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1.2.1极坐标系的概念 学案(北师大版选修4-4)

时间:2016-05-19


§ 2

极坐标系

2.1 极坐标系的概念

1.了解极坐标系的概念. 课标解读 2.理解点的极坐标的不唯一性. 3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.

1.极坐标系的概念

图 1-2-1 如图 1-2-1 所示,在平面内取一个定点 O,叫作极点,从 O 点引一条射线 Ox,叫作 极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标 系,简称极坐标系. 2.极坐标的概念 对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的 角度,ρ 叫作点 M 的极径,θ 叫作点 M 的极角,有序实数对(ρ,θ)叫作点 M 的极坐标,记 作 M(ρ,θ). 特别地:当点 M 在极点时,它的极径 ρ=0,极角 θ 可以取任意值. 3.点与极坐标的关系

一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点,特别地:极点 O 的坐标为(0, θ)(θ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示; 同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.

1.建立极坐标系需要哪几个要素? 【提示】 建立极坐标系的要素是(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角度单位和它的 正方向, 四者缺一不可. 极轴是以极点为端点的一条射线, 它与极轴所在的直线是有区别的; 极角 θ 的始边是极轴,它的终边随着 θ 的大小和正负而取得各个位置;θ 的正方向通常取逆 时针方向, θ 的值一般是以弧度为单位的量数; 点 M 的极径 ρ 表示点 M 与极点 O 的距离|OM|, 因此 ρ≥0.但必要时,允许 ρ<0. 2.为什么点的极坐标不唯一? 【提示】 根据我们学过的任意角的概念:一是终边相同的角有无数个,它们相差 2π 的整数倍,所以点(ρ,θ)还可以写成(ρ,θ+2kπ)(k∈Z);二是终边在一条直线上且互为反向 延长线的两角的关系,所以点(ρ,θ)的坐标还可以写成(-ρ,θ+2kπ+π)(k∈Z). 3.试探究 M(ρ,θ)关于极轴、极点及过极点且垂直于极轴的直线的对称点坐标. 【提示】 (ρ,θ)关于极轴的对称点为(ρ,2π-θ),关于极点的对称点为(ρ,π+θ),关 于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(ρ,π-θ).

根据点的位置确定点的极坐标 π 设点 A(2, ),直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点 A 关于 3 极轴,直线 l,极点的对称点的极坐标(限定 ρ>0,0<θ≤2π). 【思路探究】 欲写出点的极坐标,首先应确定 ρ 和 θ 的值. 【自主解答】 5 如图所示,关于极轴的对称点为 B(2, π). 3

2 关于直线 l 的对称点为 C(2, π). 3 4π 关于极点 O 的对称点为 D(2, ). 3 四个点 A,B,C,D 都在以极点为圆心,2 为半径的圆上.

1.点的极坐标不是唯一的,但若限制 ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,点的极坐标是唯一 确定的. 2.写点的极坐标要注意顺序:极径 ρ 在前,极角 θ 在后,不能颠倒顺序.

若使正六边形的一个顶点为极点,极轴通过它的一边,试求正六边形各顶点的坐标.

【解】 建立如图所示的极坐标系,则正六边形各顶点的坐标为: π π π 2 A(0,0),B(a,0),C( 3a, ),D(2a, ),E( 3a, ),F(a, π). 6 3 2 3 由极坐标确定点的位置

在极坐标系中, 作出以下各点: A(4,0), π π 7π B(3, ),C(2, ),D(3, ). 4 2 4 【思路探究】 建立极 极径 坐标系― ― →作出极 极角 角的终边― ― →以极点 O 为圆心, 以极径为半径 分别画弧― →点的 位置 【自主解答】 如图,A,B,C,D 四个点分别是唯一确定的.

由极坐标确定点的位置的步骤: ①取定极点 O; ②作方向为水平向右的射线 Ox 为极轴; ③以极点 O 为顶点,以极轴 Ox 为始边,通常按逆时针方向旋转极轴 Ox 确定出极角的 终边; ④以极点 O 为圆心,以极径为半径画弧,弧与极角终边的交点即是所求点的位置.

在同一个极坐标系中,画出以下各点: π 3 π 9 A(1, ),B(2, π),C(3,- ),D(4, π). 4 2 4 4 【解】 如图所示.

极坐标系的实际应用

某大学校园的部分平面示意图如图 1-2-2 所示.

图 1-2-2 用点 O、A、B、C、D、E、F 分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、 花园,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.(限定 ρ≥0,0≤θ<2π 且极点为(0,0)). 【思路探究】 解答本题先选定极点作极轴, 建立极坐标系, 再求出各点的极径和极角,

即可得出各点的极坐标. 【自主解答】 以点 O 为极点,OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m),建立极坐 标系,如图所示.

