+B+C=180° 由 4 sin 2 ∴4

A+ B 7 C 7 cos 2C = 得4 cos 2 cos 2C = 2 2 2 2
………………3 分 …………4 分

…………1 分

1 + cos C 7 ( 2 cos 2 C 1) = 2 2
2

整理,得 4 cos C 4 cos C + 1 = 0 解 得: cos C =

1 2

……5 分 ∴C=60°
2 2

∵ 0° < C < 180°

………………6 分
2 2 2

(2)解:由余弦定理得:c =a +b -2abcosC,即 7=a +b -ab …………7 分 ∴ 7 = ( a + b) 2 3ab ………………8 分

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab …… 9 分

ab=6 ……10 分
∴ S ABC =

1 1 3 3 3 ab sin C = × 6 × = 2 2 2 2

…………12 分 2007—2008 2007—2008 年联考题

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一,选择题 1,(2008 江苏省启东中学高三综合测试三)已知 sin2=- π 24 , ∈(- ,0),则 sin+cos=( 4 25 D. )

A.-

1 5

B.

1 5

C.-

7 5
θ
2

7 5

答案:B 2.(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)若 cos 线( )上. B. 7 x 24 y = 0 D. 24 x 7 y = 0
= 3 θ 4 , sin = ,则角 θ 的终边一定落在直 5 2 5

A. 7 x + 24 y = 0 C. 24 x + 7 y = 0 答案:D

3.(2007 海南海口)若 A 是第二象限角,那么 A.第一象限角 C.第三象限角 答案 B 二,填空题

A π 和 -A 都不是( 2 2

)

B.第二象限角 D.第四象限角

4.(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)设 α 是第三象限角, tan α = 12 答案:- 13 5. α为锐角,且 sin α

5 ,则 cos α = 12



π

1 = , 则 cos α = ________________ 6 3

答案:

2 6 -1 6

6.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 答案
1 2

三,解答题 7.(山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)设向量 a = (cos(α + β ),sin(α + β )) ,且 a + b = ( , ) (1)求 tan α ;

4 3 5 5

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2 cos 2
(2)求

α
2

3sin α 1

2 sin(α + ) 4
解: (1) a + b

π

.

4 3 = (2 cos α cos β , 2sin α sin β ) = ( , ) 5 5
∴ 2 cos α cos β = ∴ tan α =

4 3 , 2sin α sin β = 5 5

3 4

2 cos 2
(2)

α
2

3sin α 1

2 sin(α + ) 4

π

=

cos α 3sin α 1 3 tan α 5 = = cos α + sin α 1 + tan α 7 3 sin(ωx) 2 sin 2

8.(广东地区 2008 年 01 月份期末试题)已知:函数 f ( x ) = 且当 x ∈ [0, π ] 时,函数 f (x ) 的最小值为 0. (1)求函数 f (x ) 的表达式;

ωx
2

+ m 的周期为 3π ,

2 (2)在△ABC 中,若 f (C ) = 1, 且2 sin B = cos B + cos( A C ), 求 sin A的值.

解: (1) f ( x) =

3 sin(ωx) + cos(ωx) 1 + m = 2 sin(ωx +

π
6

) 1+ m

3分 4分 5分

依题意函数 f ( x) 的周期为 3π , 即



ω

= 3π ,∴ ω =

2 2x π , f ( x) = 2 sin( + ) 1 + m 3 3 6 2 x π 5π 1 2x π + ≤ ∴ ≤ sin( + ) ≤ 1 3 6 6 2 3 6

∵ x ∈ [0, π ],∴

π
6



∴ f ( x) 的最小值为 m,∴ m = 0
即 f ( x ) = 2 sin(

6分 7分

2x π + ) 1 3 6 2C π + ) 1 = 1 3 6
∴∠C=

(2) f (C ) = 2 sin( 而∠C∈(0,π),

∴ sin(

2C π + ) =1 3 6
9分

π
2 2 ,2 sin 2 B = cos B + cos( A C )

在 Rt△ABC 中,∵ A + B =

π

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∴ 2 cos 2 A sin A sin A = 0解得 sin A = ∵ 0 < sin A < 1,∴ sin A = 5 1 . 2

1± 5 2

11 分

12 分

9.(广东 2008 年 01 月份期末试题)已知 f ( x ) = cos (Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ∈

3x x 3x x cos sin sin 2 sin x cos x , 2 2 2 2

π , π ,求函数 f (x) 的零点. 2

解: (Ⅰ) f ( x ) = cos 2 x sin 2 x = 2 cos( 2 x +

π
4

) …………………….4 分 …………………….

