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江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编14 等差与等比数列综合 苏教版


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 14:等差与等比数列综合
填空题 1 . 江 苏 省 扬 州 市 2013 届 高 三 下 学 期 5 月 考 前 适 应 性 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 数 列 {an } ( 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2,? ),且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的

等比数列,则 {an } ,3, 的通项公式是______. 【答案】 an ? n 2 ? n ? 2 2 .( 常 州 市 2013 届 高 三 教 学 期 末 调 研 测 试 数 学 试 题 ) 已 知 数 列

?an ?

满 足

a1 ?

n 1 4 12 , 2 ? an ?1 ? n ? N * ? ,则 ? =______. ? 3 an ? 6 i ?1 ai

2 ? 3n ? n ? 2 4 3 . (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和 为 Sn, 若 a3=18,S3=26,则{an}的公比 q=________. 【答案】3 4 . 扬 州 、 南 通 、 泰 州 、 宿 迁 四 市 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 测 试 数 学 试 卷 ) 设 数 列 {an} 满 (
【答案】 足: a3 ? 8, an ?1 ? an ? 2 ?? 2an ?1 ? an ? ? 0(n ? N* ) ,则 a1 的值大于 20 的概率为____. ? 【答案】 1 4 5 . (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)已知数列 an ? 满足 an ?1 ? qan ? 2q ? 2 ( q 为常数, ,若 | q |? 1 ) a3 , a4 , a5 , a6 ? ??18, ?6, ?2, 6,30? ,则 a1 ? 【答案】 ?2 或 126 6 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)观察下列等式: 3 1 1 3 1 4 1 × =1- 2, × + × 2 1×2 2 2 1×2 2 2×3 2 ▲ .

?

1 3 1 4 1 5 1 1 * =1× + × 2+ × 3=12, 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N , 3×2 1×2 2 2×3 2 3×4 2 4×2 3 1 4 1 n+2 1 × + × 2++ × n=______. 1×2 2 2×3 2 n? n+1? 2 【答案】 1 ?

1 ?n ? 1? ? 2 n

7 . (江苏省扬州市 2013 届高三上学期期中调研测试数学试题)已知等比数列 {an } 的首项是1 ,公比为 2, 等差数列 {bn } 的首项是 1 ,公差为 1 ,把 {bn } 中的各项按照如下规则依次插入到 {an } 的每相邻两项之

1

间,构成新数列 {c n } : a1 , b1 , a2 , b2 , b3 , a3 , b4 , b5 , b6 , a4 ,,即在 an 和 an ?1 两项之间依次插入 {bn } 中 n 个 项,则 c2013 ? ____. 【答案】 1951 8 . 江苏省淮安市 2013 届高三上学期第一次调研测试数学试题) ( 若数列 ? an ? 是各项均为正数的等比数列, 则当 bn ?
n

a1 ? a2 ?? ? an 时,数列 ?bn ? 也是等比数列;类比上述性质,若数列 ?cn ? 是等差数列,则当

d n ? _______时,数列 ?d n ? 也是等差数列.
【答案】

c1 ? c2 ? ? ? cn n

9 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期中考试数学试题) 已知等差数列 ?a n ?满足: a1 ? ?2 , a2 ? 0 .若将

a1 , a4 , a5 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为 ___________.
【答案】 ?7 10. (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)过点 P(?1, 作 0) 曲线 C : y ? e x 的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点 H1 再作曲线 C 的切线,切点为 T2 , 设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,,依次下去,得到第 n ? 1 (n?N) 个切点 Tn ?1 .则点 Tn ?1 的坐标为______.
e 【答案】 ? n, n ?

11. (江苏省 2013 届高三高考模拟卷(二) (数学) )已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n∈N*),且 a1=9,其前 n 1 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小整数 n 是______. 125 【答案】7 解答题 12 . 江 苏 省 无 锡 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 试 题 ) 数 列 ?a n ? 是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 ( 列, a2 ? 6 , S 3 ? 26 . (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)在 a n 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列.设第 n 个等差数列的前 n 项和是 An .求关于 n 的多项式 g (n) ,使得 An ? g (n)d n 对任意 n ? N ? 恒成立; (3)对于(2)中的数列 d1 , d 2 , d 3 , ? ? ? , d n , ? ? ? ,这个数 列中是否存在 不同的三项 d m , d k , d p (其中正 整数 m , k , p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.

