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高考数学一轮复习精品学案:第22讲 任意角的三角函数及诱导公式

时间:2017-09-15


2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 22 讲 任意角的三角函数及诱导公式
一.课标要求:
1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.三角函数 (1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(π/2±α, π±α 的正弦、余弦、正切)。


二.命题走向
从近几年的新课程高考考卷来看, 试题内容主要考察三角函数的图形与性质, 但解决这 类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式, 在处理一些复杂的三角问题时, 同角的三角 函数的基本关系式是解决问题的关键。 预测 2013 年高考对本讲的考察是: 1.题型是 1 道选择题和解答题中小过程; 2.热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用,这也是新课标教材的热点内容。

三.要点精讲
1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 一条射 线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ,就形成角 ? 。旋 转开始时的射线 OA 叫做角的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点。 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形 成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外) 在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为 这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角 α 具有同终边的所有角,它们彼此相差 2kπ(k∈Z),即 β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,如 α∈{α|

5? ? ? 5? ≤α≤ }=[ , ]。 6 6 6 6

3.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad ,或 1 弧度,或 1(单位 可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π,-2π 等等,一般地, 正角 的弧度数是一个正数, 负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋 转方向来决定。 角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ?

l ,其中,l 是圆心角所对的弧长, r 是半径。 r
?

角度制与弧度制的换算主要抓住 180 ? ? rad 。 弧度与角度互换公式:1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ、1° ? ≈0.01745(rad)。 =
?
180

弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数), 扇形面积公式: S ? 4.三角函数定义 在 ? 的终边上任取一点 P(a, b) ,它与原点的距离 r ?

1 1 l r ? |? | r2 。 2 2
a 2 ? b 2 ? 0 .过 P 作 x 轴的垂线,

垂 足 为 M , 则 线 段 OM 的 长 度 为 a , 线 段 MP 的 长 度 为 b . 则 sin ? ?

MP b ? ; OP r

cos ? ?

利用单位圆定义任意角的三角函数,设 ? 是一个 任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3) y

OM a MP b ? ; tan ? ? ? 。 OP r OM a

a的终边
P(x,y )) O x

y 叫做 ? 的正切,记做 ta? ,即 n x

tan ? ?

y ( x ? 0) 。 x

5.三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各 种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解 决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等 问题时,十分方便。 以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个 圆,这个圆就叫做单位圆(注意:这个单位长度不一 定就是 1 厘米或 1 米)。当角 ? 为第一象限角时,则 其终边与单位圆必有一个交点 P( x, y) ,过点 P 作

y a角的终 边 P T

O

M A

x

PM ? x 轴交 x 轴于点 M ,根据三角函数的定义:
| MP |?| y |?| sin? |; | OM |?| x |?| cos ? | 。
我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线段 OM 与 x 轴反向 时, OM 的方向为负向,且有正值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

OM ? x ? cos? 同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,
规定: 当线段 MP 与 y 轴同向时,MP 的方向为正向, 且有正值 y ; 当线段 MP 与 y 轴 反向时, MP 的方向为负向,且有正值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标。

这样,无论那种情况都有 MP ? y ? sin ? 。像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段, 叫做有向线段。 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 ? 的终边交于点 T , 请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、AT ,我们有

y x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、 余弦 tan ? ? AT ?
线、正切线,统称为三角函数线。 6.同角三角函数关系式 使用这组公式进行变形时,经常把“切”、“割”用“弦”表示,即化弦法,这是三角变换非 常重要的方法。 几个常用关系式:sinα+cosα,sinα-cosα,sinα·cosα;(三式之间可以互相表示)

同理可以由 sinα-cosα 或 sinα·cosα 推出其余两式。 ② 1 ? sin ? ? ?1 ? sin

? ?

??

2

? . 2?

③当 x ? ? 0,

? ?

??

? 时,有 sin x ? x ? tan x 。 2?

