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江苏省数学竞赛提优教案:第14讲 染色问题


第 14 讲 染色问题 本节主要讲述用染色的方法解有关的竞赛题. 染色, 是一种辅助解题的手段, 通过染色, 把研究对象分类标记,以便直观形象地解决问题,因此染色就是分类的思想的具体化,例如 染成两种颜色,就可以看成是奇偶分析的一种表现形式.染色,也是构造抽屉的一个重要方 法,利用染色分类,从而构造出抽屉,用抽屉原理来解题. A 类例题 例 1⑴ 有一个 6×6 的棋盘,剪去其

左上角和右下角各一个小格(边长为 1)后,剩下的 图形能不能剪成 17 个 1×2 的小矩形? ⑵ 剪去国际象棋棋盘左上角 2×2 的正方形后,能不能用 15 个由四个格子组成的 L 形 完全覆盖? 例 1(!) 例 1(2) 分析 把棋盘的格子用染色分成两类, 由此说明 能满足题目的要求. 留下的图形不 证明 ⑴如图,把 6×6 棋盘相间染成黑、白二色,使相邻两格染色不同.则剪去的两格 同色.但每个 1×2 小矩形都由一个白格一个黑格组成,故不可能把剩下的图形剪成 17 个 1 ×2 矩形. ⑵如图,把 8×8 方格按列染色,第 1,3,5,7 列染黑,第 2、4、6、8 列染白.这样 染色,其中黑格有偶数个.由于每个 L 形盖住三黑一白或三白一黑,故 15 个 L 形一定盖住 奇数个黑格,故不可能. 说明 用不同的染色方法解决不同的问题. 例 2 用若干个由四个单位正方形组成的“L”形纸片无重叠地拼成一个 m?n 的矩形,则 mn 必是 8 的倍数. 分析 易证 mn 是 4 的倍数,再用染色法证 mn 是 8 的倍数. 证明:每个 L 形有 4 个方格,故 4|mn.于是 m、n 中至少有一个为偶数.设列数 n 为偶 1 1 数,则按奇数列染红,偶数列染蓝.于是红格与蓝格各有 mn 个,而 mn 是偶数.每个 L 形 2 2 或盖住 3 红 1 蓝,或盖住 1 红 3 蓝,设前者有 p 个,后者有 q 个. 于是红格共盖住 3p+q 个即 p+q 为偶数,即有偶数个 L 形.设有 2k 个 L 形.于是 mn=2k ×4=8k.故证. 说明 奇偶分析与染色联合运用解决本题. 情景再现 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1.上面是俄罗斯方块的七个图形: 请你用它们拼出(A)图,再用它们拼出(B)图(每块只能用一次,并且不准翻过来用).如 果能拼出来, 就在图形上画出拼法, 并写明七个图形的编号; 如果不能拼出来, 就说明理由. (A) (B) 2.能否用图中各种形状的纸片(不能剪开)拼成一个边长为 75 的正方形?(图中每个 小方格的边长都为 1)请说明理由. B 类例题 例 3 ⑴ 以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色.证明:一定存在无穷条长为 1 的线段,这些线段的端点为同一颜色. ⑵ 以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色.证明:存在同色的三点,且其中 一点为另两点中点. 分析 任意染色而又要求出现具有某种性质的图形,这是染色问题常见的题型,常用抽 屉原理或设置两难命题的方法解. 证明 ⑴取边长为 1 的等边三角形,其三个顶点中必有两个顶点同色.同色两顶点连成 线段即为一条满足要求的线段, 由于边长为 1 的等边三角形有无数个, 故满足要求的线段有 无数条. ⑵ 取同色两点 A、B,延长 AB 到点 C,使 BC=AB,再延长 BA 到点 D,使 AD=AB,若 C、D 中有一点为红色,例如点 C 为红色,则点 B 为 AC 中点.则命题成立.否则,C、D 全蓝,考 虑 AB 中点 M,

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