故 T = π ………………………………………………… 分 …………………………………………………5 (Ⅱ)令 f ( x ) = 0 , 2 cos(

π

π + 2 x) =0,又∵ x ∈ , π 4 2

…………. …… ………….7 分



5π π 9π π 3π ≤ + 2x ≤ ∴ + 2x = …………………………………………9 ………………………………………… 分 4 4 4 4 2 5π 8
函数 f ( x ) 的零点是 x =

故x=

5π 8

……………. ……………. 12 分

10.(广东 2008 年 01 月份期末试题)已知向量 a = (1 + sin 2 x , sin x cos x) , b = (1 , sin x + cos x) ,函数

f ( x) = a b .
(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (θ ) =

8 π ,求 cos 2 2θ 的值. 5 4

解: (Ⅰ)因为 a = (1 + sin 2 x , sin x cos x) , b = (1 , sin x + cos x) ,所以

f ( x) = 1 + sin 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 + sin 2 x cos 2 x
π = 2 sin 2 x + 1 . 4
因此,当 2 x

π π 3 = 2kπ + ,即 x = kπ + π ( k ∈ Z )时, f ( x) 取得最大值 2 + 1 ; 4 2 8
8 3 得 sin 2θ cos 2θ = ,两边平方得 5 5

(Ⅱ)由 f (θ ) = 1 + sin 2θ cos 2θ 及 f (θ ) =

1 sin 4θ =

9 16 ,即 sin 4θ = . 25 25

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因此, cos 2

16 π π 2θ = cos 4θ = sin 4θ = . 25 4 2

11.(2008 年高三名校试题汇编)设 a = (1 + cos α , sin α ), b = (1 cos β , sin β ), c = (1, 0) ,其

α ∈ (0, π ), β ∈ (π , 2π ) ,a 与 c 的夹角为 θ1 ,b 与 c 的夹角为 θ 2 ,且 θ1 θ 2 = b

2 a=(2cos

π
6

,求 sin

α β
4

的值.

α
2

,2sin

α
2

cos

α
2

)=2cos

α
2

(cos

α
2

,sin

α
2

),

b=(2sin

2

β
2

,2sin

β
2

cos

β
2

)=2sin

β
2

(sin

β
2

,cos

β
2

),

∵α∈(0,π),β∈(π,2π), ∴

α
2

∈(0,

π
2

),

β
2

∈(

π
2

,π) ,故|a|=2cos

α
2

,|b|=2sin b

β
2

,

2 cos 2 ac 2 = 2 cos α , cos θ1 = = | a || c | 2 cos α 2 2 cos θ 2 = bc = | b || c | 2 sin 2 2 = sin β = cos( β π ) , β 2 2 2 2 sin 2

α

β

∵0<

β
2



π π
2
<

2
,

,∴ θ 2 =

β
2



π
2

,

又 θ1 - θ 2 = ∴

π
6 2

α
2

-

β π π
2 4
+ =

6

,故

α β
2

=-

π
3

,

∴sin

α β

=sin(-

π
6

)=-

1 . 2

12.(2008 广东高三地区模拟)如图 A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交 点,A 点的坐标为 ,

3 4 ,△AOB 为正三角形. 5 5
y
B O

(Ⅰ)求 sin ∠COA ; (Ⅱ)求 cos ∠COB .