2

【答案】

13. (江苏省南京市四区县 2013 届高三 12 月联考数学试题 )设等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,数列 {bn } 为 等比数列,若 a1 ? b1 ? a , a3 ? b3 , a7 ? b5 (1)求数列 {bn } 的公比 q ; (2)若 a n ? bm , n, m ? N * ,求 n 与 m 之间的关系; (3)将数列 {a n } , {bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {c n } ,是否存在正整数
3

p, q, r ( p ? q ? r ) 使得 p, q, r 和 c p ? p, c q ? q, c r ? r 均成等差数列?说明理由.
【答案】解:(1)设 {bn } 的公比为 q ,由题意

?aq 2 ? a ? 2d ? ? 4 ?aq ? a ? 6d ?

即?

?aq 2 ? a ? 2d ? ?aq 4 ? a ? 6d ?

q ? 1 不合题意,故
(2)由 a n ?b m 得

q2 ?1 1 ? ,解得 q 2 ? 2 ? q ? ? 2 q4 ?1 3

a ? (n ? 1)d ? aq m?1 ,又 2d ? aq 2 ? a ? a ? d ?

a 2

n ?1 ?1 ? ? (? 2 ) m?1 即 n ? 1 ? (?1) m?1 2 2
? n ? 1? N *
? (?) m?1 ? 0

m?1 2

? m为奇数,且n ? 2

m?1 2

?1

(3)若 {a n } 与 {bn } 有公共项,不妨设 a n ?b m 由(2)知: m为奇数,且n ? 2
m?1 2

?1
2 k ?1?1

* 令 m ? 2k ? 1(k ? N ) ,则 bm ? a ? ( 2 )

? a ? 2 k ?1

? cn ? 2 n ?1 a
若存在正整数 p、q、r ( p ? q ? r ) 满足题意,则

?2 q ? p ? r ? q ?1 p ?1 r ?1 ? 2( a ? 2 ? q ) ? ( a ? 2 ? p ) ? ( a ? 2 ? r )

?2 ? 2
q

p ?1

?2

r ?1

,又? 2

p ?1

?2
p?r 2

r ?1

?2 2

P ? r ?2

?2

p?r 2

(当且仅当p ? r时取" ?" )

又? p ? r ,? 2
x

p ?1

?2

r ?1

?2

又 y ? 2 在 R 上增,? q ?

?若不存在 p、q、r 满足题意

p?r p?r .与题设 q ? 矛盾, 2 2

4

数学附加题 14. (江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题)已知数列 (1)若

?an ? 的前 n 项和为 S n ,



a1 ? a5 ? 17

.

?an ? 为等差数列,



S8 ? 56

.

①求该等差数列的公差 d ; ②设数列 (2)若

?bn ? 满足 bn ? 3n ? an ,则当 n 为何值时, bn 最大?请说明理由;


?an ? 还同时满足:

?an ? 为等比数列;② a2 a4 ? 16 ;③对任意的正整数 k ,存在自然数 m ,使得

Sk ? 2 、 S k 、 S m 依次成等差数列,试求数列 ? an ? 的通项公式.

【答案】解: (1)①由题意,得

? 2a1 ? 4d ? 17 ? ?8a1 ? 28d ? 56

解得 d ? ?1 4 分

②由①知

a1 ?

21 23 23 an ? ?n bn ? 3n ? an ? 3n ? ( ? n) 2 ,所以 2 2 ,则 21 23 21 23 ? n) ? 3n ? ( ? n) ? 3n ? [3( ? n) ? ( ? n)] ? 2 ? 3n ? [10 ? n] 2 2 2 2

因为 所以

bn?1 ? bn ? 3n?1 ? (
b11 ? b10

,且当 n ? 10 时,

?bn ? 单调递增,当 n ? 11时, ?bn ? 单调递减,

故当 n ? 10 或 n ? 11 时,

bn

最大

? a1 ? 1 ? a1 ? 16 ? ? ?an ? 是等比数列,则 a2 a4 ? a1a5 ? 16 ,又 a1 ? a5 ? 17 ,所以 ?a5 ? 16 或 ? a5 ? 1 (2)因为
an ? 2
n ?1

从而



an ? (?2)

n ?1

1 1 an ? 16 ? ( )n ?1 an ? 16 ? (? )n?1 2 2 或 或 .

