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2016年02月25日导数及应用答案


2016 年 02 月 25 日导数及应用
一.选择题(共 10 小题) 1. (2016?重庆模拟)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,且 f′(x)>2f(x) (x∈R) ,f( ) =e(e 为自然对数的底数) ,则不等式 f(lnx)<x 的解集为( A. (0, ) B. (0, ) C. ( , ) D. ( , )
2

>)

2. (2016?重庆校级模拟)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时不等式 f(x) +xf′(x)<0 成立,若 a=3 ?f(3 ) ,b=logπ3?f(logπ3) ,c=log3 ?f(log3 ) ,则 a,b,c 大小关系是( ) A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.b>c>a 3. (2016?南充一模)函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(1)=0,当 x<0 时, xf′(x)+f(x)>0,则使得 f(x)<0 成立的 x 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) B. (﹣1,0)∪(1,+∞) C. (﹣∞, ﹣1) ∪ (1, +∞) D. (﹣1,0)∪(0,1)
3 2 0.3 0.3

4. (2016?白山一模)设函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx,记 g(x)= 至少存在一个零点,则实数 m 的取值范围是( A. (﹣∞,e + ] B. (0,e + ]
2 2 2

,若函数 g(x)


2 2

C. (e + ,+∞] D. (﹣e ﹣ ,e + ]

5. (2016?黄山一模) 数列{an}满足 an+2=2an+1﹣an, 且 a2014, a2016 是函数 ( f x) = ﹣1 的极值点,则 log2(a2000+a2012+a2018+a2030)的值是( A.2 B.3 C.4 D.5
2 2

+6x



6. (2016?沈阳一模) 已知函数 y=x 的图象在点 (x0, x0 ) 处的切线为 l, 若 l 也与函数 y=lnx, x∈(0,1)的图象相切,则 x0 必满足( ) A.0<x0< B. <x0<1 C. <x0< D. <x0
3

7. (2016?汕头模拟)若过点 A(2,m)可作函数 f(x)=x ﹣3x 对应曲线的三条切线,则 实数 m 的取值范围( ) A.[﹣2,6] B. (﹣6,1) C. (﹣6,2) D. (﹣4,2)

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8. (2009?安徽)设函数 f(x)= (1)的取值范围是( A.[﹣2,2] B.[ , ) ]

x+

3

x +tanθ,其中 θ∈[0,

2

],则导数 f′

C.[

,2] D.[

,2]

9. (2015?山东模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) , f(2)=﹣2,f(1+x)=﹣f(1﹣x) ,则不等式 f(x)<2e 的解集为( A. (﹣2,+∞) B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. (4,+∞)
x



10. (2015?钦州模拟)已知函数 y=f(x)满足下列条件: (1)对?x∈R,函数 y=f(x)的导 数 f′(x)<0 恒成立; (2)函数 y=f(x+2)的图象关于点(﹣2,0)对称;对?x、y∈R 有 f(x ﹣8x+21)+f(y ﹣6y)>0 恒成立.则当 0<x<4 时,x +y 的取值范围为( A. (3,7) B. (9,25) C.[9,41) D. (9,49)
2 2 2 2



二.填空题(共 10 小题) 11.从 x 轴上一点 A 分别向函数 f(x)=﹣x 与函数 g(x)=
3

引不是水平方向的

切线 L1 和 L2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C, O 为坐标原点, 记△ OAB 的面积为 S1, △ OAC 的面积为 S2,则 S1+S2 的最小值为 . 12.已知函数 f(x)=x ﹣2x+alnx(a∈R) ,当 a=2 时,求函数 f(x)在(1,f(1) )处的切 线方程为 . 13. 若函数 ( f x) 在某点处的切线方程为 x﹣y+1=0, 则函数在该点处的导数为
x 2



14. (2016?惠州模拟)设点 P 在曲线 y= e 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小 值为 .
2

15. (2015?天津)曲线 y=x 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为
3



16. (2015?新课标 I)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图象在点(1,f(1) )处的切线过点(2, 7) ,则 a= . 17. (2015?宜昌校级一模)给定可导函数 y=f(x) ,如果存在 x0∈[a,b],使得 f(x0) = 成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“平均值点”.
3

(1)函数 f(x)=x ﹣3x 在区间[﹣2,2]上的平均值点为 (2)如果函数 g(x)= 值范围是 .



+mx 在区间[﹣1,1]上有两个“平均值点”,则实数 m 的取

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18. (2013?息县校级一模)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x 和 切,则 a 等于 .

3

都相

19. (2013?沈河区校级模拟)已知在区间(a,b)上,f(x)>0,f′(x)>0,对 x 轴上的 任意两点(x1,0) , (x2,0) , (a<x1<x2<b)都有 f( S1= S2、S3 的大小关系为 f(x)dx,S2= .
3 2

)>

.若

(b﹣a) ,S3=f(a) (b﹣a) ,则 S1、

20. (2011?渝水区校级模拟)曲线 y=x +3x +6x﹣10 的切线中,斜率最小的切线方程 是 .

三.解答题(共 10 小题) 21. (2011 春?西湖区校级期中)已知函数 f(x)=x,函数 g(x)=λf(x)+sinx 是区间[﹣1, 1]上的减函数. (1)求 λ 的最大值; (2)若 g(x)<t +λt+1 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求 t 的取值范围. 22. (2011 秋?北碚区校级期末)设 (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程; (2)当 时,求 f(x)的极大值和极小值. .
2

23. (2011 秋?渭城区校级期末)已知函数 (1)求函数的极值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 24. (2011?太原模拟)设 a>0,函数 f(x)=



,b 为常数.

(1)证明:函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个; (2)若函数 f(x)的极大值为 1,极小值为﹣1,试求 a 的值. 25. (2011?遂川县校级模拟)已知函数 f(x)= x + (b﹣1)x +cx. (1)当 b=﹣3,c=3 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在(﹣∞,x1) , (x2,+∞)上递增,在(x1,x2)上递减,x2﹣x1>1,求证: 2 b >2(b+2c) ; 2 (3)在(2)的条件下,若 t<x1,试比较 t +bt+c 与 x1 的大小.
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3 2

26. (2011?下城区校级模拟)已知函数 值点和一个极小值点,且其中一个极值点是 x=﹣c (1)求函数 f(x)的另一个极值点;

(c>0 且 c≠1,k>0)恰有一个极大

(2)设函数 f(x)的极大值为 M,极小值为 m,若 M﹣m≥1 对 的取值范围.