由|OB|=600 m,∠AOB=30° ,∠OAB=90° ,得 |AB|=300 m,|OA|=300 3 m, 同样求得|OD|=2|OF|=300 2m, 所以各点的极坐标分别为 π π O(0,0),A(300 3,0),B(600, ),C(300, ), 6 2 3π 3π D(300 2, ),E(300,π),F(150 2, ). 4 4

在极坐标系中,由点的位置求极坐标时,随着极角的范围的不同,点的极坐标的表示也 会不同,只有在 ρ>0,θ∈[0,2π)的限定条件下,点的极坐标才是唯一的.

4π π (1)若 A(3, ),B(5, ),O 为极点,求△AOB 的面积; 3 6 3 7 (2)在极坐标系中,A(2, π)与 B(3, π),求 A、B 两点间的距离. 4 4 【解】

1 4 π 15 (1)S△AOB= ×|3×5×sin( π- )|= . 2 3 6 4 (2)A、B 在极坐标系中的位置如图: 则|AB|=5.

(教材第 18 页习题 1—2A 组第 2 题) 在极坐标系中,已知 A(ρ,θ),B(ρ,-θ),C(-ρ,-θ),D(-ρ,θ),则点 A 和 B、C 和 D 分别有怎样的相互位置关系?

(2013· 福州模拟)如图 1-2-3,如果对点的极坐标定义如下:点 π M(ρ,θ)(ρ>0,θ∈R),关于极点 O 的对称点 M′(-ρ,θ).例如,M(3, )关于极点 O 的对 3 π π π 称点 M′(-3, ),也就是说(3, +π)与(-3, )表示同一点. 3 3 3

图 1-2-3

5π 已知点 A 的极坐标是(6, ),分别在下列给定条件下,写出点 A 关于极点 O 的对称点 3 A′的极坐标: (1)ρ>0,-π<θ≤π; (2)ρ<0,0≤θ<2π; (3)ρ<0,-2π<θ≤0. 【命题意图】 本题以极坐标系中点的对称为载体, 主要考查极坐标系中点的极坐标的 确定,同时考查应用极坐标系解决问题的能力. 【解】 如图所示,

|OA|=|OA′|=6, 2π ∠xOA′= , 3 5π ∠xOA= ,即 A 与 A′关于极点 O 对称,由极坐标的定义知 3 2π (1)当 ρ>0,-π<θ≤π 时,A′点的坐标为(6, ); 3 5π (2)当 ρ<0,0≤θ<2π 时,A′点的坐标为(-6, ); 3 π (3)当 ρ<0,-2π<θ≤0 时,A′点的坐标为(-6,- ). 3

π 1.在极坐标系中与点 P(2, )表示同一点的是( 3 π A.(-2, ) 3 C.(-2, 4π ) 3 π B.(2,- ) 3

)

π D.(-2,- ) 3

【解析】 在极坐标系中将点 P 确定,再逐个验证知 C 正确. 【答案】 C π 2.点 P(2, )关于极轴的对称点的极坐标为( 3 π A.(-2, ) 3 4π C.(2, ) 3 ) 2π B.(2, ) 3 5π D.(2, ) 3

【解析】 在极坐标系中确定点 P 位置,再作出其关于极轴的对称点 P′知 D 正确. 【答案】 D 3.(2013· 南阳模拟)关于极坐标系的下列叙述: ①极轴是一条射线; ②极点的极坐标是(0,0); ③点(0,0)表示极点; π 5π ④点 M(4, )与点 N(4, )表示同一个点. 4 4 其中,叙述正确的序号是________. 【解析】 设极点为 O,极轴就是射线 Ox,①正确;极点 O 的极径 ρ=0,极角 θ 是任 意实数,极点的极坐标应为(0,θ),②错误;给定极坐标(0,0),可以在极坐标平面内确定唯 π 5π 一的一点,即极点,③正确;点 M 与点 N 的极角分别是 θ1= ,θ2= ,二者的终边互为反 4 4 向延长线,④错误. 【答案】 ①③ 4.已知边长为 2 的正方形 ABCD 的中心在极点,且一组对边与极轴 Ox 平行,求正方 形的顶点的极坐标(限定 ρ≥0,0≤θ<2π).

【解】 如图所示,由题意知|OA|=|OB|=|OC|=|OD|= 2, π 3π ∠xOA= ,∠xOB= , 4 4 5π 7π ∠xOC= ,∠xOD= . 4 4

