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2012-2013学年辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


辽宁省大连市 2012-2013 学年高一上学期期末考试数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本 试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式:球的体积公式 V ?

4? 3 R ,球的表面积公式 S ? 4? R2 . 3

第I卷

/>一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 下列图形中,表示集合 M ? N 关系的韦恩图是 ( )

2.已知直线 x ? my ? 1 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 m 的值为( A. ?2 B. ?
3



1 2

C. 2

D.

1 2
) D.直线 y ? ? x 对称

3.函数 f ( x) ? x 的图像关于 A. y 轴对称 B.坐标原点对称



C.直线 y ? x 对称
2

2 4. 直 线 l 的 方 程 是 x ? 5 , 圆 C 的 方 程 是 ( x ? 2) ? y ? 9 , 则 直 线 l 与 圆 C 的 位 置 关 系 是 ( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切

?log2 x ( x ? 0) 1 5.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f ( )] 的值是 ( x ? 0) 4 ?3
A. 1 B. 1 C. 4

( D. 9

)

9

4
( )

6.如图为函数 y ? m ? ln x 的图像,其中 m 、 n 常数,则下列结论正确的是 A. m ? 0, n ? 1 C. m ? 0,0 ? n ? 1 B. m ? 0, n ? 1 D. m ? 0,0 ? n ? 1 y

O 1 x 7.在用二分法求方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解时,现已经确定一根在区间 (1, 2) 内,则下一步可断定 该根所在的区间为( )
3

A. (1.4, 2)

B. (1,1.4)

C. (1, )

3 2

D. ( , 2) )

3 2

8.已知函数 y ? log2 ( x2 ? 2kx ? k ) 的值域为 R,则 k 的取值范围是(
A.

0 ? k ?1

B 0 ? k ?1

C. k ? 0 或 k ?1

D. k ? 0或 k ?1

9.在下列正方体中,有 AB ? CD 的是(
A C


A
A C

A

C

C
D

D

D
B

B

D

B

B

B C D 2 2 2 2 10. 若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1 ( x ? 2) ? y ? 1 有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围
为( ) B. (? 3, 3)
2 2

A

A. [? 3, 3]

C. [ ?

3 3 , ] 3 3
2

D. ( ? (
2 2

3 3 , ) 3 3
)

11.点 P(4, ?2) 与圆 x ? y ? 4 上任一点连线的中点轨迹方程是 A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 D. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1
2

C. ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

? x ? x2 12. 已知函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D , 若对于任意的 x1 , 都有 f ? 1 x2 ? D ? x1 ? x2 ? , ? 2 则称 y ? f ? x ? 为 D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为( )
A. y ? log2 x B. y ? x C. y ? x3 D. y ? x2

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , ?? 2 ?

第 Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.设 a ? 3
0.2

, b ? log 1 ? , c ? ? ?
2

?1? ?2?

0..3

,则 a, b, c 从大到小的顺序为

.

14. 过点 ? ?1, 2? 引一直线,使其倾斜角为直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角的两倍,则该直线的方程是 _________________. 15.给出下列四个命题: ①若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面; ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面; ③若直线 l 平面? ,直线 m 平面? ,则 l m ; ④若直线 a 直线 b ,且直线 l ? a ,则 l ? b . 其中正确命题的序号是 .

16. 从点 P 出发三条射线 PA, PB, PC 两两成 60°角, 且分别与球 O 相切于 A, B, C 三点, 若球的体积为 则 OP 的距离为 . 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)

4? , 3

定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ≥0 时, ( f x) ? ?4x 2 ? 8x ? 3 . (Ⅰ)当 x ? 0 时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值,并写出 f ( x ) 在 R 上的单调区间(不必证明) .. 18.(本小题满分 12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD ,

?ABC ? 60? , PA ? AC ? a , PB ? PD ? 2a ,
点 E 是 PD 的中点.证明: (Ⅰ) PA ⊥平面 ABCD ; (Ⅱ) PB ∥平面 EAC .