恒成立,求 k

27. (2011?南充一模)已知函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,且 f′(x)=2x﹣1,数列{an} 的前 n 项和 Sn=f(n) (n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 an+log3n=log3bn 求数列{bn}的前 n 项和. 28. (2011?中山市校级模拟)已知函数 f(x)=lnx, (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 F(x)的单调区间; (Ⅱ)若以函数 y=F(x) (0<x≤3)图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线斜率 成立,求实数 a 的最小值. 29. (2016?眉山模拟) 已知函数 f (x) =lnx, g (x) =e , 其中 e 是自然对数的底数, e=2.71828… (1)若函数 φ(x)=f(x)﹣ ,求函数 φ(x)的单调区间;
x

,设 F(x)=f(x)+g(x) .



(2)若 x≥0,g(x)≥kf(x+1)+1 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)设直线 l 为函数 f(x)的图象上一点,A(x0,f(x0) )处的切线,证明:在区间(1, +∞)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切. 30. (2015?江西模拟)已知函数 f(x)= f(1) )处的切线过点(3,0) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)与函数 g(x)=a+2﹣x﹣ 的图象在(0,2]有且只有一个交点,求实数 a 的取值范围. (其中 a≤2 且 a≠0) ,函数 f(x)在点(1,

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2016 年 02 月 25 日导数及应用
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题) 1. (2016?重庆模拟)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,且 f′(x)>2f(x) (x∈R) ,f( ) =e(e 为自然对数的底数) ,则不等式 f(lnx)<x 的解集为( A. (0, ) B. (0,
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2





C. ( , ) D. ( ,



【考点】导数的运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;导数的概念及应用;不等式的解法及应用. 【分析】构造函数 F(x)= ,求出导数,判断 F(x)在 R 上递增.原不等式等价为

F(lnx)<F( ) ,运用单调性,可得 lnx< ,运用对数不等式的解法,即可得到所求解集.

【解答】解:可构造函数 F(x)=



F′(x)=

=



由 f′(x)>2f(x) ,可得 F′(x)>0,即有 F(x)在 R 上递增. 不等式 f(lnx)<x 即为
2

<1, (x>0) ,即

<1,x>0.

即有 F( )=

=1,即为 F(lnx)<F( ) , .

由 F(x)在 R 上递增,可得 lnx< ,解得 0<x<

故不等式的解集为(0, ) , 故选:B. 【点评】本题考查导数的运用:求单调性,考查构造法的运用,以及单调性的运用,对数不 等式的解法,属于中档题. 2. (2016?重庆校级模拟)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时不等式 f(x) +xf′(x)<0 成立,若 a=3 ?f(3 ) ,b=logπ3?f(logπ3) ,c=log3 ?f(log3 ) ,则 a,b,c 大小关系是( ) A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.b>c>a 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质.
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0.3 0.3

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【专题】导数的概念及应用. 【分析】由已知中 f(x)+xf′(x) ,结合导数的运算性质(uv)′=u′v+uv′,构造函数 h(x) =xf(x) ,则 h′(x)=f(x)+xf′(x)<0,所以利用 h(x)的单调性问题很容易解决. 【解答】解:令 h(x)=xf(x) , ∵函数 y=f(x)以及函数 y=x 是 R 上的奇函数 ∴h(x)=xf(x)是 R 上的偶函数, 又∵当 x>0 时,h′(x)=f(x)+xf′(x)<0, ∴函数 h(x)在 x∈(0,+∞)时的单调性为单调递减函数; ∴h(x)在 x∈(﹣∞,0)时的单调性为单调递增函数. 若 a=3 ?f(3 ) , 又∵函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,从而 h(0)=0 因为 log3 =﹣2,所以 f(log3 )=f(﹣2)=﹣f(2) , 由 0<logπ3<1<3 <3 <2 所以 h(logπ3)>h(3 )>h(2)=f(log3 ) , 即:b>a>c 故选 A 【点评】本题考查的考点与方法有:1)所有的基本函数的奇偶性;2)抽象问题具体化的思 想方法,构造函数的思想;3)导数的运算法则: (uv)′=u′v+uv′;4)指对数函数的图象;5) 奇偶函数在对称区间上的单调性: 奇函数在对称区间上的单调性相同; 偶函数在对称区间上 的单调性相反;5)奇偶函数的性质:奇×奇=偶;偶×偶=偶;奇×偶=奇(同号得正、异号得 负) ;奇+奇=奇;偶+偶=偶.本题结合已知构造出 h(x)是正确解答的关键所在. 3. (2016?南充一模)函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(1)=0,当 x<0 时, xf′(x)+f(x)>0,则使得 f(x)<0 成立的 x 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) B. (﹣1,0)∪(1,+∞) C. (﹣∞, ﹣1) ∪ (1, +∞) D. (﹣1,0)∪(0,1) 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系. 【专题】数形结合;构造法;转化法;导数的概念及应用. 【分析】根据题意构造函数 g(x)=xf(x) ,由求导公式和法则求出 g′(x) ,结合条件判断 出 g′(x)的符号,即可得到函数 g(x)的单调区间,根据 f(x)奇函数判断出 g(x)是偶函数,将不等式进行转化,由图象求出不等式成立时 x 的取值范围. 【解答】解:设 g(x)=xf(x) ,则 g′(x)=xf′(x)+f(x) , ∵当 x<0 时,xf′(x)+f(x)>0, ∴则当 x<0 时,g′(x)>0, ∴函数 g(x)=xf(x)在(﹣∞,0)上为增函数, ∵函数 f(x)是奇函数,∴g(﹣x)=(﹣x)f(﹣x)=(﹣x)[﹣f(x)]=xf(x)=g(x) , ∴函数 g(x)为定义域上的偶函数, 由 f(1)=0 得,g(1)=0,函数 g(x)的图象大致如右图:
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0.3

0.3



0.3

0.5

0.3

∵不等式 f(x)<0?

<0,
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由函数的图象得,﹣1<x<0 或 x>1, ∴使得 f(x)<0 成立的 x 的取值范围是: (﹣1,0)∪(1,+∞) , 故选:B.

