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2012-2016全国卷导数及其应用(理科)

时间:2016-08-14


2012-2016 全国卷导数及其应用(理科)
1.(2012 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ?
1 2 x . 2
1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 2

(I)求 f ( x) 的解

析式及单调区间; (II)若 f ( x) ? 的最大值.

1

2.(2013 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b , g ( x) ? ex (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线
y ? g ( x) 都过点 P(0, 2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 .

(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值;(Ⅱ)若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg ( x) ,求 k 的取值范围.

2

3.(2014 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分)
be x ?1 设函数 f ( x) ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 x
x

y ? e( x ? 1) ? 2 .

(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

3

4.(2015 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分)
1 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x . 4

(Ⅰ)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; ( Ⅱ ) 用 min ?m, n? 表 示 m , n 中 的 最 小 值 , 设 函 数

h( x) ? min{ f ( x), g ( x)}( x ? 0) ,讨论 h( x) 零点的个数.

4

5.(2016 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ?1)2 有两个零点. (I)求 a 的取值范围; (II)设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 .

5

2012-2016 全国卷导数及其应用(理科)参考答案
1.(2012 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ?
1 2 x . 2
1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 2

(I)求 f ( x) 的解析式及单调区间; (II)若 f ( x) ? 的最大值. 【解析】 (I) f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? 令 x ? 1 得: f (0) ? 1 ,
? ( 1x)?1e? f ( x)? f
x f ( x )? e ?x?

1 2 x ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 2

1 f (? 0 x) 2

2

? x

? )f? 1 f? ( 0 ?( 1 ? )e ?

1 ? f ,得: (1)

e

1 2 x ? g x( ?) f ? x (? )x ? e ? x , 1 2
x

x f ( x )? e ?x?

1 2 x ? g ? x( ?) 2

? R 上单调递增, ? e ? 1 ?0 y?g x 在 ( x)

?, x( ? ) ?0?f f ?( x)? 0? f? ( 0? ) x ? 0f

( ? 0 )x ?

0,

得: f ( x) 的解析式为 f ( x) ? e x ? x ?

1 2 x . 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) . (II) f ( x) ?
1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? e x ? (a ? 1) . 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾; x? ?? ②当 a ? 1 ? 0 时, b ? e x ? b ? 0 ; ③当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) , h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) , 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0 , 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0 ,
) (a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ? 1) (a ? 1? 0 .

令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x ( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x) ,

6

F ?( x)? 0? 0? x ? , e F ?( x) ? 0 ? x ? e ,
当 x ? e 时, F ( x ) max ?
e , 2 e . 2

当 a ? e ? 1 , a ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

【考点分析】 本题主要考查利用导数研究单调性, 利用导数求函数的最大值, 考查了学生的函数方程思想,等价转换思想,分类讨论思想,推理论证能力、运 算求解能力. 2.(2013 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b , g ( x) ? ex (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线
y ? g ( x) 都过点 P(0, 2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 .

(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值;(Ⅱ)若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg ( x) ,求 k 的取值范 围. 【解析】 (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x) = 2 x ? b , g ?( x) ? e x (cx ? d ? c) , ∴ a ? 4 , b ? 2 , c ? 2, d ? 2 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 , g ( x) ? 2ex ( x ? 1) , 设函数 F ( x) ? k g ( x) ? f ( x) ? 2k e x ( x ? 1) ? x2 ? 4x ? 2 ( x ? ?2) ,

F ?( x )? 2 k xe x ( ?

? 2 )x ?2 ? 4x ? 2 ( k

x

2 ?) (,e

1)

由题设可得 F (0) ? 0 ,即 k ? 1 , 令 F ?(0) ? 0 得, x1 ? ? ln k , x2 ? ?2 , (1)若 1 ? k ? e2 ,则 ?2 ? x1 ? 0 , ∴当 x ? (?2, x1 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x1 , ??) 时, F ?( x) ? 0 , 即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x) 在 x ? x1 取最 小值 F ( x1 ) , 而 F ( x1 ) ? 2x1 ? 2 ? x12 ? 4x1 ? 2 ? ? x1 ( x1 ? 2) ? 0 , ∴当 x ? ?2 时, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? kg ( x) 恒成立, (2)若 k ? e2 ,则 F ?( x) ? 2e2 ( x ? 2)(ex ? e2 ) ,