7.诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限”。 诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z 诱导公式二: sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ;
?

c o s ( 1 ?8? ? ? )?cos? 0

诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;
?

cos(?? ) ? cos?
?

诱导公式四: sin(180 ? ? ) ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos ? 诱导公式五: sin(360 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360 ? ? ) ? cos ?
? ?

-? sin cos -sin ? cos ?

? ??
sin ? -cos ?
?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?
-sin ? cos ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?
2

??

cos ? sin ?

(1)要化的角的形式为 k ?180 ? ? ( k 为常整数); (2)记忆方法:“函数名不变,符号看象限”;

(3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα;cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z); (4) sin ? x ?

? ?

??

?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 。 4? 4? 4? ?4 ? ? ? ?4 ?

四.典例解析
题型 1:象限角 例 1. 已知角 ? ? 45? ; (1) 在区间 [?720 ?, 0? ] 内找出所有与角 ? 有相同终边的角 ? ; (2)集合 M ? ? x | x ? ? 180 ? ? 45?, k ? Z ? , N ? ? x | x ? ? 180 ? ? 45?, k ? Z ? 那么两集合的关系 是什么? 解析:(1)所有与角 ? 有相同终边的角可表示为: 45? ? k ? 360 ? (k ? Z ) , 则令

? ?

k 2

? ?

? ?

k 4

? ?

? 720 ? ? 45? ? k ? 360 ? ? 0? ,

得 ? 765 ? ? k ? 360 ? ? ?45?

765 45 ?k?? 360 360 从而 k ? ?2 或 k ? ?1
解得 ? 代回 ? ? ?675 ? 或 ? ? ?315 ? (2) 因为 M ? ?x | x ? (2k ? 1) ? 45?, k ? Z ?表示的是终边落在四个象限的平分线上的 角的集合;而集合 N ? ?x | x ? (k ? 1) ? 45?, k ? Z ? 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线 上的角的集合,从而: M ? N 。 点评:(1)从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角 ? 有相同终边的 角,然后列出一个关于 k 的不等式,找出相应的整数 k ,代回求出所求解; (2)可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论。 例 2.若 sinθcosθ>0,则 θ 在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限 解析:答案:B;∵sinθcosθ>0,∴sinθ、cosθ 同号。 当 sinθ>0,cosθ>0 时,θ 在第一象限,当 sinθ<0,cosθ<0 时,θ 在第三象限,因此, 选 B。 例 3.若 A、B 是锐角△ ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

答案:B 解析:∵A、B 是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90° ,∴B>90° -A,∴cosB<sinA, sinB>cosA,故选 B。

例 4.已知“ ? 是第三象限角,则

? 是第几象限角? 3
3 ? ?k ? Z ? , 2

解法一:因为 ? 是第三象限角,所以 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?

2k ? ? 2k ? ? ? ? ? ? ? ?k ? Z ? , 3 3 3 3 2 ? ∴当 k=3m(m∈Z)时, 为第一象限角; 3 ? 当 k= 3m+1(m∈Z)时, 为第三象限角, 3 ? 当 k= 3m+2(m∈Z)时, 为第四象限角, 3 ? 故 为第一、三、四象限角。 3


解法二:把各象限均分 3 等份,再从 x 轴的正向的上方起依次将各区域标上 I、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ,并依次循环一周,则 ? 原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为 由图可知,

? 是第一、三、四象限角。 3 ? 点评:已知角 ? 的范围或所在的象限,求 所在的象限是常考题之一,一般解法有直接法 n ? (n∈N*)的终边所在的区域。 n

? 的终边所在的区域。 3

和几何法,其中几何法具体操作如下:把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正向的上方起,依 次将各区域标上 I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,并循环一周,则 ? 原来是第几象限的符号所表示的区域即 为

题型 2:三角函数定义 例 5.已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的四个三角函数值。 解析:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ?