又因为 Sk ? 2 、 S k 、 S m 依次成等差数列,得 2Sk ? Sk ? 2 ? Sm ,而公比 q ? 1 ,
a1 (1 ? q k ) a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q m ) ? ? 1? q 1? q 1 ? q ,即 2qk ? qk ? 2 ? qm ,从而 2 ? q 2 ? q m ? k 所以 2

(*)

当 当

an ? 2n ?1

时, (*)式不成立; 时,解得 m ? k ? 1;

an ? (?2) n ?1

1 an ? 16 ? ( )n ?1 2 当 时, (*)式不成立;
5

1 an ? 16 ? (? )n?1 2 当 时, (*)式不成立.
综上所述,满足条件的

an ? (?2) n ?1

15. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)已知数列 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,数列

{bn } 是等比数列, b1b2b3 ? 27 .
(1)若 a1 ? b2 , a4 ? b3 .求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 是正整数且成等比数列,求 a3 的最大值. 【 答 案 】 解 :(1) 由 题 得 a2 ? 5, b2 ? 3 , 所 以 a1 ? b2 ? 3 , 从 而 等 差 数 列 {an } 的 公 差 d ? 2 , 所 以

an ? 2n ? 1 ,从而 b3 ? a4 ? 9 ,所以 bn ? 3n ?1
(2)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 a1 ? 5 ? d , b1 ?
3 , a3 ? 5 ? d , b3 ? 3q . q

因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,所以 (a1 ? b1 ) ? ( a3 ? b3 ) ? ( a2 ? b2 ) 2 ? 64 . 设?

?a1 ? b1 ? m , m, n ? N * , mn ? 64 , ? a3 ? b3 ? n

3 ? ?5 ? d ? ? m q 则? ,整理得, d 2 ? (m ? n)d ? 5(m ? n) ? 80 ? 0 . ?5 ? d ? 3q ? n ?

n ? m ? (m ? n ? 10) 2 ? 36 解得 d ? (舍去负根). 2
? a3 ? 5 ? d , ? 要 使 得 a3 最 大 , 即 需 要 d 最 大 , 即 n ? m 及 ( m ? n ? 10)
2

取 最 大

值.? m, n ? N * , mn ? 64 ,
? 当且仅当 n ? 64 且 m ? 1 时, n ? m 及 ( m ? n ? 10) 取最大值.
2

从而最大的 d ?

63 ? 7 61 , 2

73 ? 7 61 2 16 . 江 苏 省 连 云 港 市 2013 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 ( 数 学 ) 选 修 历 史 ) 已 知 数 列 ( ( )

所以,最大的 a3 ?

{an }满足 : a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0), 数列{bn }满足bn ? an an ? 2 (n ? N * )
(1)若 {an } 是等差数列,且 b3 ? 45, 求a的值及{an }的通项公式 ;
6

(2)若 {an } 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 S n.

【答案】解 (1)因为 ?an ? 是等差数列, d ? a ? 1 , an ? 1 ? n(a ? 1) ,

[1 ? 2(a ? 1)][1 ? 4(a ? 1)] ? 45 ,解得 a ? 3 或 a ?
an ? 2n ? 1

?7 (舍去), 4

(2)因为 ?an ? 是等比数列, q ? a , an ? a n ?1 , bn ? a 2n 当 a ? 1 时, bn ? 1 , Sn ? n ; 当 a ? 1 时, Sn ?

a 2 (1 ? a 2 n ) 1 ? a2

17. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)若数列 的等差数列;数列 (1)求数列

?an ? 是首项为 6 ? 12t ,

公差为 6

?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? t .

?an ? 和?bn ? 的通项公式; ?bn ? 是 等 比 数 列 ,
试 证 明 : 对 于 任 意 的 n( n ? N , n ? 1) , 均 存 在 正 整 数 cn , 使 得

(2) 若 数 列

bn?1 ? acn

, 并求数列

?cn ? 的前 n 项和 Tn ;


(3)设数列

?d n ? 满足 d n ? an ? bn ,

?d n ? 中不存在这样的项 d k ,

使得“ d k ? d k ?1 与 d k ? d k ?1 ”同

? 时成立(其中 k ? 2 , k ? N ), 试求实数的取值范围.