【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性,由函数的奇偶性、单调性解不等式,考查构 造函数法,转化思想和数形结合思想,属于综合题.
3 2

4. (2016?白山一模)设函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx,记 g(x)= 至少存在一个零点,则实数 m 的取值范围是( A. (﹣∞,e + ] B. (0,e + ]
2 2 2

,若函数 g(x)


2 2

C. (e + ,+∞] D. (﹣e ﹣ ,e + ]
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【考点】利用导数研究函数的极值. 【专题】计算题;导数的综合应用.

【分析】由题意先求函数的定义域,再化简为方程 x ﹣2ex +mx﹣lnx=0 有解,则 m= =﹣x +2ex+
2

3

2

,求导求函数 m=﹣x +2ex+

2

的值域,从而得 m 的

取值范围. 3 2 【解答】解:∵f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx 的定义域为(0,+∞) , 又∵g(x)= ,

∴函数 g(x)至少存在一个零点可化为 3 2 函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx 至少有一个零点; 3 2 即方程 x ﹣2ex +mx﹣lnx=0 有解, 则 m= =﹣x +2ex+
2



m′=﹣2x+2e+

=﹣2(x﹣e)+



故当 x∈(0,e)时,m′>0, 当 x∈(e,+∞)时,m′<0;

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则 m=﹣x +2ex+

2

在(0,e)上单调递增,

在(e,+∞)上单调递减, 故 m≤﹣e +2?e?e+ =e + ; 又∵当 x+→0 时,m=﹣x +2ex+ 故 m≤e + ; 故选 A. 【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系,属于中档题.
2 2 2 2

→﹣∞,

5. (2016?黄山一模) 数列{an}满足 an+2=2an+1﹣an, 且 a2014, a2016 是函数 ( f x) =

+6x

﹣1 的极值点,则 log2(a2000+a2012+a2018+a2030)的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】利用导数研究函数的极值;等差数列的性质. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;导数的综合应用;等差数列与等比数列. 【分析】 利用导数即可得出函数的极值点, 再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可 得出.
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【解答】解:函数 f(x)= ∵a2014,a2016 是函数 f(x)=
2

+6x﹣1,可得 f′(x)=x ﹣8x+6, +6x﹣1 的极值点,

2

∴a2014,a2016 是方程 x ﹣8x+6=0 的两实数根,则 a2014+a2016=8. 数列{an}中,满足 an+2=2an+1﹣an, 可知{an}为等差数列, ∴a2014+a2016=a2000+a2030,即 a2000+a2012+a2018+a2030=16, 从而 log2(a2000+a2012+a2018+a2030)=log216=4. 故选:C. 【点评】 熟练掌握利用导数研究函数的极值、 等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的 关键. 6. (2016?沈阳一模) 已知函数 y=x 的图象在点 (x0, x0 ) 处的切线为 l, 若 l 也与函数 y=lnx, x∈(0,1)的图象相切,则 x0 必满足( ) A.0<x0< B. <x0<1 C. <x0< D.
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2

2

<x0

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】方程思想;分析法;导数的概念及应用. 【分析】求出函数 y=x 的导数,y=lnx 的导数,求出切线的斜率,切线的方程,可得 2x0= , lnm﹣1=﹣x0 ,再由零点存在定理,即可得到所求范围. 2 【解答】解:函数 y=x 的导数为 y′=2x, 2 在点(x0,x0 )处的切线的斜率为 k=2x0,
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2 2

切线方程为 y﹣x0 =2x0(x﹣x0) , 设切线与 y=lnx 相切的切点为(m,lnm) ,0<m<1, 即有 y=lnx 的导数为 y′= , 可得 2x0= ,切线方程为 y﹣lnm= (x﹣m) , 令 x=0,可得 y=lnm﹣1=﹣x0 , 由 0<m<1,可得 x0> ,且 x0 >1, 解得 x0>1, 由 m= ,可得 x0 ﹣ln(2x0)﹣1=0,
2 2 2 2

2

令 f(x)=x ﹣ln(2x)﹣1,x>1, f′(x)=2x﹣ >0,f(x)在 x>1 递增, 且 f( )=2﹣ln2 ﹣1<0,f( )=3﹣ln2 ﹣1>0, 2 则有 x0 ﹣ln(2x0)﹣1=0 的根 x0∈( , ) . 故选:D. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间,考查函数方程的转化思想,以及 函数零点存在定理的运用,属于中档题. 7. (2016?汕头模拟)若过点 A(2,m)可作函数 f(x)=x ﹣3x 对应曲线的三条切线,则 实数 m 的取值范围( ) A.[﹣2,6] B. (﹣6,1) C. (﹣6,2) D. (﹣4,2) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】综合题;方程思想;综合法;导数的概念及应用. 3 【分析】设切点为(a,a ﹣3a) ,利用导数的几何意义,求得切线的斜率 k=f′(a) ,利用点 斜式写出切线方程,将点 A 代入切线方程,可得关于 a 的方程有三个不同的解,利用参变 3 2 3 2 量分离可得 2a ﹣6a =﹣6﹣m,令 g(x)=2x ﹣6x ,利用导数求出 g(x)的单调性和极值, 则根据 y=g(x)与 y=﹣6﹣m 有三个不同的交点,即可得到 m 的取值范围.
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3

【解答】解:设切点为(a,a ﹣3a) , 3 ∵f(x)=x ﹣3x, 2 ∴f'(x)=3x ﹣3, 2 ∴切线的斜率 k=f′(a)=3a ﹣3, 3 2 由点斜式可得切线方程为 y﹣(a ﹣3a)=(3a ﹣3) (x﹣a) , ∵切线过点 A(2,m) , 3 2 3 2 ∴m﹣(a ﹣3a)=(3a ﹣3) (2﹣a) ,即 2a ﹣6a =﹣6﹣m, ∵过点 A(2,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线, 3 2 ∴关于 a 的方程 2a ﹣6a =﹣6﹣m 有三个不同的根, 3 2 令 g(x)=2x ﹣6x 2 ∴g′(x)=6x ﹣12x=0,解得 x=0 或 x=2, 当 x<0 时,g′(x)>0,当 0<x<2 时,g′(x)<0,当 x>2 时,g′(x)>0, ∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴当 x=0 时,g(x)取得极大值 g(0)=0,
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3

当 x=2 时,g(x)取得极小值 g(2)=﹣8, 关于 a 的方程 2a ﹣6a =﹣6﹣m 有三个不同的根,等价于 y=g(x)与 y=﹣6﹣m 的图象有 三个不同的交点, ∴﹣8<﹣6﹣m<0, ∴﹣6<m<2, ∴实数 m 的取值范围为(﹣6,2) . 故选:C. 【点评】 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的几何意义即在某点处的导数 即该点处切线的斜率, 解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上. 运用了转化的数学 思想方法,对能力要求较高.属于中档题.
3 3 2

8. (2009?安徽)设函数 f(x)=

x+

x +tanθ,其中 θ∈[0,

2

],则导数 f′

(1)的取值范围是( ) A.[﹣2,2] B.[ , ] C.[ ,2] D.[ ,2] 【考点】导数的运算. 【专题】压轴题. 【分析】利用基本求导公式先求出 f′(x) ,然后令 x=1,求出 f′(1)的表达式,从而转化为 三角函数求值域问题,求解即可. 2 【解答】解:∵f′(x)=sinθ?x + cosθ?x,
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∴f′(1)=sinθ+ ∵θ∈[0, ∴θ+ ∈[ ], , )∈[ )∈[

cosθ=2sin(θ+

) .