3 4 A( , ) 5 5 C

x

解: (1)因为 A 点的坐标为 ,

4 3 4 ,根据三角函数定义可知 sin ∠COA = ---4 分 5 5 5

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(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ∠AOB = 60 ,
0

sin ∠COA =

4 3 , cos ∠COA = , 5 5

-----------------------------6 分

所以 cos ∠COB = cos(∠COA + 600 )

= cos ∠COA cos 600 sin ∠COA sin 600
=

-------------------------10 分

3 1 4 3 34 3 = . 5 2 5 2 10

--------------------------------------12 分

理(Ⅱ)求 | BC | 2 的值. 解:(Ⅱ)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ∠AOB = 60 , sin ∠COA =

4 , 5
……5 分

cos ∠COA =

3 , 5

所以 cos ∠COB = cos(∠COB + 60 ) = cos ∠COB cos 60 sin ∠COB sin 60
= 3 1 4 3 3 4 3 = 5 2 5 2 10

……8 分

所以 | BC |2 =| OC |2 + | OB |2 2 | OC || OB | cos ∠BOC

=1+1 2×

34 3 7+ 4 3 = 10 5

……12 分

13.(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x 2 cos x . (Ⅰ)若 x ∈ [ 0,π ] ,求 f ( x ) 的最大值和最小值;

(Ⅱ)若 f ( x ) = 0 ,求

2 cos 2

x sin x 1 2 的值. π 2 sin x + 4

解: (Ⅰ) f ( x ) = 2 3 sin x 2 cos x

3 1 = 4 sin x cos x 2 2 π = 4 sin x .…………………………3 分 6
又∵ x ∈ [ 0,π ] ,∴-

π π 5π π ≤ x ≤ , ∴2 ≤ 4sin x ≤4 , 6 6 6 6

∴ f ( x)max = 4,f ( x) min = 2 .…………………………6 分

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(II)由于 f ( x ) = 0 ,所以 2 3 sin x = 2 cos x 解得 tan x =

1 …………………………8 分 3

2 cos 2

x sin x 1 cos x sin x 2 = π 2 2 2 sin x + 2 sin x + cos x 4 2 2

1 cos x sin x 1 tan x 3 = 2 3 = = = 1 cos x + sin x 1 + tan x 1 + 3 1
14.(广东省 2008 届六校第二次联考)已知向量 a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β ,sin β ) , a b = (Ⅰ)求 cos(α β ) 的值; (Ⅱ)若 0 < α <

2 5 . 5

π
2

,

π
2

< β < 0 , 且 sin β =

5 , 求 sin α . 13

解:(Ⅰ)∵ a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β ,sin β ) ,

∴ a b = ( cos α cos β, α sin β ) . sin
∵ a b =


2 5 , 5



( cos α cos β ) + ( sin α sin β )
2

2

=

2 5 , 5

2 2 cos (α β ) =

4 , 5

3 ∴ cos (α β ) = . 5

(Ⅱ)∵ 0 < α <

π
2

,

π
2

< β < 0, ∴ 0 < α β < π ,

3 4 ∵ cos (α β ) = , ∴ sin (α β ) = . 5 5

∵ sin β =

5 12 , ∴ cos β = , 13 13

∴ sin α = sin (α β ) + β = sin (α β ) cos β + cos (α β ) sin β =

4 12 3 5 33 . + = 5 13 5 13 65

15.(贵州省贵阳六中,遵义四中 2008 年高三联考)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f (

π
4

)的值;

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(Ⅱ)设 α ∈(0,

3 4

π ),f (

α
2

)= ,求 cos2 α 的值.

1 5

解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f(

π
4

)=sin

π
2

+cos

π
2

=1………5 分

(Ⅱ)∵f(

α
2

)=sinα+cosα= ,∴1+sin2α=

1 5

1 24 , sin2α= ,……7 分 25 25

∴cos2α= ± 故 cos2α=

3 3 7 ∵α∈(0, π)∴2α∈(π, π) ∴cos2α<0. 4 2 25 7 ……10 分 25

8 π 16.(河北衡水中学 2008 年第四次调考)已知向量→=(cosx,sinx),→=( 2, 2),若→→= ,且 < a b a b 5 4

sin 2 x(1 + tan x) π x< , 求 的值. 2 1 tan x
解:∵ a b = ∵
→ →

8 8 π 4 ,∴ 2 cos x + 2 sin x = , 即 cos( x ) = 5 5 4 5 ,∴ 0 < x

…………2 分

π
4

<x<

π
2

π
4

<

π

π 3 π 3 , sin( x ) = , tan( x ) = ……4 分 4 4 5 4 4

tan( x +

π

π 4 ) = cot( x ) = 4 4 3
…………6 分

π π 7 sin 2 x = cos(2 x ) = 2 cos 2 ( x ) 1 = 2 4 25


sin 2 x(1 + tan x) π 7 4 28 = sin 2 x tan( x + ) = × ( ) = . …………10 分 1 tan x 4 25 3 75

