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江苏省青阳高级中学2013届高三数学阶段性检测

时间:2013-03-29


江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学阶段性检测
一、选择题:本大题共 12 小,每小题 4 分,共 48 分. 1.在复平面内,复数

2 对应的点到直线 y ? x ? 1 的距离是 1? i



2.已知 AB 是圆 O 的一条直径, CD 是一条动弦且与 AB 垂直,假设 CD 与直径 AB 的交

点在 AB 上是等可能的,则弦 CD 长大于半径的概率是__________ 3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 的和为 .
2

n? n? )an ? sin 2 ,则该数列的前 20 项 2 2

? x ? 2 ? 0, ? 4.已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
运动,则 z ? x ? y 的取值范围是 .

D1 O A1 D A .
A1 A1

C1 B1 C
A1

5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面
A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 AB C1D1 的距离为

A1

第5题

B
A1

6.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x), n ? N ,则 f2005(x)= .

7.椭圆的右焦点 F 所对应的准线 l 与对称轴的交点为 A,B 是线段 FA 的中点,若以椭圆上 的一点 M 为圆心,线段 OF(O 为坐标系原点)为半径的圆恰好经过 F,B 两点,则椭 圆的离心率为
2

. .

8.若 a, b, c ? 0 ,且 a ? ab ? ac ? bc ? 4 ,则 2a ? b ? c 的最小值为 9 . 设 a ? 0 , 函 数 f ( x) ? x ?

a2 , g ( x) ? x ? ln x , 若 对 任 意 的 x1 , x2 ?[1, e] , 都 有 x . f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围为
1 5 3 如果函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? x ? , (a ? b? | a ? b |), 2 2 2
.

10. 对任意实数 a, b , 定义:F (a, b) ?

h( x) ? ? x ? 2 ,那么函数 G( x) ? F ( F ( f ( x), g ( x)),h( x)) 的最大值等于

11.下列四种说法:①命题“ ? x∈R,使得 x2+1>3x”的否定是“ ? x∈R,都有 x2+1≤3x”; ②“m=-2”是“直线(m+2)x+my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的必 要 不 充 分 条 件 ; ③ 将 一 枚 骰 子 抛 掷 两 次 , 若 先 后 出 现 的 点 数 分 别 为 b, c , 则 方 程

x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率为

1 1 19 ;④过点( ,1)且与函数 y= 图象相切的直线方程 2 x 36

是 4x+y-3=0. 其中所有正确说法的序号是_________. 12.我们知道,如果定义在某区间上的函数 f ( x ) 满足对该区间上的任意两个数 x1 、 x2 ,总

有不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为该区间上的向上凸函数 2 2

(简称上凸). 类比上述定义,对于数列 ?an ? ,如果对任意正整数 n ,总有不等式:

an ? an ? 2 ? an ?1 成立, 则称数列 ?an ? 为向上凸数列 (简称上凸数列) 现有数列 ?an ? 满 . 2
足如下两个条件: (1)数列 ?an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ; (2)对正整数 n ( 1 ? n ? 10, n ? N * ) ,都有 an ? bn ? 20 ,其中 bn ? n2 ? 6n ? 10 . 则数列 ?an ? 中的第五项 a5 的取值范围为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? c ? b) ? 3ac . (1)求角 B 的度数; (2)求 2cos 2 A ? cos( A ? C) 的取值范围.

14. (本题满分 10 分) 四 棱 锥 A ? B C D 中 , 底 面 B C D E 矩 形 , 侧 面 ABC ? 底 面 B C D E 为 , E

BC ? 2, CD ? 2, AB ? AC .