19. (本小题满分 12 分) 如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形, 俯视图为正方形, 左视图为直 角三角形,尺寸如图所示), 2 2 4 2 2 2 4
主视图

4
左视图

(Ⅰ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (Ⅱ)若 G 为 BC 的中点,求证: AE ? PG .
俯视图

20.(本小题满分 12 分) 已知 g ( x) ? ? x ? 3 , f ( x ) 是二次函数, 当 x ? [?1, 2] 时, f ( x ) 的最小值为 1, 且 f( x) ? g( x)
2

为奇函数,

求函数 f ( x ) 的表达式.

21.(本小题满分 12 分) 已知圆 M 过两点 A (1,-1), B (-1,1),且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上.

(1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PC 、 PD 是圆 M 的两条切线, C 、 D 为切点,求四边 形 PCMD 面积的最小值. 22. (本题满分 12 分) 定义:对于任意

x ? [0, 1] , 函 数 f ( x) ? 0 恒 成 立 , 且 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时 , 总 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1) ? f ( x2 ) 成立,则称 f ( x) 为 G 函数.
已知函数 g ( x) ? x2 与 h( x) ? a ? 2x ?1 是定义在 [0, 1] 上的函数. (1)试问函数 g ( x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h( x) 是 G 函数,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,利用函数图象讨论方程 g (2x ) ? h(?2 x ? 1) ? m (m ? R) 解的个数情况.

高一期末测试卷数学参考答案与评分标准
一.选择题 1. C;2.A;3.B;4.B;5.A;6.D;7.D;8.C;9.A;10.C;11.A;12.D. 二.填空题 13. a ? c ? b ;14. x ? 1 ;15.②,④;16. 3. 三.解答题 17.解: (Ⅰ)设 x <0,则 ? x ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 f (? x) ? ?4(? x)2 ? 8(? x) ? 3 ? ?4x2 ? 8x ? 3 , · ∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) , ∴ x ? 0 时, f ( x) ? ?4 x ? 8x ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ?

2 ? ??4( x ? 1) ? 1( x ? 0) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2 ? 4( x ? 1) ? 1( x ? 0) ? ?

∴ y ? f ( x) 开口向下,所以 y ? f ( x) 有最大值 f (1) ? f (?1) ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是(-∞,-1 单调递减区间是 [-1,0]和 [1,+∞ 18.证明: (1)

? 和[0,1];

? . ·······························································10 分

底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,

? AB ? BC ? CD ? DA ? AC ? a . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分
PA ? AC ,? PA ? AB ? a , PB ? 2a ,
? PA ? AB ,同理可证 PA ? AD , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 又 AB AD ? A ,? PA ? 平面 ABCD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (2)连结 AC,BD 相交于 O ,则 O 为 BD 的中点. E 为 PD 的中点,? PB ∥ OE . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

OE ? 平面 EAC , PB ? 平面 EAC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? PB ∥ 平面 EAC .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分
又 19.解(Ⅰ)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, ······· 2 分

PA⊥面 ABCD,PA∥EB,且 PA=4 2,BE=2 2,AB=AD=CD=CB=4, .... 4 分
1 1 64 2 ∴VP-ABCD= PAxSABCD= ×4 2×4×4= ........................... 5 分 3 3 3 (Ⅱ)连 BP,∵ =

EB BA 1 = ,∠EBA=∠BAP=90°, .................. 7 分 AB PA 2

∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA, ............................... 8 分

∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,∴PB⊥AE. ................. 10 分 又∵BC⊥面 APEB,∴BC⊥AE,∴AE⊥面 PBG,∴AE⊥PG. ............ 12 分 20. 解:设 f ?x ? ? ax2 ? bx ? c?a ? 0?, 则 f ?x? ? g ?x? ? ?a ? 1?x 2 ? bx ? c ? 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 又 f ?x ? ? g ?x ? 为奇函数,

? a ? 1, c ? 3 . ·································································4 分
b . 2

? f ?x ? ? x
当?

2

? bx ? 3, 对称轴 x ? ?

b ? 2 时, f ( x) 在 ?? 1,2? 上为减函数 2

∴ f ( x ) 的最小值为 f ?2? ? 4 ? 2b ? 3 ? 1 ? b ? ?3 又 b ? ?4 , ∴此时无解. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 当 ?1 ? ?

b2 b ? b? ? 2 时, f ?x ?min ? f ? ? ? ? 3 ? ? 1 ? b ? ?2 2 2 4 ? 2?