【答案】解: (1)因为 而数列

?an ? 是等差数列,所以 an ? (6 ? 12t ) ? 6(n ? 1) ? 6n ? 12t
bn ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 ,

?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? t ,所以当 n ? 2 时,

n ?1 ? 3 ? t, bn ? ? n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2 又 b1 ? S1 ? 3 ? t ,所以
(2)证明:因为

?bn ? 是等比数列,所以 3 ? t ? 2 ? 31?1 ? 2 ,即 t ? 1 ,所以 an ? 6n ? 12
? 2 ? 3n ? 6 ? 3n?1 ? 6 ? (3n?1 ? 2) ? 12 ,

对任意的 n( n ? N , n ? 1) ,由于 bn?1 令 cn

n ?1 ? 3n?1 ? 2 ? N * ,则 acn ? 6(2 ? 3 ) ? 12 ? bn?1 ,所以命题成立

7

1 ? 3n 1 n 1 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ? 2n ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2n ? 2 数列
?6(3 ? t )(1 ? 2t ), n ? 1 dn ? ? n n?2 ? 4(n ? 2t )3 , (3)易得 ,
由于当 n ? 2 时,

d n?1 ? d n ? 4(n ? 1 ? 2t )3

n ?1

3 ? 8[n ? (2t ? )] ? 3n ? 4(n ? 2t )3 2 ,所以
n

①若

2t ?

3 7 ?2 t? 2 4 ,则 d n?1 ? d n ,所以当 n ? 2 时,?d n ? 是递增数列,故由题意得 ,即

d1 ? d 2 ,即 6(3 ? t )(1 ? 2t ) ? 36(2 ? 2t ) ,解得

?5 ? 97 ?5 ? 97 7 ?t ? ? 4 4 4,

②若

2 ? 2t ?

3 7 9 ?3 ?t ? 2 4 ,则当 n ? 3 时,?d n ? 是递增数列,, ,即 4 t? 7 4

2 3 故由题意得 d 2 ? d 3 ,即 4(2t ? 2)3 ? 4(2t ? 3)3 ,解得

③若

m ? 2t ?

3 m 3 m 5 ? m ? 1(m ? N , m ? 3) ? ? t ? ? (m ? N , m ? 3) 2 2 4 ,即 2 4 ,

则当 2 ? n ? m 时,

?d n ? 是递减数列,

当 n ? m ? 1 时,

?d n ? 是递增数列,
m ?1

则由题意,得 d m ? d m?1 ,即 4(2t ? m)3

m

? 4(2t ? m ? 1)3

,解得

t?

2m ? 3 4

?5 ? 97 ?5 ? 97 2m ? 3 ?t ? t? 4 4 4 (m ? N , m ? 2) 综上所述,的取值范围是 或
18. (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)设 f k (n) ? c0 ? c1n ? c2 n2 ? ??? ? ck n k ? k ? N ? ,其中
c0 , c1 , c2 , ???, ck 为非零常数,

数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,对于任意的正整数 n,an+Sn= f k (n) . (1)若 k=0,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列. 【答案】 【证】(1)若 k ? 0 ,则 f k (n) 即 f 0 (n) 为常数,不妨设 f 0 (n) ? c (c 为常数). 因为 an ? Sn ? f k (n) 恒成立,所以 a1 ? S1 ? c ,即 c ? 2a1 ? 2 . 而且当 n≥2 时, an ? Sn ? 2 , ①
8

an?1 ? Sn?1 ? 2 , ②

①-②得 2an ? an?1 ? 0(n ? N, ≥2) . n 若 an=0,则 an ?1 =0 ,,a1=0,与已知 矛盾,所以 an ? 0(n ? N* ) . 故数列{an}是首项为 1,公比为 1 的等比数列. 2 【解】(2)(i) 若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若 k=1,设 f1 (n) ? bn ? c (b,c 为常数), 当 n≥2 时, an ? Sn ? bn ? c ,
an?1 ? Sn?1 ? b(n ? 1) ? c ,