]. ,1]. ,2].

∴sin(θ+ ∴2sin(θ+

故选 D. 【点评】本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题,熟记公式是解题的关键. 9. (2015?山东模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) , x f(2)=﹣2,f(1+x)=﹣f(1﹣x) ,则不等式 f(x)<2e 的解集为( ) A. (﹣2,+∞) B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. (4,+∞) 【考点】导数的运算. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用.
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【分析】 由f (2) =﹣2, f (1+x) =﹣f (1﹣x) , 取 x=1 代入, 可得 f (0) =2. 令g (x) = 可得 g′(x)<0,利用其单调性即可解出. 【解答】解:∵f(2)=﹣2,f(1+x)=﹣f(1﹣x) , ∴f(2)=﹣f(0)=﹣2,解得 f(0)=2.
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令 g(x)=

,则 g′(x)=

=



∵f′(x)<f(x) , ∴g′(x)<0, ∴g(x)在 R 上单调递减, ∵ <2= ,

∴x>0, x ∴不等式 f(x)<2e 的解集为(0,+∞) , 故选:B. 【点评】 本题考查了构造函数利用导数研究函数的单调性解不等式的方法, 考查了推理能力 与计算能力,属于难题. 10. (2015?钦州模拟)已知函数 y=f(x)满足下列条件: (1)对?x∈R,函数 y=f(x)的导 数 f′(x)<0 恒成立; (2)函数 y=f(x+2)的图象关于点(﹣2,0)对称;对?x、y∈R 有 f(x ﹣8x+21)+f(y ﹣6y)>0 恒成立.则当 0<x<4 时,x +y 的取值范围为( ) A. (3,7) B. (9,25) C.[9,41) D. (9,49) 【考点】导数的运算;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】由(1)可得函数 f(x)在 R 上单调递减;由(2)可得函数 f(x)为减函数;已
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2

2

2

2

知对?x、y∈R 有 f(x ﹣8x+21)+f(y ﹣6y)>0 恒成立,化为 f(x ﹣8x+21)>﹣f(y 2 2 2 2 2 ﹣6y)=f(6y﹣y ) .可得 x ﹣8x+21<6y﹣y ,化为(x﹣4) +(y﹣3) <4.圆心 C(4, 2 2 2 2 2 3) ,半径 R=2.可得 x +y ≥(|OC|﹣R) =9.直线 x=4 与圆(x﹣4) +(y﹣3) =4 相交于 2 2 2 点 P(4,1) ,Q(4,5) .x +y <|OQ| =41.即可得出. 【解答】解:由(1)对?x∈R,函数 y=f(x)的导数 f′(x)<0 恒成立,可得函数 f(x) 在 R 上单调递减; 由(2)函数 y=f(x+2)的图象关于点(﹣2,0)对称,∴函数 f(x)为奇函数; 2 2 2 2 ∴对?x、y∈R 有 f(x ﹣8x+21)+f(y ﹣6y)>0 恒成立,化为 f(x ﹣8x+21)>﹣f(y 2 ﹣6y)=f(6y﹣y ) . 2 2 ∴x ﹣8x+21<6y﹣y , 2 2 化为(x﹣4) +(y﹣3) <4.圆心 C(4,3) ,半径 R=2. 2 2 2 ∴x +y >(|OC|﹣R) =9. 2 2 直线 x=4 与圆(x﹣4) +(y﹣3) =4 相交于点 P(4,1) ,Q(4,5) . 2 2 2 ∴x +y <|OQ| =41. 2 2 ∴则当 0<x<4 时,x +y 的取值范围为(9,41) . 故选:C. 【点评】 本题综合考查了函数的奇偶性、 单调性、 点与圆的位置关系、 两点之间的距离公式, 考查了推理能力与计算能力,属于难题. 二.填空题(共 10 小题)

2

2

2

2

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11.从 x 轴上一点 A 分别向函数 f(x)=﹣x 与函数 g(x)=

3

引不是水平方向的

切线 L1 和 L2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C, O 为坐标原点, 记△ OAB 的面积为 S1, △ OAC 的面积为 S2,则 S1+S2 的最小值为 8 . 【考点】导数的几何意义;不等式的综合. 【专题】计算题;导数的综合应用. 【分析】设点 A(a,0) ,点 B(0,b)和点 C(0,c) .对函数求导,求切线方程.利用不 等式求最值. 【解答】解:设点 A(a,0) ,点 B(0,b)和点 C(0,c) .
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g(x)=
﹣4

=

=x (x>0) ,

﹣3

则 g′(x)=﹣3x ; ﹣3 设切线 L2 与函数 g(x)的图象相切于点(m,m ) ﹣3 ﹣4 则 y﹣m =﹣3m (x﹣m) ; ﹣4 ﹣3 即 y═﹣3m x+4m ; 代入(a,0)得, 0=﹣3m a+4m ; 则 m= (a>0) ,
﹣3 ﹣4 ﹣3

则 c=4m =4( 同理,b=( )
3



﹣3

则 S1+S2= (4(

) +2(

﹣3

) )a

3

=

=

=3?