∵ ? 4 ? b ? 2 ? b ? ?2 当?

2 ,此时 f ?x? ? x 2 ? 2 2x ? 3,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

b ? ?1 时, f ( x) 在 ?? 1,2? 上为增函数∴ f ( x) 的最小值为 f ?? 1? ? 4 ? b ? 1 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
2

? b ? 3 ,又满足 b ? 2 ∴ f ?x? ? x 2 ? 3x ? 3,

综上所述, f ?x? ? x 2 ? 2 2x ? 3, 或 f ?x? ? x ? 3x ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

21.解:(1)法一:线段 AB 的中点为(0,0),其垂直平分线方程为 x ? y ? 0 . ···· 2 分 解方程组 ?

? x ? y ? 0, 所以圆 M 的圆心坐标为(1,1). x ? y ? 2 ? 0. ?

故所求圆 M 的方程为: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 . ············· 4 分 法二:设圆 M 的方程为: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

?(1 ? a)2 ? (?1 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 根据题意得 ?(?1 ? a) ? (1 ? b) ? r , ·················· 2 分 ?a ? b ? 2 ? 0. ?
解得 a ? b ? 1, r ? 2 . 故所求圆 M 的方程为: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4 . ············· 4 分
2 2

(2)由题知,四边形 PCMD 的面积为

S ? S?PMC ? S ?PMD ?

1 1 CM PC ? DM PD . ············ 6 分 2 2

又 CM ? DM ? 2 , PC ? PD , 所以 S ? 2 PC ,而 PC ? | PM | ? | CM | ? | PM | ?4 ,
2 2 2
2 即 S ? | PM | ?4 . ························· 8 分

因此要求 S 的最小值,只需求 PM 的最小值即可, 即在直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上找一点 P ,使得 PM 的值最小, 所以 PM

min

?

3 ?1 ? 4 ?1 ? 8 32 ? 42

? 3 , ················· 10 分

所以四边形 PCMD 面积的最小值为

S ? | PM |2 ?4 ? 2 32 ? 4 ? 2 5 . ················· 12 分
22.解: (1) 当 x ??0,1? 时,总有 g( x ) ? x 2 ? 0 ,满足条件①,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,

g(x1 ? x2 ) ? (x1 ? x 2 )2 ? x12 ? x 22 ? 2x1x 2 ? x12 ? x 22 ? g(x1 ) ? g(x 2 ) ,
满足条件② · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 (2)∵ h( x) ? a ? 2 ?1 是 G 函数,∴ a ? 2 ? 1 ? 0 ,∴ a ?
x x

1 恒成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2x

∴ a ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 由 g( x1 ? x 2 ) ? g( x1 ) ? g( x 2 ) ,得 a ? 2 即 a[1 ? (2 1 ?1)(2 2 ?1)] ? 1 ,
x x
x1 ? x 2

?1 ? a ? 2x1 ?1 ? a ? 2 x2 ?1 ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

因为 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 所以

0 ? 2x1 ? 1 ? 1

x2 0? 2 ? 1 ? 1 x1 与 x 2 不 同 时 等 于 1

?0 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1 ,

?0 ? 1 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1 ,
?a ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 1 ? ( 2 ? 1)( 2x1 ? 1)
x1

当 x1 ? x 2 ? 0 时, (

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 )min ? 1 ,? a ? 1 , · 1 ? ( 2 ? 1)( 2x1 ? 1)
x1

综合上述 a 的值为 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

(3)根据⑵知: a=1,方程为 4 ? 2
x

?2x ?1

?1 ? m , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分

令 4x ? t

t ?[1, 4] 方程为 t ?

2 ? m ?1 t

图(略) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 由图形可知: 当 m ? {2 2 ? 1} ? ( 2, ] 时,有一解; 当 m ? (2 2 ?1, 2] 时,有二不同解; 当 m ? ( ??, 2 2 ? 1) ? ( , ?? ) 时,方程无解. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分

7 2

7 2


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