③ ④

③-④ 得 2an ? an?1 ? b(n ? N, ≥2) . 要 使 数 列 {an} 是 公 差 为 d(d 为 常 数 ) 的 等 差 数 列 , 必 须 有 n
an ? b ? d (常数),

而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an =1 n ? N* , 故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an =1 n ? N* ,此时 f1 (n) ? n ? 1 . (iii) 若 k=2,设 f 2 (n) ? an2 ? bn ? c ( a ? 0 ,a,b,c 是常数), 当 n≥2 时, an ? Sn ? an2 ? bn ? c , ⑤

?

?

?

?

an ?1 ? Sn ?1 ? a(n ? 1)2 ? b(n ? 1) ? c , ⑥
⑤-⑥得 2an ? an?1 ? 2an ? b ? a(n ? N, ≥2) , n 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有
an ? 2an ? b ? a ? d ,且 d=2a,

考虑到 a1=1,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2a ? 2an ? 2a ? 1 n ? N* . 故当 k=2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an ? 2an ? 2a ? 1 n ? N* , 此时 f 2 (n) ? an2 ? (a ? 1)n ? 1 ? 2a (a 为非零常数). (iv) 当 k≥3 时,若数列{an}能成等差数列,则
an ? Sn 的表达式中 n 的最高次数为 2,故数列{an}不能成等差数列.

?

?

?

?

综上得,当且仅当 k=1 或 2 时,数列{an}能成等差数列. 19. (江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题)已知数列 {an } ,其前 n 项和为 S n .
9

⑴若对任意的 n ?N? , a2 n-1 ,a2 n +1 ,a2 n 组成公差为 4 的等差数列,且 a1 =1 , ⑵若数列 {

S2 n ? 2013 ,求 n 的值; 2n

Sn +a} 是公比为 q(q ? ?1) 的等比数列, a 为常数,求证:数列 {an } 为等比数列的充要条件为 an

1 q =1+ . a
【答案】⑴因为 a2n?1 , a2n?1 , a2 n 成公差为 4 的等差数列, 所以 a2n?1 ? a2n?1 ? 4, a2 n ? a2 n?1 ? (n ?N? ) , 8 所以 a1 , a3 , a5 ,?, a2 n?1 , a2 n?1 是公差为 4 的等差数列,且

a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n?1 ? 8n ,
又因为 a1 ? 1 ,所以 S2 n ? 2 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ? ? 8n

? 2[n +
所以

n(n ? 1) ? 4] + 8n ? 4n2 + 6n ? 2n(2n + 3) , 2

S2 n ? 2n + 3 ? 2013 ,所以 n ? 1005 2n
Sn ? a ? (a ? 1)q n ?1 ,所以 Sn ? (a ? 1)q n ?1an ? aan , an
② ①

⑵因为

所以 Sn ?1 ? (a ? 1)q n an ?1 ? aan ?1 ,

②-①,得 (a ? 1)(1 ? q n )an?1 ? [a ? (a ? 1)q n?1 ]an , ③ (ⅰ)充分性:因为 q ? 1 ?

1 ,所以 a ? 0, q ? 1, a ? 1 ? aq ,代入③式,得 a

q(1 ? q n )an?1 ? (1 ? q n )an ,因为 q ? ?1 ,又 q ? 1 ,
所以

an ?1 1 ? , n?N* ,所以 ?an ? 为等比数列, an q

(ⅱ)必要性:设 ?an ? 的公比为 q0 ,则由③得 (a ? 1)(1 ? q n )q0 ? a ? (a ? 1)q n?1 ,

1 整理得 ? a ? 1? q0 ? a ? ? a ? 1? (q0 ? )q n , q
此式为关于 n 的恒等式,若 q ? 1 ,则左边 ? 0 ,右边 ? ?1 ,矛盾;

?( a ? 1)q0 ? a, 1 ? 若q ? ?1 ,当且仅当 ? 1 时成立,所以 q ? 1 ? . a ?( a ? 1)q0 ? (a ? 1) q ?
10

由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列 {an } 为等比数列的充要条件为 q =1+

1 a

20. (江苏省淮安市 2013 届高三上学期第一次调研测试数学试题)已知各项均为正数的数列 ?a n ?前 n 项的 和为 S n ,数列 an

? ? 的前 n 项的和为 T ,且
2

n

? Sn ? 2 ?