=3

=8

(当且仅当

,即 a=

时,等号成立)

【点评】本题考查了函数切线的求法,及不等式的应用,相对化简较难,计算量比较大,做 题一定要细致. 12.已知函数 f(x)=x ﹣2x+alnx(a∈R) ,当 a=2 时,求函数 f(x)在(1,f(1) )处的切 线方程为 y=2x﹣3 . 【考点】导数的几何意义. 【专题】计算题;导数的概念及应用.
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2

第 12 页(共 26 页)

【分析】求当 a=2 时,函数的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到切线方 程 【解答】解:因为当 a=2 时,f(x)=x ﹣2x+2lnx,所以 f′(x)=2x﹣2+ 因为 f(1)=﹣1,f'(1)=2,所以切线方程为 y=2x﹣3. 故答案为:y=2x﹣3. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义,属于中档题. 13.若函数 f(x)在某点处的切线方程为 x﹣y+1=0,则函数在该点处的导数为 1 . 【考点】导数的几何意义. 【专题】函数思想;分析法;导数的概念及应用. 【分析】根据导数的几何意义得出函数在该点处的导数与函数 f(x)在某点处的切线的斜 率相等 【解答】解:函数在该点处的导数与函数 f(x)在某点处的切线的斜率相等, ∵函数 f(x)在某点处的切线方程为 x﹣y+1=0, ∴切线的斜率为 1, 根据导数的几何意义得出:函数在该点处的导数为 1, 故答案为:1. 【点评】本题考查了导数的几何意义,直线方程的运用,难度不大,准确理解题意即可.
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2

14. (2016?惠州模拟)设点 P 在曲线 y= e 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小 值为 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;两点间距离公式的应用. 【专题】计算题;导数的概念及应用.
x

x

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【分析】由于函数 y= e 与函数 y=ln(2x)互为反函数,图象关于 y=x 对称,要求|PQ|的最

小值,只要求出函数 y= e 上的点 P(x, e )到直线 y=x 的距离为 d= (x)= e ﹣x,求出 g(x)min=1﹣ln2,即可得出结论. 【解答】解:∵函数 y= e 与函数 y=ln(2x)互为反函数,图象关于 y=x 对称
x x

x

x

,设 g

函数 y= e 上的点 P(x, e )到直线 y=x 的距离为 d= 设 g(x)= e ﹣x, (x>0)则 g′(x)= e ﹣1 由 g′(x)= e ﹣1≥0 可得 x≥ln2, 由 g′(x)= e ﹣1<0 可得 0<x<ln2 ∴函数 g(x)在(0,ln2)单调递减,在[ln2,+∞)单调递增
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x x x x

x

x

∴当 x=ln2 时,函数 g(x)min=1﹣ln2,dmin= 由图象关于 y=x 对称得:|PQ|最小值为 2dmin= . 故答案为: . 【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用,注意本题解法中的转化思想的应用, 根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离,构造很好.
2

15. (2015?天津)曲线 y=x 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为
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【考点】定积分在求面积中的应用. 【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为 0,积分上限为 1,从而利用 定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为 1,积分下限为 0 2 1 2 直线 y=x 与曲线 y=x 所围图形的面积 S=∫0 (x﹣x )dx 而∫0 (x﹣x )dx=( ∴曲边梯形的面积是 . 故答案为: .
1 2

)|0 = ﹣ =

1

【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利 用定积分求图形面积的能力,解题的关键就是求原函数. 16. (2015?新课标 I)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图象在点(1,f(1) )处的切线过点(2, 7) ,则 a= 1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的综合应用. 【分析】求出函数的导数,利用切线的方程经过的点求解即可. 3 2 【解答】解:函数 f(x)=ax +x+1 的导数为:f′(x)=3ax +1,f′(1)=3a+1,而 f(1)=a+2, 切线方程为:y﹣a﹣2=(3a+1) (x﹣1) ,因为切线方程经过(2,7) , 所以 7﹣a﹣2=(3a+1) (2﹣1) , 解得 a=1.
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3

第 14 页(共 26 页)

故答案为:1. 【点评】本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查计算能力. 17. (2015?宜昌校级一模)给定可导函数 y=f(x) ,如果存在 x0∈[a,b],使得 f(x0) = 成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“平均值点”.
3

(1)函数 f(x)=x ﹣3x 在区间[﹣2,2]上的平均值点为 (2)如果函数 g(x)= 值范围是 [
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,0 ;

+mx 在区间[﹣1,1]上有两个“平均值点”,则实数 m 的取 ] .

【考点】定积分. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (1)首先由新定义求出 f(x0) ,然后代入解析式求出 x0; (2)求出 g(x)= 有两个解的 m 范围. 【解答】解: (1)因为 f(x0) = =
3

,然后解使方程 g(x)=

=

+mx

=0, ,0;

而 f(x0)=0 为 x0 ﹣3x0=0 解得 x0= (2)如果函数 g(x)=

+mx 在区间[﹣1,1]上有两个“平均值点”,即 g(x)

= 即 +mx=

的 x 值有两个, 由两个解,所以 m 的取值范围为[ ,0;[ ].

= ].

=



故答案为:

【点评】 本题考查新定义的理解和运用, 主要考查定积分的运算和由方程解的个数求参数范 围,属于中档题
3

18. (2013?息县校级一模)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x 和 切,则 a 等于 ﹣ 或﹣1 .
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都相

【考点】导数的几何意义. 【专题】压轴题.

第 15 页(共 26 页)

【分析】已知点(1,0)不知曲线 y=x 上,容易求出过点(1,0)的直线与曲线 y=x 相切 的切点的坐标,进而求出切线所在的方程;再利用切线与 y=ax +
2

3

3

x﹣9 相切,只有一个公

共点,两个方程联系,得到二元一次方程,利用判别式为 0,解出 a 的值. 3 2 3 3 3 2 【解答】 解: 由 y=x ?y'=3x , 设曲线 y=x 上任意一点 (x0, x0 ) 处的切线方程为 y﹣x0 =3x0 (x﹣x0) , (1,0)代入方程得 x0=0 或 ①当 x0=0 时,切线方程为 y=0,则 ,

②当

时,切线方程为

,由



∴ 故答案为:﹣ 或﹣1

或 a=﹣1.

【点评】熟练掌握导数的几何意义,本题属于中档题,应学会当直线与抛物线相切时,考虑 判别式为 0 这一等式.对于本题需提醒的是,对于类似 y=ax +bx+c 这种情况,应考虑讨论 a 是否为 0 这一情形. 19. (2013?沈河区校级模拟)已知在区间(a,b)上,f(x)>0,f′(x)>0,对 x 轴上的 任意两点(x1,0) , (x2,0) , (a<x1<x2<b)都有 f( S1= f(x)dx,S2= )> .若
2

(b﹣a) ,S3=f(a) (b﹣a) ,则 S1、

S2、S3 的大小关系为 S1>S2>S3 . 【考点】定积分的简单应用. 【专题】压轴题;数形结合. 【分析】根据题中条件:”对 x 轴上的任意两点(x1,0) , (x2,0) , (a<x1<x2<b)都有 f
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)>

.”知函数图象是上凸的,结合图形可得 S1、S2、S3 的

大小关系. 【解答】解析:根据定积分的几何意义知: S1 为 f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴围成的曲边梯形的面积, 而 s2 为梯形的面积,s3 为矩形的面积, 所以结合题意并画出图形可得 S1>S2>S3. 故答案为:S1>S2>S3.

