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高中数学必修1(北师版)第三章3.5 对数函数知识点总结含同步练习与答案


高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数

一、知识清单
对数函数及其性质 反函数 函数不等式的解法

二、知识讲解
1.对数函数及其性质 描述: 一般地,形如 y = loga x (a > 0且a ≠ 1) 的函数叫做对数函数(logarith

mic function),其 中 x 是自变量. 图象

定义域

(0, +∞)
值域

R
性质 ① 过定点 (1, 0) ; ② 当 0 < a < 1 时,在 (0, +∞)上是减函数;当 a > 1 时,在 (0, +∞)上是增函数. 例题: 求下列函数的定义域 (1)f (x) =

1 ? ? ? ? ? 2 ; + √4 ? x2 ;(2)f (x) = 4x ? 1 ln(x + 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)f (x) = √? loga (4x ? 3)(a > 0且a ≠ 1). ? x + 1 > 0, 解:(1)由? ln(x + 1) ≠ 0, 得 ?1 < x ≤ 2 且 x ≠ 0.所以,函数的定义域是 ? 4 ? x2 ≥ 0 (?1, 0) ∪ (0, 2]. x > 0, ? ? ? ? ? x > 0, ? 1 1 1 (2)由 ? log 1 x ? 1 ≥ 0, 解得:? x ≤ 2 , 所以 0 < x ≤ 且 x ≠ ,故函数的定义域是 2 2 4 ? ? ? ? ? 4x ? 1 ≠ 0. ?x ≠ 1 . 4 ( ) ( ]

? ? ? ? ? ? ? ? √log 1 x ? 1

4 1 1 1 (0, ) ∪ ( , ] . 4 4 2 (3)因为 loga (4x ? 3) ≥ 0 ,该式可化成 loga (4x ? 3) ≥ loga 1,故当 a > 1 时 , 3 4x ? 3 ≥ 1,解得 x ≥ 1;当 0 < a < 1 时,0 < 4x ? 3 ≤ 1,解得 < x ≤ 1. 4 综上所述,当 a > 1 时,函数的定义域为 [1, +∞);当 0 < a < 1 时,函数的定义域为 3 ( , 1] . 4
如图所示,对数函数 ① y = loga x ;② y = logb x; ③ y = logc x ;④ y = logd x 的图 象,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系是( ).

? ? ?

A.a > b > 1 > c > d B.b > a > 1 > d > c C.1 > a > b > c > d D.a > b > 1 > d > c 解:B 在图中画出直线 y = 1,可发现与曲线 ①②③④ 交于 A(a, 1),B(b, 1),C (c, 1) ,D(d, 1),由 图可知 b > a > 1 > d > c

设 a = log 1 2,b = log2 3 ,c = ( ) A.a < b < c 解:B
3

B.a < c < b

1 2

0.3

,则(

) D.b < a < c

C.b < c < a

因为 a = log 1 2 < log 1 1 = 0,b = log2 3 > log2 2 = 1 ,c = ( )

a < c < b.

3

3

1 2

0.3

∈ (0, 1),所以

解方程 (log2 x)2 + 3 log 1 x + 2 = 0 . 解:令 t = log2 x ,则原方程可化成
2

t 2 ? 3t + 2 = 0,
解得 t = 2 或 t = 1 ,即 log2 x = 2 或 log2 x = 1 ,故 x = 4 或 x = 2. 解关于 x 的不等式 loga (2x) < loga (x + 1). 解:当 a > 1 时,函数 y = loga x 在 (0, +∞) 上是增函数,所以 0 < 2x < x + 1,解得 0 < x < 1; 当 0 < a < 1 时,函数 y = loga x 在 (0, +∞) 上是减函数, 2x > x + 1 > 0,解得

x > 1.

综上所述,当 a > 1 时,不等式的解集为 (0, 1);当 0 < a < 1 时,不等式的解集为 (1, +∞) . 求函数 y = log 1 (2x 2 + x + 6)
2

的单调区间.

解:由 2x 2 + x + 6 > 0,其中 Δ < 0 ,得函数定义域是 R,令 u(x) = 2x2 + x + 6 ,即函数

1 1 , +∞),单调减区间为 (?∞, ? ). 4 4 又因为 y = log 1 u 在 (0, +∞) 上是减函数,由复合函数的单调性可知,函数 u(x) 的单调增区间为 (?
2

y = log 1 (2x2 + x + 6) 的单调增区间为 (?∞, ?
2

1 1 ),单调减区间 (? , +∞ ) . 4 4

已知函数 f (x) = lg(ax 2 + 2x + 1). (1)若函数 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. (2)若函数f (x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围. 解:(1)的定义域为 R,即关于 x 的不等式 ax 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R. 当 a = 0 时,此不等式变为 2x + 1 > 0,其解集不是 R; 当 a ≠ 0 时,有 { a > 0, 所以 a > 1. Δ = 4 ? 4a < 0, 所以 a 的取值范围是 (1, +∞). (2)f (x) 的值域是 R,即 u = ax2 + 2x + 1 能取遍一切正数. 所以 a = 0 或 { a > 0, 解得 0 < a ≤ 1.故 a 的取值范围是 0 ≤ a ≤ 1. Δ = 4 ? 4a ≥ 0,