2

? 3Tn ? 4, n ? N * .

⑴证明数列 ?a n ?是等比数列,并写出通项公式;
* ⑵若 Sn ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,求 ? 的最小值;
2

⑶若 an , 2 an ?1 , 2 an ? 2 成等差数 列,求正整数 x, y 的值. 【答案】(1)因为 ( Sn ? 2)2 ? 3Tn ? 4 ,其中 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和, Tn 是数列 {a n } 的前 n 项和,且
2

x

y

an ? 0 ,
当 n ? 1时,由 (a1 ? 2)2 ? 3a12 ? 4 ,解得 a1 ? 1 , 当 n ? 2 时,由 (1 ? a2 ? 2)2 ? 3(1 ? a2 2 ) ? 4 ,解得 a2 ?
2 2

1 ; 4分 2

由 ( S n ? 2) ? 3Tn ? 4 ,知 ( S n ?1 ? 2) ? 3Tn ?1 ? 4 ,两式相减得
2 ( S n?1 ? S n )( S n?1 ? S n ? 4) ? 3a n?1 ? 0 ,即 ( S n ?1 ? S n ? 4) ? 3a n ?1 ? 0 ,

亦即 2S n ?1 ? S n ? 2 ,从而 2Sn ? Sn ?1 ? 2,(n ≥ 2) ,再次相减得

1 a 1 1 an ?1 ? an ,(n ≥ 2) ,又 a 2 ? a1 ,所以 n ?1 ? , (n ≥1) an 2 2 2
所以数列 {a n } 是首项为 1,公比为 其通项公式为 a n ?

1 的等比数列, 2

1 2
n ?1

n ? N*
n

n ?1? ?1? 1? ? ? n 1? ? ? n ? 2 ? ? 2?1 ? ? 1 ? ? , ? 4 ? ? 4 ?1 ? ? 1 ? ? , (2)由(1)可得 S n ? ? ? ? ? Tn ? ? ? ? ? 1 1 3? ?4? ? ? ?2? ? ? ? 1? ? ? 1? 4 2

* 若 S n ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,
2

11

S 只需 ? ? n Tn
因为 3 ?

2

?1? 1? ? ? 6 2 * ? 3 ? ?n ? 3 ? n 对 n ? N 恒成立, 2 ?1 ?1? 1? ? ? ?2?

n

6 ? 3 对 n ? N * 恒成立,所以 ? ≥ 3 ,即 ? 的最小值为 3; 2 ?1
n
x y

(3)若 a n ,2 a n ?1 ,2 a n ? 2 成等差数列,其中 x, y 为正整数,则 整理得 2 x ? 1 ? 2 y ?2 ,

1 2

, n ?1

2x 2y 成等差数列, , 2 n 2 n ?1

当 y ? 2 时,等式右边为大于 2 的奇数,等式左边是偶数或 1, 等式不能成立, 所以满足条件的 x, y 值为 x ? 1, y ? 2 21. (江苏省泰兴市 2013 届高三上学期期中调研考试数学试题) 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 3 ,其前 n 项 和 S n 满足 S n ?1 ? S n ?1 ? 2 S n ? 1 ,其中 n ≥ 2 , n ? N* . (1)求证;数列 ?a n ? 为等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn ? a n ? 2 ? n , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使 Tn >2 的 n 的取值范围. (3)设 c n ? 4 n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n (? 为非零整数, n ? N* ),试确定 ? 的值,使得对任意 n ? N* ,都有
a

c n ?1 ? c n 成立.
【答案】解:(1)由已知, ? S n ?1 ? S n ? ? ? S n ? S n ?1 ? ? 1 ( n ≥ 2 , n ? N* ), 即 an ?1 ? an ? 1 ( n ≥ 2 , n ? N* ),且 a2 ? a1 ? 1 . ∴数列 ?a n ? 是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列. ∴ an ? n ? 1 (2) ∵ an ? n ? 1 ,∴ bn ? (n ? 1) ?