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【点评】本题考查了定积分的简单应用,以及数形结合思想的综合应用,属于基础题.解决 时要注意数形结合思想应用. 20. (2011?渝水区校级模拟)曲线 y=x +3x +6x﹣10 的切线中,斜率最小的切线方程是 3x ﹣y﹣11=0 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先对函数 f(x)进行求导,然后求出导函数的最小值,其最小值即为斜率最小的 切线方程的斜率,进而可求得切点的坐标,最后根据点斜式可得到切线方程. 3 2 2 2 【解答】解:∵f(x)=x +3x +6x﹣10∴f'(x)=3x +6x+6=3(x+1) +3 ∵当 x=﹣1 时,f'(x)取到最小值 3 3 2 ∴f(x)=x +3x +6x﹣10 的切线中,斜率最小的切线方程的斜率为 3 ∵f(﹣1)=﹣1+3﹣6﹣10=﹣14 ∴切点坐标为(﹣1,﹣14) ∴切线方程为:y+14=3(x+1) ,即 3x﹣y﹣11=0 故答案为:3x﹣y﹣11=0. 【点评】 本题主要考查导数的几何意义和导数的运算. 导数的几何意义是函数在某点的导数 值等于过该点的切线的斜率的值.
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3

2

三.解答题(共 10 小题) 21. (2011 春?西湖区校级期中)已知函数 f(x)=x,函数 g(x)=λf(x)+sinx 是区间[﹣1, 1]上的减函数. (1)求 λ 的最大值; 2 (2)若 g(x)<t +λt+1 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求 t 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 【专题】计算题. 【分析】 (1)由题意由于 f(x)=x,所以函数 g(x)=λf(x)+sinx=λx+sinx,又因为该函 数在区间[﹣1,1]上的减函数,所以可以得到 λ 的范围; 2 (2)由于 g(x)<t +λt+1 在 x∈[﹣1,1]上恒成立?[g(x)]max=g(﹣1)=﹣λ﹣sinl,解 出即可; 【解答】解: (1)∵f(x)=x, ∴g(x)=λx+sinx, ∵g(x)在[﹣1,1]上单调递减, ∴g'(x)=λ+cosx≤0
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∴λ≤﹣cosx 在[﹣1,1]上恒成立,λ≤﹣1,故 λ 的最大值为﹣1. (2)由题意[g(x)]max=g(﹣1)=﹣λ﹣sinl 2 ∴只需﹣λ﹣sinl<t +λt+1 2 ∴(t+1)λ+t +sin+1>0(其中 λ≤﹣1) ,恒成立, 2 令 h(λ)=(t+1)λ+t +sin1+1>0(λ≤﹣1) , 则 ,

∴ ∴t<﹣1

,而 t ﹣t+sin1>0 恒成立,

2

又 t=﹣1 时﹣λ﹣sinl<t +λt+1 故 t 的取值范围:t≤﹣1 【点评】此题考查了导函数,利用导函数求解恒成立问题,还考查了函数恒成立问题,二次 函数的恒成立问题分两类,一是大于 0 恒成立须满足开口向上,且判别式小于 0,二是小于 0 恒成立须满足开口向下,且判别式小于 0. 22. (2011 秋?北碚区校级期末)设 (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程; (2)当 时,求 f(x)的极大值和极小值.
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2



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 【专题】计算题. 【分析】 (1)当 a=1 时,先对函数求导,然后可求切线斜率 ,可求切线方程 (2)当

时,对函数求导,结合导数研究函数的单调性,进而可求函数的极大与极小值

【解答】解: (1)当 a=1 时, 切线斜率 ∴切点为(﹣1, ∴切线为 (2)当 时, )

x<﹣2 时,f′(x)>0;﹣2<x<3 时,f′(x)<0;x>3 时,f′(x)>0 ∴x=﹣2 时,f(x)的极大值为 8,x=3 时,f(x)的极小值为

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【点评】本题主要考查了导数的基本应用:求解切线方程,求解函数的单调性,求解函数的 极大与极小值

23. (2011 秋?渭城区校级期末)已知函数



(1)求函数的极值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】 (1)求出 f′(x) ,根据函数单调性及极值的定义即可求得; (2)借助(1)问的结论可求.
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【解答】解: (1)f′(x)=x ﹣4=(x+2) (x﹣2) , 当 x<﹣2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当﹣2<x<2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=﹣2 时,f(x)有极大值 f(﹣2)=﹣ +8+4= 当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)= ﹣8+4=﹣ . (2)由(1)知,f(x)的单调增区间为: (﹣∞,﹣2) , (2,+∞) ;单调减区间为: (﹣2, 2) . 【点评】本题考查导数与函数的极值及单调性问题,属基础题. 24. (2011?太原模拟)设 a>0,函数 f(x)= ,b 为常数. ,

2

(1)证明:函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个; (2)若函数 f(x)的极大值为 1,极小值为﹣1,试求 a 的值. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【专题】计算题;证明题. 2 【分析】 (1)令 f′(x)=0 得到 ax +2bx﹣a=0 根据根的判别式得到方程有两个不相等的实根 设为 x1,x2(x1<x2) ,讨论函数的增减性得到函数的极大值和极小值各有一个; (2)因为函数 f(x)的极大值为 1,极小值为﹣1,所以将 x1,x2(x1<x2)代入到函数关 系式中得到两个式子,根据根与系数的关系化简可得 a 的值.
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【解答】解: (1)证明 f′(x)=
2



令 f′(x)=0,得 ax +2bx﹣a=0(*) 2 2 ∵△=4b +4a >0, ∴方程(*)有两个不相等的实根,记为 x1,x2(x1<x2) , 则 f′(x)= ,

当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: X (﹣∞, x1 (x1, x2 x1) x2)
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(x2, +∞)

0 + 0 f′(x) ﹣ ai e f(x) 极小值 极大值 可见,f(x)的极大值点和极小值点各有一个.