17.(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知 A,B,C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,4) ,C ( 3 cos α ,3 sin α ). (Ⅰ)若 α ∈ ( π ,0) ,且 AC = BC ,求角 α 的大小; (Ⅱ)若 AC ⊥ BC ,求

2 sin 2 α + sin 2α 的值. 1 + tan α
2 2

解, (Ⅰ)由已知得: (3 cos α 4) + 9 sin α = 则 sin α = cos α 因为 α ∈ ( π ,0)

9 cos 2 α + (3 sin α 4) 2
3π 4
…… …5 分

∴α =

(Ⅱ)由 (3 cos α 4) 3 cos α + 3 sin α (3 sin α 4) = 0 得 sin α + cos α =

3 4

平方得

sin 2α =

7 16

………..8 分

第 25 页

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2 2 2

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2 sin α + sin 2α 2 sin α cosα + 2 sin α cos α 7 = = 2 sin α cosα = sin 2α = --10 分 1 + tan α sin α + cosα 16
3π , ) 2π ,且 a⊥b. 2

18.(江苏省常州市北郊中学 2008 届高三第一次模拟检测)已知向量 a= (3sinα, cosα)b=(2sinα, 5sin , α-4cosα),α∈(
(1)求 tanα的值; (2)求 cos(

α
2

+

π )的值. 3

解: (1)∵a⊥b,∴ab=0.而 a=(3sinα,cosα) b=(2sinα, 5sinα-4cosα), , 故 ab=6sin α+5sinαcosα-4cos α=0. 由于 cosα≠0,∴6tan α+5tanα-4 =0.解之,得 tanα=- ∵α∈(
2 2 2

4 1 ,或 tanα= . 3 2

1 4 3π , ) .∴tanα=- . 2π ,tanα<0,故 tanα= (舍去) 2 2 3

(2)∵α∈( 由 tanα=-

α 3π 3π , ) 2π ,∴ ∈ ( ,π) . 2 2 4

4 α 1 α ,求得 tan = , tan =2(舍去) . 3 2 2 2

∴ sin

α
2

=

5 α 2 5 , cos = , 5 2 5

cos(

α
2

+

π α π α π )= cos cos sin sin 3 2 3 2 3
2 5 1 5 3 2 5 + 15 × × = . 5 2 5 2 10

=

19.(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1+ tan A 2c = . tan B b

(Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 m = (0, 1) ,n = cos B, 2 cos 2 C ,试求|m + n|的最小值. 2 (Ⅰ) 1 + 解: 即 ∴ tan A 2c sin A cos B 2sin C = 1+ = ,………………………………3 分 tan B b sin B cos A sin B

(

)

sin B cos A + sin A cos B 2sin C = , sin B cos A sin B sin( A + B) 2sin C = , sin B cos A sin B

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∴ cos A =

1 . ………………………………………………5 分 2

∵0 < A< π , ∴A=
π .………………………………………………………………7 分 3
C 1) = (cos B,cos C ) , 2 2π 1 π B ) = 1 sin(2 B ) . 10 分 3 2 6

(Ⅱ)m + n = (cos B, 2 cos 2

∴ |m + n| 2 = cos 2 B + cos 2 C = cos 2 B + cos 2 (
∵A= 从而

π 2π 2π ,∴ B + C = ,∴ B ∈ (0, ) . 3 3 3 π π 7π < 2B < .…………………………………………12 分 6 6 6

π π 1 2 ∴当 sin(2 B ) =1,即 B = 时,|m + n| 取得最小值 .……………………13 分 6 3 2

所以|m + n| min =

2 .………………………………………………………………14 分 2

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