2.反函数 描述: 反函数的定义 设 A 和 B 分别为函数 y = f (x) 的定义域和值域,如果 f (x) 为一一映射,且由 y = f (x) 所解得的 x = φ(y) 也是一个函数(即对任意的一个 y ∈ B ,都有唯一的 x ∈ A 与之对 应 ),那么就称函数 x = φ(y) 是函数 y = f (x) 的反函数,记作

x = f ?1 (y),
其中, y 是自变量, x 是 y 的函数,习惯上改写成 y = f ?1 (x)(x ∈ B, y ∈ A) 的形式. 由定义可以看出,函数 y = f (x) 的定义域 A 恰好是它的反函数 y = f ?1 (x) 的值域;函数 y = f (x) 的值域恰好是它的反函数 y = f ?1 (x) 的定义域. 对数函数 y = loga x(a > 0且a ≠ 1) 是指数函数 y = ax (a > 0且a ≠ 1) 的反函数. 反函数的性质 ① 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y = x 对称. ② 若函数 y = f (x) 图象上有一点 (a, b),则 (b, a) 必在其反函数的图象上;反之若 (b, a) 在 反函数图象上,则 (a, b) 必在原函数图象上. ③ 互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性. 例题: 判断下列哪些函数有反函数. (1)f (x) = x 2 ;(2)f (x) = x 2 (x > 0);(3)f (x) = lg x;(4)y = 2 x . 解:(1)没有反函数,(2)(3)(4)都有反函数. 只有一一映射确定的函数才有反函数,如一次函数 y = kx + b(k ≠ 0)、反比例函数

y = kx + b(k ≠ 0) k y = (k ≠ 0) 、指数函数 y = ax (a > 0 且 a ≠ 1)、对数函数 y = loga x(a > 0 且 a ≠ 1),它 x 们都是一一映射确定的函数,都有反函数.像二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0),在整个定义域 b 上没有反函数,因为关于对称轴 x = ? 对称的两个不同的自变量对应同一个函数值,它不 2a
是一一映射下的函数,所以没有反函数. (1)函数 f (x) 的图象与函数 y = log3 x(x > 0) 的图象关于直线 y = x 对称,则 f (x) =______. (2)若函数 f (x) =

2ax + 1 的图像关于直线 y = x 对称,则应满足的条件是______. 2x ? b 解:(1)3 x (x ∈ R);(2)b = 2a bx + 1 (2) y = f (x) 的反函数是 f ?1 (x) = (x ≠ a).因为 f (x) 的图象关于直线 y = x 2x ? 2a 2ax + 1 bx + 1 对称,所以函数 y = f (x) 的反函数就是它自身.所以 ,比较系数得 = 2x ? b 2x ? 2a b = 2a ,即 a, b 应满足的条件为 b = 2a .
设函数 f (x) = loga (x + b)(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象过点 (2, 1),其反函数的图象过点 (2, 8),则 ) a + b 等于( A.6 B.5 C.4 D.3 解:由题意知 f (x) 过点 (2, 1),(8, 2),所以 f (8) = loga (8 + b) = 2,
2 f (2) = loga (2 + b) = 1,所以 { a = 8 + b, 解得 { a = 3, 或 { a = ?2, (舍去)所以 a = 2 + b, b = 1, b = ?4. a + b = 4.

3.函数不等式的解法 描述: 函数不等式的解法 若 f (x) 为增函数,且对于定义域内的两个数 x1 、x2 ,满足f (x1 ) < f (x2 ) 成立,则 x1 < x2 .若 f (x) 为减函数,且对于定义域内的两个数 x1 、x2 ,满足 f (x1 ) < f (x2 ) 成 立,则 x 1 > x 2 . 故对于一个与函数相关的不等式,可以利用函数的单调性,把函数不等式转化为普通不等式. 例题: 定义在 [1, 4] 上的函数 f (x) 为减函数,求满足不等式 f (1 ? 2a) ? f (4 ? a2 ) > 0 的 a 的取 值集合. 解:因为

f (1 ? 2a) ? f (4 ? a2 ) > 0
所以

f (1 ? 2a) > f (4 ? a2 )
又因为 f (x) 是定义在 [1, 4] 上的减函数,所以

? 1 ? 1 ? 2a ? 4 ? 1 ? 4 ? a2 ? 4 ? 1 ? 2a < 4 ? a2

整理,得

3 ? ? ?? ? a ? 0 ? 2 ? ? ? ?√3 ? a ? √3 ?1 < a < 3
解得

?1 < a ? 0
所以,满足题意的 a 取值的集合为 {a | ? 1 < a ? 0} . 解不等式 2 x
2 +2 x?4

?

解:原不等式可化为

1 . 2 2x
2 +2 x?4

? 2 ?1 ,

所以

x2 + 2x ? 4 ? ?1,
解得 ?3 ? x ? 1 ,故原不等式的解集为

{x | ? 3 ? x ? 1}.
解不等式 log 1 (x 2 ? x ? 2) > log 1 (x ? 1) ? 1. 解:原不等式可化为
2 2

log 1 (x2 ? x ? 2) > log 1 (2x ? 2),
2 2

等价于
2 { x2 ? x ? 2 > 0 x ? x ? 2 < 2x ? 2,

解不等式,得 2 < x < 3 ,所以原不等式的解集为

{x | 2 < x < 3}.
解关于 x 的不等式 (lg x)2 ? lg x ? 2 > 0 . 解:由 (lg x)2 ? lg x ? 2 > 0 ,得 (lg x + 1)(lg x ? 2) > 0.所以

lg x > 2 或 lg x < ?1,
解得 x > 100 或 0 < x <

1 ,故原不等式的解集为 10 {x | x > 100 或 0 < x < 1 }. 10

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