﹣ ai

(2)解:由(1)得



两个方程左右两边相加,得 a(x1+x2)+2b=x2 ﹣x1 . ∵x1+x2=﹣ ,∴x2 ﹣x1 =0,
2 2

2

2

即(x2+x1) (x2﹣x1)=0, 又 x1<x2, ∴x1+x2=0,从而 b=0, 2 ∴a(x ﹣1)=0,得 x1=﹣1,x2=1,代入得 a=2. 【点评】 考查学生利用导数研究函数极值的能力, 以及灵活运用一元二次方程根的判别式和 根与系数的关系解决数学问题的能力.
3 2

25. (2011?遂川县校级模拟)已知函数 f(x)= x + (b﹣1)x +cx. (1)当 b=﹣3,c=3 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在(﹣∞,x1) , (x2,+∞)上递增,在(x1,x2)上递减,x2﹣x1>1,求证: 2 b >2(b+2c) ; 2 (3)在(2)的条件下,若 t<x1,试比较 t +bt+c 与 x1 的大小. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题. 2 【分析】先对函数求导可得 f′(x)=x +(b﹣1)x+c 2 (1)b=﹣3,c=3 时,f′(x)=x ﹣4x+3=(x﹣1) (x﹣3)根据导数的知识可求 2 2 (2)f'(x)=x +(b﹣1)x+c,由 x1,x2 为 x +(b﹣1)x+c=0 的两根,而|x1﹣
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x2|=
2

,结合方程的根与系数的关系可证 b >2(b+2c)
2 2

2

(3)要比较 t +bt+c 与 x1 的大小.只需比较 t +bt+c﹣x1 与 0 的大小,由(2)可得 x +(b 2 ﹣1) x+c= (x﹣x1) (x﹣x2) 则可得 t +bt+c﹣x1= (t﹣x1) (t﹣x2) +t﹣x1= (t﹣x1) (t﹣x2+1) , 再由 x2﹣x1>1,可得 x2>1+x1>1+t,从而有 t﹣x2+1<0,从而可证 2 【解答】解:f′(x)=x +(b﹣1)x+c 2 (1)b=﹣3,c=3 时,f′(x)=x ﹣4x+3=(x﹣1) (x﹣3) 根据导数的知识可得, (2)f'(x)=x +(b﹣1)x+c 由题意可得 x1, x2 为 x + (b﹣1) x+c=0 的两根, 而|x1﹣x2|= 从而可证
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2 2

(3)由于 x +(b﹣1)x+c=(x﹣x1) (x﹣x2) ,则可得 t +bt+c=(t﹣x1) (t﹣x2)+t,t +bt+c ﹣x1=(t﹣x1) (t﹣x2)+t﹣x1=(t﹣x1) (t﹣x2+1) ,结合已知可证(t﹣x1) (t﹣x2+1)>0, 即证 【点评】 本题主要考查了利用导数求解函数的极值及判断函数的单调性, 这是导数应用的最 基本的试题类型, 而方程与函数的结合是高考中综合性较强的试题, 此类问题在高考中一般 是难度比较大的试题,要求考生具备一定的逻辑推理与运算的能力 26. (2011?下城区校级模拟)已知函数 值点和一个极小值点,且其中一个极值点是 x=﹣c (1)求函数 f(x)的另一个极值点; (2)设函数 f(x)的极大值为 M,极小值为 m,若 M﹣m≥1 对 恒成立,求 k (c>0 且 c≠1,k>0)恰有一个极大

2

2

2

的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】计算题. 【分析】 (1)求出导函数,令导函数为 0 得到方程;两个极值点是此方程的两个根;利用韦 达定理,求出另一个极值点. (2)判断两个极值点左右两边的导函数的符号,求出极大值与极小值,代入已知不等式, 解关于 b 的一次不等式恒成立,将区间两个端点代入不等式即可.
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【解答】解: (1) ∵x=﹣c 是其中一个极值点 ∴另一个极值点为 1 (2)由

,x1?x2=﹣c

由(1)可知,f(x)在﹣∞﹣c)是减函数;在(﹣c,1)上是增函数,在(1,+∞)上是 减函数 ∴ ,


2

≥1

恒成立

即(k﹣2)b+k ﹣k≥0

恒成立



解得

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【点评】解决函数的极值问题,要注意极值点处的导数值为 0;解决一次不等式恒成立只需 将区间的两个端点代入不等式. 27. (2011?南充一模)已知函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,且 f′(x)=2x﹣1,数列{an} 的前 n 项和 Sn=f(n) (n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 an+log3n=log3bn 求数列{bn}的前 n 项和. 【考点】导数的运算;等差数列的通项公式;数列的求和. 【专题】计算题. 【分析】 (1)由导函数得到原函数 f(x) ,因为函数 f(x)过原点,把(0,0)代入求出 f (x)得到 Sn=f(n)推出 an 即可; (2)由题中(2)的条件求出 bn,设 bn 的前 n 项和为 Tn,求出即可. 【解答】解: (1)由 f′(x)=2x﹣1 得: 2 f(x)=x ﹣x+b(b∈R) ∵y=f(x)的图象过原点, 2 ∴f(x)=x ﹣x, 2 ∴Sn=n ﹣n ∴an=Sn﹣Sn﹣1 2 2 =n ﹣n﹣[(n﹣1) ﹣(n﹣1)] =2n﹣2(n≥2)
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∵a1=S1=0 所以,数列{an}的通项公式为 * an=2n﹣2(n∈N ) (2)由 an+log3n=log3bn 得: 2n﹣2 * bn=n?3 (n∈N ) Tn=b1+b2+b3++bn 0 2 4 2n﹣2 =3 +2?3 +3?3 ++n?3 (1) 0 2 4 2n ∴9Tn=3 +2?3 +3?3 ++n?3 (2) (2)﹣(1)得:

∴Tn=



=



【点评】考查学生导数的运用能力,灵活运用等差数列的通项公式以及求和公式.

28. (2011?中山市校级模拟)已知函数 f(x)=lnx, (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 F(x)的单调区间;

,设 F(x)=f(x)+g(x) .

(Ⅱ)若以函数 y=F(x) (0<x≤3)图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线斜率 成立,求实数 a 的最小值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;导数的几何意义. 【专题】计算题.
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【分析】 (1)将 a=1 代入求出函数 F(x)的解析式后求导数,根据导函数大于 0 时原函数 单调递增,导函数小于 0 时原函数单调递减可求单调区间. (2)先求函数 F(x)的导数,然后令导函数小于等于 在(0,3]恒成立可求 a 的范围进而 求 a 的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)由已知 a=1,可得 (0,+∞) , 则 ,函数的定义域为



可得 F(x)在区间(1,+∞)上单调递增,

得 F(x)在(0,1)上单调递减;

(Ⅱ)由题意可知

对任意 0<x0≤3 恒成立,

即有 令 则

对任意 0<x0≤3 恒成立,即 , ,即实数 a 的最小值为 .