7

∴当 x ? ?2 时, F ?( x) ? 0 ,∴ F ( x) 在 (?2, ??) 单调递增,而 F (?2) ? 0 , ∴当 x ? ?2 时, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e2 ,则 F (?2) ? ?2k e?2 ? 2 ? ?2e?2 (k ? e2 ) ? 0 , ∴当 x ? ?2 时, f ( x) ? kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为 [1, e 2 ] . 【考点分析】 本题主要是考查利用导数的几何意义,利用导数研究函数的图象 性质,考查了学生的函数方程思想,等价转换思想,分类讨论思想,推理论证能 力、运算求解能力. 3.(2014 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分)
be x ?1 设函数 f ( x) ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 x
x

y ? e( x ? 1) ? 2 .

(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 . 【解析】(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,
a b b f ?( x) ? ae x ln x ? e x ? 2 e x ?1 ? e x ?1 x x x

由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e , (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? e x ln x ?

故 a ? 1, b ? 2 .

2 2e x ?1 ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? x ? , e x

设函数 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? x ? ln x ,
? 1? ?1 ? 所以当 x ? ? 0, ? 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , ? e? ?e ?
? 1? ?1 ? 故 g ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增, ? e? ?e ?

从而 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 的最小值为 设函数 h( x) ? xe ? x ?

1 1 g( ) ? ? . e e

2 ,则 h?( x) ? e? x ?1 ? x ? , e

所以当 x ? ? 0,1? 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? ?1, ??? 时, h?( x) ? 0 , 故 h( x) 在 ? 0,1? 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减,

8

1 从而 h( x) 在 ? 0, ?? ? 的最大值为 h(1) ? ? . e

综上所述,当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 . 【考点分析】本题主要是考查利用导数的几何意义,利用导数证明不等式,考 查了学生的,等价转换思想,推理论证能力,运算求解能力. 4.(2015 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分)
1 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x . 4

(Ⅰ)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; ( Ⅱ ) 用 min ?m, n? 表 示 m , n 中 的 最 小 值 , 设 函 数

h( x) ? min{ f ( x), g ( x)}( x ? 0) ,讨论 h( x) 零点的个数.
【解析】 ( I ) 设 曲 线 y ? f ( x) 与 x 轴 相 切 于 点 ( x0 , y0 ) 则 f ( x0 ) ? 0 即
1 ? 3 ? x0 ? ax0 ? ? 0 4 , ? ?3x 2 ? a ? 0 ? 0

1 3 解得: x0 ? ? , a ? ? , 4 2
3 因此,当 a ? ? 时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线. 4

(II)当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 , 从而 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ? g ( x) ? 0, 故 h( x) 在 (1, ??) 无零点; 当 x ? 1 时,
5 5 若 a ? ? ,则 f (1) ? a ? ? 0, h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0, 4 4

故 x ? 1 是 h( x) 的零点;
5 若 a ? ? ,则 f (1) ? 0, h(1) ? min ? f (1), g(1)? ? f (1) ? 0 , 4

故 x ? 1 不是 h( x) 的零点;
(0,1) 当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0. 所以只需要考虑 f ( x) 在 的零点个

数.

? x) ( 1, 0) (1)若 a ? ?3 或 a ? 0 ,则 f( 无零点, ? 3x2 ? a 在
9

1 5 (0,1) 故 f ( x) 在 单调, f (0) ? , f (1) ? a ? , 4 4

(0,1) (0,1) 所以当 a ? ?3 时 f ( x) 在 有一个零点;当 a ? 0 时 f ( x) 在 没有

零点;

a a f x) (2)若 ?3 ? a ? 0 ,则 ( 在 单调递减,在 单调递增, (0, ? ) ( ? ,1) 3 3
故在 中,当 x ? ? (0,1)

a 时, ( 取得最小值, f x) 3

a 2a a 1 最小值为 f ( ? ) ? ? ? 3 3 3 4
(0,1) (0,1) 所以当 a ? ?3 时 f ( x) 在 有一个零点;当 a ? 0 时 f ( x) 在 没

有零点;
3 a (0,1) ①若 f ( ? ) ? 0 ,即 ? ? a ? 0 , f ( x) 在 没有零点; 4 3
3 a (0,1) ②若 f ( ? ) ? 0 ,即 a ? ? , f ( x) 在 有唯一零点; 4 3

1 5 3 a ③若 f ( ? ) ? 0 ,即 ?3? a?? ,由于 f (0) ? , f (1) ? a ? ? 0 时, 4 4 4 3
即?