1 2n

1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? ? 3 ? 2 ? L ? n ? n ?1 ? (n ? 1) ? n ...........(1) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ??? ? n ? n ? (n ? 1) n ?1 ..........(2) 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 (1) ? (2)得: Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? L ? n ? (n ? 1) ? n ?1 2 2 2 2 2
12

n?3 2n n?3 n?3 代入不等式 得: 3 ? n ? 2,即 n ? 1 ? 0 2 2 n?3 n?2 设 f ( n) ? ? 1, 则f (n ? 1) ? f (n) ? ? n ?1 ? 0 n 2 2


Tn ? 3 ?

∴ f (n) 在 N ? 上单调递减, ∵ f (1) ? 1 ? 0, f (2) ?

1 1 ? 0, f (3) ? ? ? 0 , 4 4

∴当 n=1,n=2 时, f (n) ? 0, 当n ≥ 3时,f (n) ? 0 , 所以 n 的取值范围.为

n ≥ 3, 且n ? N?
n n ?1

(3) Q an ? n ? 1, ? cn ? 4 ? (?1) 即 cn ?1 ? cn ? 4
n ?1

? 2n ?1 ,要使 cn ?1 ? cn 恒成立,

? 4n ? (?1)n ? 2n? 2 ? (?1) n?1 ? 2n?1 ? 0 恒成立,

? 3 ? 4n ? 3(?1)n ?1 ? 2n ?1 ? 0 恒成立,∴ (?1)n ?1 ? ? 2n ?1 恒成立,
(i)当 n 为奇数时,即 ? ? 2
n ?1

恒成立,当且仅当 n ? 1 时, 2n?1 有最小值为1 ,?? ? 1 .
n ?1

(ii) 当 n 为 偶 数 时 , 即 ? ? ?2

恒 成 立 , 当 且 仅 当 n ? 2 时 , ?2n?1 有 最 大 值 ?2 , ?? ? ?2 . 即

?2 ? ? ? 1 ,又 ? 为非零整数,则 ? ? ?1
综上所述:存在 ? ? ?1 ,使得对任意的 n ?N ,都有 cn ?1 ? cn
?

22. (江苏省 2013 届高三高考压轴数学试题)已知等差数列{an}的首项 a1 为 a (a ? R, a ? 0) .设数列的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有

a2 n 4n ? 1 . ? an 2n ? 1

(1) 求数列{an}的通项公式及 Sn ; (2) 是否存在正整数 n 和 k,使得 Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出 n 和 k 的值;若不存在,请说 明理由.

【答案】

13

23. 2013 江苏高考数学) ( 本小题满分 16 分.设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和.记 bn ?

nSn * , n ? N ,其中 c 为实数. n2 ? c
2

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n Sk ( k , n ? N );
*

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 . 【答案】本题主要考察等差数列等比数列的定义.通项.求和等基础知识,考察分析转化能力及推理论 证能力. 证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和 ∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) ∴ S n ? na ? d ? na ? 2a ? n 2 a 2 2
∴左边= S nk ? (nk ) a ? n k a
2 2 2 2

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n S k ? n k a
2 2

∴左边=右边∴原式成立 (2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d 1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nSn 得: n2 ? c
14

b1 ? (n ? 1)d1 ?


nSn 1 1 ? ∴ (d1 ? d )n 3 ? (b1 ? d1 ? a ? d )n 2 ? cd1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 n ? N 恒成 2 2 2 n ?c

1 ? ?d 1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d 1 ? a ? d ? 0 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由①式得: d1 ? 由③式得: c ? 0

1 d 2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0

法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 a n ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

n[( n ? 1)d ? 2a] (n ? 1)d ? 2a , bn ? . 2 2

即: ? a ?

? ?

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ?
2 2 2 2 2 2 2

2

由此: S n ? n a , S nk ? (nk ) a ? n k a , n S k ? n k a .
* 故: Snk ? n Sk ( k , n ? N ).

2

(n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 , ? 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 故有: ≠0, ? 0 ,而 ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故 c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列. 24. (江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题)已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,公差

15

d ? 0, 且S 3 ? S 5 ? 50, a1 , a 4 , a13 成等比数列.
(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设 ?

? bn ? ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?

