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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(28)

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加试模拟训练题(28) (附详细答案) 1、 已知△ABC,设 I 是它的内心,角 A、B、C 的内角 平分线分别交其对边于 A'、B'、C'. AI·BI·CI 1 8 求证: < ≤ 4 AA'·BB'·CC' 27 2、 设函数 f:[0,1] →R 满足: (2)f(1)=1; (3)f(x)+f(y)≤f(x+y),x

,y,x+y∈[0,1]. 求出最小的常数 c,使 f(x)≤cx 对一切满足上述条件的函数 f 及一切 x∈[0,1]都 成立,并证明你的结论. 3、 在一个圆上给了 2000 个点,从某点开始标上 1,按顺时针方向 隔一点标上 2,再隔二点标上 3(如图),继续下去,标出 1,2,?, 1993 .有些点会有不只一个数标记在其上,有的点没有标上任何 数.问:被标上 1993 的那个点被标上的数中最小的是多少? 4.如 n 是不小于 3 的自然数,以 f (n) 表示不是 n 的因数的最小自然数[例如 f (n) =5].如果 f (n) ≥3,又可作 f ( f (n)) .类似地,如果 f ( f (n)) ≥3,又可作 f ( f ( f (n))) 等等.如果 f ( f ( f ? f (n) ?)) ? 2 ,就把 k 叫做 n 的“长度”.如果用 l n 表示 n 的长度,试对任意 的自然数 n(n≥3) ,求 l n ,并证明你的结论. 加试模拟训练题(28) 1、已知△ABC,设 I 是它的内心,角 A、B、C 的内角 平 分 线 分 别 交 其 对 边 于 A' 、 B' 、 C' . 求 证 : AI·BI·CI 1 8 < ≤ 4 AA'·BB'·CC' 27 【题说】 第三十二届 (1991) 年国际数学奥林匹克题 1.本题由原苏联提供. 【证】 记 BC=a,CA=b,AB=c,易知 b+c a+c a+b AI BI CI = , = , = AA' a+b+c BB' a+b+c CC' a+b+c AI·BI·CI a+c a+b 1 b+c 8 由均值不等式 ≤[ ( + + )]3= 3 27 AA'·BB'·CC' a+b+c a+b+c a+b+c b+c a+c a+b 另一方面,记 x= ,y= ,z= ,则 a+b+c a+b+c a+b+c AI·BI·CI =xyz,不妨设 x≥y≥z,显然 x+y+z=2,且 AA'·BB'·CC' a+b 1 z> = a+b+(a+b) 2 熟知正数 u、v(u≥v)的和一定时,积 uv 随 v 的减少而减少,所以 1 3 1 1 1 xyz=(2-z-y)yz> ( - ) = 2 2 2 2 4 2、 设函数 f:[0,1] →R 满足: (2)f(1)=1; (3)f(x)+f(y)≤f(x+y),x,y,x+y∈[0,1]. 求出最小的常数 c,使 f(x)≤cx 对一切满足上述条件的函数 f 及一切 x∈[0,1]都 成立,并证明你的结论. 【证】最小常数 c=2. 首先,我们证明:如果 f 满足(1)-(3),则 f(x)≤2x 对一切 x∈[0,1]成立. 由(3)与(1),f(x)≤f(x)+f(y)≤f(x+y),即 f(x)在[0,1]上是增函数. 对 x∈(0,1],取非负整数 n,使 而由(3),2f(x)≤f(2x),所以 2nf(x)≤2n-1f(2x)≤2n-2f(22x)≤?≤f(2nx)≤f(1)=1<2n+1x f(x)<2x 又显然有 f(0)+f(1)≤f(0+1)=

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