π 3π 5π 7π ∴正方形的顶点坐标分别为 A( 2, ),B( 2, ),C( 2, ),D( 2, ). 4 4 4 4

一、选择题 π 1.在极坐标系中,点 M(-2, )的位置 ,可按如下规则确定( 6 π A.作射线 OP,使∠xOP= ,再在射线 OP 上取点 M,使|OM|=2 6 7π B.作射线 OP,使∠xOP= ,再在射线 OP 上取点 M,使|OM|=2 6 7π C.作射线 OP,使∠xOP= ,再在射线 OP 的反向延长线上取点 M,使|OM|=2 6 π D.作射线 OP,使∠xOP=- ,再在射线 OP 上取点 M,使|OM|=2 6 【解析】 当 ρ<0 时,点 M(ρ,θ)的位置按下列规定确定:作射线 OP,使∠xOP=θ, 在 OP 的反向延长线上取|OM|=|ρ|,则点 M 就是坐标(ρ,θ)的点,故选 B. 【答案】 B 2.若 ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点 M1(ρ1,θ1)与点 M2(ρ2,θ2)的位置关系是( A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.关于过极点垂直于极轴的直线对称 π D.关于过极点与极轴成 角的直线对称 4 【解析】 因为点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称的点为(-ρ,π-θ),由此可知点(ρ1,θ1) 和(ρ2,θ2)满足 ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,是关于极轴所在直线对称,故选 A. 【答案】 A π π 3. (2013· 商丘模拟)在极坐标系中, 已知 A(2, )、 B(6, - ), 则 OA、 OB 的夹角为( 6 6 π A. 6 π 5π C. D. 3 6 π 【解析】 如图所示,夹角为 . 3 B.0 ) ) )

【答案】 C π 5π 4.在极坐标系中,若等边△ABC 的两个顶点是 A(2, ),B(2, ),那么顶点 C 的坐 4 4 标可能是( )

3π 3π A.(4, ) B.(2 3, ) 4 4 C.(2 3,π) D.(3,π) 【解析】 如图,由题设,可知 A,B 两点关于极点 O 对称,即 O 是 AB 的中点.

π π π 3π 5π π 7π 又|AB|=4,∠AOC= ,C 对应的极角为 θ= + = 或 + = ,即 C 点的极坐标可 2 4 2 4 4 2 4 3π 7π 能为(2 3, )或(2 3, ),故应选 B. 4 4 【答案】 B 二、填空题 5π 5.点 M(6, )到极轴所在直线的距离为________. 6 5π 5π 【解析】 依题意,点 M(6, )到极轴所在的直线的距离为 d=6×sin =3. 6 6 【答案】 3 π 6.已知极坐标系中,极点为 O,0≤θ<2π,M(3, ),在直线 OM 上与点 M 的距离为 4 3 的点的极坐标为________. 【解析】 如图所示,|OM|=3,

π ∠xOM= , 3 在直线 OM 上取点 P,Q, 使|OP|=7,|OQ|=1, 显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4, |QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4.

点 P,Q 都满足条件. π 4π 且∠xOP= ,∠xOQ= . 3 3 π 4 【答案】 (7, )或(1, π) 3 3 三、解答题 7.在极坐标系中作下列各点,并说明每组中各点的位置关系. π π π 3 5 11 (1)A(2,0)、Bf(2, )、C(2, )、D(2, )、E(2, π)、F(2, π)、G(2, π); 6 4 2 2 4 6 π π 5 5 π (2)A(0, )、B(1, )、C(2, π)、D(3, π)、E(3, ). 4 4 4 4 4 【解】 (1)所有点都在以极点为圆心,半径为 2 的圆上.

π (2)所有点都在与极轴的倾斜角为 ,且过极点的直线上. 4

π 5π 8.已知 A、B 两点的极坐标分别是(2, )、(4, ),求 A、B 两点间的距离和△AOB 的 3 6 面积. 【解】 求两点间的距离可用如下公式: |AB|= 5π π 4+16-2×2×4×cos? - ? 6 3

= 20=2 5. 1 S△AOB= |ρ1ρ2sin(θ1-θ2)| 2 1 5π π 1 = |2×4×sin( - )|= ×2×4=4. 2 6 3 2 π π π 9.已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是 A(5, ),B(5, ),C(-4 3, ),试判断△ 6 2 3 ABC 的形状,并求出它的面积. 4π π π π 【解】 ∵C(4 3, ),∠AOB= - = , 3 2 6 3 且|AO|=|BO|,所以△AOB 是等边三角形, |AB|=5,

|BC|= = 133, |AC|= = 133,

4π π 52+?4 3?2-2×5×4 3×cos? - ? 3 2

2π π 52+?4 3?2-2×5×4 3cos? + ? 3 6

∵|AC|=|BC|, ∴△ABC 为等腰三角形, AB 边上的高为 4 3+5× 3 13 3 = , 2 2

1 13 3 65 3 ∴S△ABC= ×5× = . 2 2 4

教师备选 π 7 10.在极坐标系中,B(3, ),D(3, π),试判断点 B,D 的位置是否具有对称性,并求 4 4 出 B,D 关于极点的对称点的极坐标(限定 ρ>0,θ∈[0,2π)). π 7π 【解】 由 B(3, ),D(3, ), 4 4 π 7π 知|OB|=|OD|=3,极角 与 的终边关于极轴对称. 4 4 所以点 B,D 关于极轴对称. π 7π 设点 B(3, ),D(3, )关于极点的对称点分别为 E(ρ1,θ1),F(ρ2,θ2), 4 4 5π 3π 且 ρ1=ρ2=3.当 θ∈[0,2π)时,θ1= ,θ2= , 4 4 5π 3π ),F(3, )为所求. 4 4

∴E(3,


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