【答案】解: (Ⅰ)依题意得

3? 2 4?5 ? d ? 5a1 ? d ? 50 ?3a1 ? 2 2 ? ?(a ? 3d ) 2 ? a (a ? 12 d ) 1 1 ? 1
解得 ?

?a1 ? 3 , ?d ? 2

? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, a n ? 2n ? 1 即
(Ⅱ)

bn ? 3 n ?1 , bn ? a n ? 3n ?1 ? (2n ? 1) ? 3n?1 an

Tn ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) ? 3 n ?1

3Tn ?

3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n

? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n ?1 ? (2n ? 1)3n

3(1 ? 3 n ?1 ) ? (2n ? 1)3 n 1? 3 ? ?2n ? 3 n ? 3? 2?
∴ Tn ? n ? 3
n

25. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)若数列 {an } 是等比数列,满足 2a1 公式; (Ⅱ)是否存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ?若存在,请求出所有满足条 件的等差数列;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)设等比数列

? a3 ? 3a 2 , a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项,求数列 ?a n ? 的通项

?a n ?的首项为 a1 ,公比为 q ,
16

? a1 (2 ? q 2 ) ? 3a1 q, (1) ? 2a1 ? a3 ? 3a 2 , 依题意,有 ? 即? 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2(a3 ? 2). ?a1 (q ? q ) ? 2a1 q ? 4. (2)


(1) 得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 . ? 1 时,不合题意舍;
? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n

当q 当q

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列 {an } ,设此数列的公差为 d ,则 方法 1: [a1 ? (n ? 1)d ][a1 n ?

n(n ? 1) d ] ? 2n 2 (n ? 1) ,得 2

d2 2 3 3 1 n ? ( a1 d ? d 2 )n ? (a12 ? a1 d ? d 2 ) ? 2n 2 ? 2n 对 n ? N * 恒成立, 2 2 2 2
?d2 ? 2, ? 2 ? ?3 2 则 ? a1 d ? d ? 2, 2 ? 1 2 ? 2 3 ?a1 ? 2 a1 d ? 2 d ? 0, ?
解得 ?

?d ? 2, ?d ? ?2, 或? 此时 an ? 2n ,或 an ? ?2n . ?a1 ? 2, ?a1 ? ?2.

故存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中 an ? 2n , 或 an ? ?2n 方法 2:令 n ? 1 , a12 ? 4 ,得 a1 ? ?2 ,
2 令 n ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a2 ? 24 ? 0 ,

①当 a1 ? 2 时,得 a2 ? 4 或 a2 ? ?6 , 若 a2 ? 4 ,则 d ? 2 , an ? 2n , S n ? n(n ? 1) ,对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ; 若 a2 ? ?6 ,则 d ? ?8 , a3 ? ?14 , S3 ? ?18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . ②当 a1 ? ?2 时,得 a2 ? ?4 或 a2 ? 6 , 若 a2 ? ?4 ,则 d ? ?2 , an ? ?2n , S n ? ? n(n ? 1) ,对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ; 若 a2 ? 6 ,则 d ? 8 , a3 ? 14 , S3 ? 18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) .
17

综上所述,存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中 an ? 2n ,或 an ? ?2n 26. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 an ? S n ? An 2 ? Bn ? 1 ( A ? 0 ).

3 9 , a2 ? ,求证数列 ?an ? n? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 2 4 B ?1 (2)已知数列 ?an ? 是等差数列,求 的值. A
(1)若 a1 ?

【答案】

27. (2012 年江苏理)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

, n ? N *,

18

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn ?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

【答案】解:(1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn = ,∴ an ?1 ? an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2
2

.



bn ?1 an?1

2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ? bn ? ? 1 ? ? ? .∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? an ? ? ?

2

2

2

.

?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列. ?? an ? ? ? ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an ?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? .
2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 .(﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q=1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 时, an?1 ? a1q n > 2 ,与(﹡)矛盾. < a2 ? 2 ,∴当 n > log q a1 q
a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1q n < 1 ,与(﹡)矛盾. q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q=1 .∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 . 又∵ bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 的等比数列. an a1 a1

若 a1 ? 2 ,则

2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 . a1

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

即 a1 ?

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1

.

∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾.∴ a1 = 2 .

19

2?
∴ bn =

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2.

∴ a1 =b2 = 2 .

20


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