5 | a | , x ? a, y ? 2a 。

sin 当 a ? 0时, ? ?

y 2a 2a 2 5 ? ? ? ; r 5 5|a| 5a

cos ? ?

x a 5 a ? ? , tan? ? 2 。 r 5 5a

sin 当 a ? 0时, ? ?

y 2a 2a 2 5 x a 5a ? ? ?? ?? , cos ? ? ? ; r 5 r ? 5a 5 5 | a | ? 5a

tan? ? 2 。
例 6.已知角 ? 的终边上一点 P (? 3, m) ,且 sin ? ?
2 2

2m ,求 cos ? ,sin ? 的值。 4
2 2

解析:由题设知 x ? ? 3 , y ? m ,所以 r ?| OP | ? (? 3) ? m ,

得r ? 3? m ,
2

从而 sin ? ?

2m m m , ? ? r 4 3 ? m2
2

解得 m ? 0 或 16 ? 6 ? 2m ? m ? ? 5 。 当 m ? 0 时, r ? 3, x ? ? 3 , cos ? ? 当m ?

x y ? ?1, tan ? ? ? 0 ; r x

x 6 y 15 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? ; r 4 x 3
x 6 y 15 。 ? ? , tan ? ? ? r 4 x 3

当 m ? ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? 题型 3:诱导公式 例 7. tan300° +

cos 405 0 的值是( sin 405 0
B.1-



A.1+

3

3

C.-1-

3

D.-1+

3

解析:答案:B tan300° +

cos(360 0 ? 45 0 ) cos 405 0 =tan(360° -60° )+ =-tan60° + sin(360 0 ? 45 0 ) sin 405 0

cos 45 0 =1- 3 。 sin 45 0
例 8.化简: (1)

? sin(180? ? ? ) ? sin(?? ) ? tan(360? ? ? ) ; tan(? ? 180? ) ? cos(?? ) ? cos(180? ? ? )

(2)

sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (n ? Z ) 。 sin(? ? n? ) cos(? ? n? )

解析: (1)原式 ?

sin ? ? sin ? ? tan ? tan ? ?? ? ?1 ; tan ? ? cos ? ? cos ? tan ?
sin(? ? 2k? ) ? sin(? ? 2k? ) 2 ? 。 sin(? ? 2k? ) cos(? ? 2k? ) cos ?

(2)①当 n ? 2k , k ? Z 时,原式 ?

②当 n ? 2k ? 1, k ? Z 时,原式 ?

sin[? ? (2k ? 1)? ] ? sin[? ? (2k ? 1)? ] 2 ?? 。 sin[? ? (2k ? 1)? ]cos[? ? (2k ? 1)? ] cos ?

点评: 关键抓住题中的整数 n 是表示 ? 的整数倍与公式一中的整数 k 有区别, 所以必须 把 n 分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论。

题型 4:同角三角函数的基本关系式 例 9.已知

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? ,试确定使等式成立的角 ? 的集合。 1 ? sin ? 1 ? sin ?

解析:∵

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 ? , cos 2 ? cos 2 ?

=

|1 ? sin ? | |1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2 sin ? = = 。 ? | cos ? | | cos ? | | cos ? | | cos ? |
1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? , 1 ? sin ? 1 ? sin ?

又∵



2 sin ? 2sin ? ? ?0, | cos ? | cos ?

即得 sin ? ? 0 或 | cos ? |? ? cos ? ? 0 所以,角 ? 的集合为: {? | ? ? k? 或 2k? ?

?

2 2?cos? ? sin ? ? cos? sin ? 例 10.(1)证明: ; ? ? 1 ? sin ? ? cos? 1 ? sin ? 1 ? cos? cos x 1 ? sin x (2)求证: 。 ? 1 ? sin x cos x

? ? ? 2k? ?

3? , k ? Z} 。 2

解析: (1)分析:证明此恒等式可采取常用方法,也可以运用分析法,即要证 只要证 A· D=B· C,从而将分式化为整式

A C ? , B D

cos? ? cos2 ? ? sin ? ? sin 2 ? 证法一:右边= ?1 ? sin ? ??1 ? cos? ?
=

?cos? ? sin? ??1 ? cos? ? sin? ?
1 ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos?