A G

(I)取 CD 的中点为 F , AE 的中点为 G ,证明:FG∥面 ABC ; (II)证明: AD ? CE . B C F 第 14 题

E D

15. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, AC ? 1, ?ABC ? (1)求 f ( x ) 解析式及定义域; (2) g ( x) ? 6m ? f ( x) ? 1 设

??? ??? ? ? 2? , ?BAC ? x ,记 f ( x) ? AB ? BC . 3

? 3 x?( 0 , , ) 是否存在实数 m , 使函数 g ( x) 的值域为 (1, ] ? 3 2

若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

16. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值 为 3;最小值为 1; (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

17. (本小题满分 15 分) 自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能 力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量, n ? N ,且 不考虑其它因素, 设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比, 死亡量与 xn x1 ? 0 , 成正比,这些比例系数依次为正常数 a , b , c . (Ⅰ)求 x n ?1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1 , a , b , c .满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不 变?(不要求证明)
? (Ⅱ)设 a ? 2 , c ? 1 ,为保证对任意 x1 ? (0,1) ,都有 xn ? 0 , n ? N ,则捕捞强度 ?

2

b 的最大允许值是多少?证明你的结论.

18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ,g(x)=

1 2 ax +bx,a≠0. 2

(Ⅰ)若 b ? 2 ,且 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象\ C 1 与函数 g(x)图象 C 2 交于点 P 、 Q ,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C 1 , C 2 于点 M 、 N ,判断 C 1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线是 否平行,并证明你的结论。

参考答案 一、填空题:1.

2 2
8.4

2.

3 2

3. 2101

4.

[-1,2] 5. 2 4

6.cosx

7.

? 2 ? 13 3

19. a ? e ? 2

10.1 11. ①③. 12. [13,25]

二、解答题: 13.解: (1)由 (a ? b ? c)(a ? c ? b) ? 3ac 得 a 2 ? c2 ? b2 ? ac 由余弦定理得 cos B ? 所以角 B ?

?
3

1 2

--------------------------------------------------------6 分

(2)由(1)知 A ? C ?

2? 3

2 cos 2 A ? cos( A ? C ) ? 1 ? cos 2 A ? cos(2 A ?

2? ) 3

1 3 ? 1 ? cos 2 A ? cos 2 A ? sin2 A 2 2
? sin (2 A ?
由0 ? A?

?
6

) ? 1 --------------------------------------------10 分

2? ? ? 3? 得 ? 2A ? ? 3 6 6 2

-1 ? sin (2 A ?
2

?

6

) ?1

所以 2cos A ? cos( A ? C) 的取值范围为[0,2] . -----------------------------------14 分

BC 1 AB ;…………………………2 分 ? ? 2? ? sin x sin sin( ? x) 3 3 ? sin( ? x) 1 3 ∴ BC ? …………………………………………4 分 sin x , AB ? 2? 2? sin sin 3 3 ??? ??? 4 ? ? ? 1 2 3 1 cos x ? sin x)sin x ∴ f ( x) ? AB ? BC ? sin x ? sin( ? x ) ? ? ( 3 3 2 3 2 2 1 ? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? (0 ? x ? ) ……………………………………… 6 分 3 6 6 3 ? ? (2) g ( x) ? 6mf ( x) ? 1 ? 2m sin(2 x ? ) ? m ? 1 (0 ? x ? ) 6 3 ? 假设存在实数 m 符合题意,? x ? (0, ) 3
14. 解: (1)由正弦定理有:



?
6

? 2x ?

?
6

?

5? ? 1 ,则 sin(2 x ? ) ? ( ,1] ……………………9 分 6 6 2

当 m ? 0 时, g ( x) ? 2m sin(2 x ? 又 g ( x) 的值域为 (1, ] ,解得

?

6

) ? m ? 1 的值域为 (1, m ? 1] 1 2
………………11 分

3 2

m?

当 m ? 0 时, g ( x) ? 2m sin(2 x ? 又∵ g ( x) 的值域为 (1, ] ∴存在实数 m ?