5 3 ? a ? ? 时 f ( x) 在 (0,1) 有两个零点; 4 4 5 (0,1) 时, f ( x) 在 有一个零点. 4

当 ?3 ? a ? ? 综上: 当a ? ?

3 3 5 5 或 a ? ? 时,h( x) 有一个零点; 当 a ? ? 或 a ? ? 时, 4 4 4 4

h( x) 有两个零点;当 ?

5 3 ? a ? ? 时, h( x) 有三个零点. 4 4

【考点分析】本题主要是考查利用导数的几何意义,利用导数研究函数的单 调性,三次函数的零点,考查了学生的函数方程思想,等价转换思想,数形结合 思想,分类讨论思想,推理论证能力,运算求解能力. 5.(2016 年全国高考新课标Ⅰ卷理科第 21 题,本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ?1)2 有两个零点. (I)求 a 的取值范围;
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(II)设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 【解析】(I)由已知得: f ' ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? e x ? 2a ?
x ① 若 a ? 0 ,那么 f ? x ? ? 0 ? ? x ? 2? e ? 0 ? x ? 2 ,

f ? x ? 只有唯一的零点 x ? 2 ,不合题意;
' ' ②若 a ? 0 ,则当 x ? ? ??,1? 时, f ? x ? < 0 ;当 x ? ?1, ??? 时, f ? x ? > 0 .

所以 f ? x ? 在 ? ??,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 单调递增.
a 又 f ?1? ? ?e , f ? 2? ? a ,取 b 满足 b < 0 且 b < ln ,则 2

f ?b ? >

a 3 ? 2 2 ?b ? 2? ? a ?b ? 1 ? ? a? , ?b ? b ? > 0 2 2 ? ?

故 f ? x ? 存在两个零点.
' ③设 a < 0 ,由 f ? x ? = 0 得 x ? 1 或 x ? ln ? ?2a ? .

e ' 若 a ? ? ,则 ln ? ?2a ? ? 1 ,故当 x ? ?1, ??? 时, f ? x ? > 0 , 2

因此 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增. 又当 x ? 1 时, f ? x ? < 0 ,所以 f ? x ? 不存在两个零点.
e 若 a < ? ,则 ln ? ?2a ? >1 ,故当 x ? ?1,ln ? ?2a ? ? 时 2

f ' ? x ? < 0 ;当 x ? ? ln ? ?2a ? , ??? 时, f ' ? x ? > 0
因此 f ? x ? 在 ?1,ln ? ?2a ? ? 单调递减,在 ? ln ? ?2a ? , ??? 单调递增. 又当 x ? 1 时, f ? x ? < 0 ,所以 f ? x ? 不存在两个零点. 综上 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? . (II)不妨设 x1 < x2 .由(I)知 x1 ? ? ??,1? , x2 ? ?1, ??? , 2 ? x2 ? ? ??,1? ,

f ? x ? 在 ? ??,1? 单调递减
所以 x1 ? x2 ? 2 ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? x2 ? ,即 f ? 2 ? x2 ? < 0 .
2? x 由于 f ? 2 ? x2 ? ? ? x2 e 2 ? a ? x2 ? 1? , 而fx ? 2 2

? ?? x ? 2?

2 e2 ?? axx

?2 ? ?1

?

2

0

2? x x 所以 f ? 2 ? x2 ? ? ?x2e 2 ? ? x2 ? 2? e 2

11

设 g ? x ? ? ?xe

2? x

? ? x ? 2? ex ,则 g ' ? x ? ? ? x ? 1? ? e 2? x ? e x ?

' 所以当 x > 1 时, g ? x ? < 0 ,则 g ?1? = 0 ,故当 x > 1 时, g ? x ? < 0

从而 g ? x2 ? ? f ? 2 ? x2 ? < 0 ,故 x1 ? x2 ? 2 . 【考点分析】本题主要是考查利用导数研究函数的零点问题,利用导数证明 不等式,考查了学生的函数方程思想,等价转换思想,数形结合思想,分类讨论 思想,推理论证能力,运算求解能力

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