2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? 2?1 ? sin ? ? cos? ? sin ? cos? ? 2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? ? 2 1 ? sin ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 sin ? cos? ?
=

2?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? 左边 ?1 ? sin? ? cos? ?

证法二:要证等式,即为

2?cos? ? sin ? ? ?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? ?1 ? sin? ??1 ? cos? ? 1 ? sin ? ? cos?

只要证 2( 1? sin? )( 1? cos? )= ?1 ? sin ? ? cos? ? 即证: 2 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? cos ?

2

? 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin? ? 2 cos? ? 2 sin? cos? ,
即 1= sin ? ? cos ? ,显然成立,
2 2

故原式得证。 点评: 在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时, 需要仔细观察题目的特征, 灵活、 恰当地选择公式,利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。 (2)同角三角函数的基本 关系式有三种,即平方关系、商的关系、倒数关系。 (2)证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。

∴左边=

cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? ? 右边。 (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x cos x

∴原式成立。 证法二:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。 又∵ (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin x ? cos x ? cos x ? cos x ,
2 2



cos x 1 ? sin x 。 ? 1 ? sin x cos x

证法三:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。

cos x 1 ? sin x cos x ? cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? ? 0, ? ? (1 ? sin x) cos x (1 ? sin x)cos x 1 ? sin x cos x


cos x 1 ? sin x 。 ? 1 ? sin x cos x

点评:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明 时常用的方法有: (1)从一边开始,证明它等于另一边(如例 5 的证法一)(2)证明左右 ; 两边同等于同一个式子(如例 6)(3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式 ; 成立。

五.思维总结
1.几种终边在特殊位置时对应角的集合为: 角的终边所在位置 X 轴正半轴 Y 轴正半轴 X 轴负半轴 角的集合

?? | ? ? k ? 360 ?,

k ? Z? k ? Z? k ? Z?

?? | ? ? k ? 360? ? 90?, ?? | ? ? k ? 360 ? ? 180 ?,

Y 轴负半轴 X轴 Y轴 坐标轴 2.α、

?? | ? ? k ? 360 ? ? 270 ?, ?? | ? ? k ?180?,
k ? Z?

k ? Z?

?? | ? ? k ?180? ? 90?, ?? | ? ? k ? 90?,
k ? Z?

k ? Z?

? 、2α 之间的关系。 2 ? 若 α 终边在第一象限则 终边在第一或第三象限;2α 终边在第一或第二象限或 y 轴正 2
半轴。 若 α 终边在第二象限则 半轴。 若 α 终边在第三象限则 半轴。 若 α 终边在第四象限则

? 终边在第一或第三象限;2α 终边在第三或第四象限或 y 轴负 2 ? 终边在第二或第四象限;2α 终边在第一或第二象限或 y 轴正 2 ? 终边在第二或第四象限;2α 终边在第三或第四象限或 y 轴负 2

半轴。 3.任意角的概念的意义,任意角的三角函数的定义,同角间的三角函数基本关系、诱 导公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础,因而三学习本节内容时要注意如下几点: (1)熟练地掌握常用的方法与技巧,在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限 制;(2)要注意差异分析,又要活用公式,要善于瞄准解题目标进行有效的变形,其解题 一般思维模式为:发现差异,寻找联系,合理转化。 只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角 的 大 小 有 关 . 我 们 只 需 计 算 点 到 原 点 的 距 离 r?

x2 ? y 2 , 那 么

sin ? ?

y x2 ? y2

, cos ? ?

x x2 ? y2

, tan ? ?

y 。所以,三角函数是以为自变量,以单位圆 x

上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应 关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数。 4.运用同角三角函数关系式化简、证明 常用的变形措施有:大角化小,切割化弦等,应用 “弦化切”的技巧,即分子、分母 同除以一个不为零的 cos? ,得到一个只含 tan ? 的教简单的三角函数式。


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