?
6

) ? m ? 1 的值域为 [m ? 1,1)

3 2

解得 m 无解………………………13 分

1 3 ,使函数 f (x) 的值域恰为 (1, ] ……………14 分 2 2

15.解答 (I)证明:取 AB 中点 H,连接 GH,CH 因为 G 是 AE 中点,所以 HG∥=

1 BE, 2

又因为矩形 BCDE,所以 BE∥=CD,且 F 是 CD 中点, 所以 HG∥=CF,所以四边形 FGHC 是平行四边形, 所以 FG∥CH,………………………………4 分 又因为 FG ? 平面 ABC,CH ? 平面 ABC, 所以 FG∥面 ABC ;………………………7 分 (II)取 BC 中点 Q,连接 AQ,DQ 因为 AC=AB,所以 AQ⊥BC, 因为侧面 ABC ? 底面 BCDE ,AQ ? 平面 ABC,平面 ABC∩平面 BCDE =BC, 所以 AQ⊥平面 BCDE,………………………………………………………8 分 因为 CE ? 平面 BCD ,所以 CE⊥AQ………………………………………9 分 又在矩形 BCDE 中, BC ? 2, CD ? 2, ,BE= 2 ,CQ=1, 所以

BC BE ? ? 2 CD CQ

所以 Rt△CDQ∽Rt△BCE,所以∠DQC=∠CEB, …………………………………10 分 , 所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90o 所以 CE⊥BQ………………………12 分 (其他方 法参照给分) 因为 AQ∩BQ=Q,所以 CE⊥平面 ADQ,………………………………………13 分 AD ? 平面 ADQ,所以 AD ? CE ……………………………………………………14 分

16. (I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b2 ? 3

?

x2 y 2 ? ?1 4 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0
8mk 4(m2 ? 3) x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 3(m2 ? 4k 2 ) 3 ? 4k 2

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,
? y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得
m1 ? ?2k , m2 ? ? 2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0) 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 17.解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cxn , n ? N * .(*)

即xn?1 ? xn (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N * .(**)
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

x n (a ? b ? cx n )恒等于 0, n ? N *, 所以 a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
因为 x1>0,所以 a>b.

a ?b . c

猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 1) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 1), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1, 所以 xk+1∈(0, 1),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,1). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 1), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允 许值是 1. 18.解: (I) b ? 2时, h( x) ? ln x ? 则 h?( x) ?

1 2 ax ? 2 x , 2

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . x x

因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h ?(x ) <0 有解. 又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,而 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则△=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). (II)证法一 设点 P、Q 的坐标分别是(x1, y1)(x2, y2) , ,0<x1<x2. 则点 M、N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 , 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 | x1 ? x2 ? , x? x x1 ? x2 2
x ?x x? 1 2 2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

?

a( x1 ? x2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2. 即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b ,则 x1 ? x2 2

2( x2 ? x1 ) a 2 a 2 a ? ( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x2 2 2 2

= y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 .

x2 ? 1) x2 x1 ? . 所以 ln x2 x1 1? x1 2(
令 r (t ) ? ln t ?

设t ?

x2 2(t ? 1) , t ? 1. ① , 则 ln t ? 1? t x1

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 , t ? 1. 则 r ?(t ) ? ? ? . 1? t t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

因为 t ? 1 时, r ?(t ) ? 0 ,所以 r (t ) 在 [1,?? )上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 则 ln t ?

2(t ? 1) . 这与①矛盾,假设不成立. 1? t

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 证法二:同证法一得 ( x2 ? x1 )(ln x2 ? ln x1 ) ? 2( x2 ? x1 ). 因为 x1 ? 0 ,所以 (

x2 x x ? 1) ln 2 ? 2( 2 ? 1). x1 x1 x1

令t ?

x2 ,得 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1. ② x1
1 t

令 r (t ) ? (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1, 则r ?(t ) ? ln t ? ? 1.

1 1 t ?1 1 ? 2 ? 2 ,所以 t ? 1 时, (ln t ? ) ? ? 0. t t t t 1 1 故 ln t ? 在[1,+ ?) 上单调递增.从而 ln t ? ? 1 ? 0 ,即 r ?(t ) ? 0. t t
因为 (ln t ? ) ? ?

1 t

于是 r (t ) 在[1,+ ?) 上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 即 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1).这与②矛盾,假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.


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