【点评】 本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系, 进当导函数大于 0 时原函 数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 29. (2016?眉山模拟) 已知函数 f (x) =lnx, g (x) =e , 其中 e 是自然对数的底数, e=2.71828… (1)若函数 φ(x)=f(x)﹣ ,求函数 φ(x)的单调区间;
x

(2)若 x≥0,g(x)≥kf(x+1)+1 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)设直线 l 为函数 f(x)的图象上一点,A(x0,f(x0) )处的切线,证明:在区间(1, +∞)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题. 【专题】压轴题;分类讨论;函数思想;转化思想;综合法;函数的性质及应用;导数的综 合应用. 【分析】 (1)求出原函数的导函数,确定导数恒大于 0,从而可得求函数 φ (x)的单调区 间; x (2)把 g(x)≥kf(x+1)+1 (x≥0)恒成立,转化为 kln(x+1)≤e ﹣1 在 x≥0 时恒成立, x 然后分 k≤0 和 k>0 讨论,当 k>0 时,利用放缩法转化为 kln(x+1)≤kx≤e ﹣1 恒成立求解;
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(3)先求直线 l 为函数的图象上一点 A(x0,f (x0) )处的切线方程,再设直线 l 与曲线 y=g(x)相切于点( 存在且唯一即可. 【解答】 (1)解:φ(x)=f(x)﹣ =lnx﹣ , ) ,进而可得 ,再证明在区间(1,+∞)上 x0

φ′(x)=



∵x>0 且 x≠1,∴φ'(x)>0, ∴函数 φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞) ; (2)解:由 g(x)≥kf(x+1)+1 (x≥0)恒成立, x 得 e ≥kln(x+1)+1 在 x≥0 时恒成立, x 即 kln(x+1)≤e ﹣1 在 x≥0 时恒成立, x ∵e ﹣1≥0,ln(x+1)≥0. x 若 k≤0,则 kln(x+1)≤e ﹣1 在 x≥0 时恒成立; 若 k>0,由 ln(x+1)≤x,得 kln(x+1)≤kx, x 由 kx≤e ﹣1,知当 x=0 时,对于任意正实数 k 都成立, 当 x>0 时,不等式化为 ,

令 h(x)=

,h′(x)=



当 x∈(0,1)时,h′(x)<0,当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0, ∴h(x)有极小值也是最小值为 h(1)=e﹣1. ∴当 0<k≤e﹣1 时,kln(x+1)≤kx≤e ﹣1 恒成立. 综上,若 x≥0,则使 g(x)≥kf(x+1)+1 恒成立的实数 k 的取值范围是(﹣∞,e﹣1]; (3)证明:∵f′(x)= ,∴f′(x0)= ∴切线 l 的方程为 y﹣lnx0= 即 y= ,① ) , (x﹣x0) , ,
x

设直线 l 与曲线 y=g(x)相切于点( ∵g′(x)=e ,∴ ∴直线 l 方程又为 y﹣ =
x

,∴x1=﹣lnx0. (x+lnx0) ,

即 y=

,②

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由①②得







下面证明在区间(1,+∞)上 x0 存在且唯一. 由(1)可知,φ(x)=lnx﹣ 在区间(1,+∞)上递增.
2

又 φ(e)=lne﹣

=

,φ(e )=
2



结合零点存在性定理,说明方程 φ(x)=0 必在区间(e,e )上有唯一的根,这个根就是所 求的唯一 x0. 在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切. 【点评】 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程, 考查导数知识的综合运用运用, 考查数学转化思想方法, 体现了分类讨论的数学思想方法, 训练了函数零点存在性定理的用 法,综合性比较强,难度较大,属压轴题.

30. (2015?江西模拟)已知函数 f(x)= f(1) )处的切线过点(3,0) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;

(其中 a≤2 且 a≠0) ,函数 f(x)在点(1,

(Ⅱ)若函数 f(x)与函数 g(x)=a+2﹣x﹣ 的图象在(0,2]有且只有一个交点,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (1)利用导数的几何意义可得切线方程,对 a 分类讨论、利用导数研究函数的单调 性即可;
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(2)等价方程
2

在(0,2]只有一个根,即 x ﹣(a+2)x+alnx+2a+2=0

2

在(0,2]只有一个根,令 h(x)=x ﹣(a+2)x+alnx+2a+2,等价函数 h(x)在(0,2]与 x 轴只有唯一的交点.由 得出. 【解答】解: (1) , ,对 a 分类讨论、结合图象即可

∴f(1)=b, ∴y﹣b=(a﹣b) (x﹣1) , ∵切线过点(3,0) , ∴b=2a,

=a﹣b,

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①当 a∈(0,2]时, ②当 a∈(﹣∞,0)时, (2)等价方程
2

单调递增, 单调递减, 在(0,2]只有一个根,

单调递减, 单调递增.

即 x ﹣(a+2)x+alnx+2a+2=0 在(0,2]只有一个根, 2 令 h(x)=x ﹣(a+2)x+alnx+2a+2,等价函数 h(x)在(0,2]与 x 轴只有唯一的交点, ∴ ①当 a<0 时,h(x)在 x∈(0,1)递减,x∈(1,2]的递增, 当 x→0 时,h(x)→+∞,要函数 h(x)在(0,2]与 x 轴只有唯一的交点, ∴h(1)=0 或 h(2)<0, ∴a=﹣1 或 . 递增, 的递减,x∈(1,2]递

②当 a∈(0,2)时,h(x)在 增, ∵ ∵h(e )=e ﹣e ﹣2<0, ∴h(x)在
﹣4 ﹣8 ﹣4

,当 x→0 时,h(x)→﹣∞,

与 x 轴只有唯一的交点,

③当 a=2,h(x)在 x∈(0,2]的递增, ∵h(e )=e ﹣e ﹣2<0,或 f(2)=2+ln2>0, ∴h(x)在 x∈(0,2]与 x 轴只有唯一的交点, 故 a 的取值范围是 a=﹣1 或 或 0<a≤2.
﹣4 ﹣8 ﹣4

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义,考查了恒成 立问题的等价转化方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难 题.

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