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高二数学(理科)下学期期末考试试卷


高二数学下学期期末考试试卷
一、选择题: 1、已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 z ? z1   · z 2 在复平面上对应的点位于 ( A.第一象限
2



B.第二象限 )条件

C.第三象限

D.第四象限

2、 “ x

? 1 ”是“ x ? x ”的( (A)充分而不必要

(B)必要而不充分

(C)充分必要 )

(D)既不充分也不必要

3、在二项式 ( x ? 1)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是(

A . ?15

B . 15

C . ?20

D . 20
? 1 f ( x) ? e 2? ? ( x ?80 ) 2 200

4、 某市组织一次高三调研考试, 考试后统计的数学成绩服从正态分布, 其密度函数



则下列命题不正确的是( ) A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学标准差为 10 5、某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码,每位上的数字可在 0 到 9 这 10 个数字中选取,该人记得箱子 的密码 1,3,5 位均为 0,而忘记了 2,4 位上的数字,只要随意按下 2,4 位上的数字,则他按对 2,4 位 上的数的概率是( ) 1 A. 2 B. 1 C. D. 1 10 100 5 5
2 2 6、已知 A(-1,0) ,B(1,0) ,若点 C ( x, y ) 满足 2 ( x ? 1) ? y ?| x ? 4 |,则 | AC | ? | BC |? (



A.6

B.4

C.2

D.与 x,y 取值有关

7、某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“ ???????0000 ”到“ ???????9999 ” 共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或 “7 ” 的一律作为 “优惠卡” , 则这组号码中 “优惠卡” 的个数为 ( A. 2000 B. 4096 C. 5904 D. 8320 )

8、如图,在杨辉三角形中,斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向 可以构成一个“锯齿形”的数列:1,3,3,4,6,5,10,?, 记此数列的前 n 项之和为 Sn ,则 S21 的值为( A.66 二、填空题: 9、已知? x cos ? ? 1?5 展开式中x2的系数与? x ? 5 ? 的展开式中x3的系数相等,则cos ? ? ____________ ? ?
? 4?
4

) D.361

B.153

C.295

y ? sin ? ? 1 ( ? 是参数) 10、在直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C 的参数方程是 ? ,若以 o 为极点, x 轴的正半 ? ? x ? cos ?

轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程可写为________________.
? 11、已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____

1

? x ? 0, ? 12、在约束条件 ? y ? 0, 下,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值是 ? x ? y ? 3 , ? ? ?2 x ? y ? 4

.

13、动点 P(x, y)满足 a ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ?| 3 x ? 4 y ? 10 | ,且 P 点的轨迹是椭圆,则 a 的取值范围是



14、等差数列有如下性质,若数列 {an } 是等差数列,则当 bn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n 时, 数列{bn } 也是等差数列;类比
n

上述性质,相应地 {cn } 是正项等比数列,当数列 d n ? 三、解答题:

时,数列 {d n } 也是等比数列。

15、在某年一项关于 16 艘轮船的研究中,船的吨位区间从 192 吨到 3246 吨,船员的数目从 5 人到 32 人.船员

? ? 9.5 ? 0.0062 x 人数 y 关于船的吨位 x 的线性回归方程为 y
(1)假设两艘轮船吨位相差 1000 吨,则船员平均人数相差多少? (2)对于最小的船估计的船员数是多少?对于最大的船估计的船员数是多少?(保留整数)

4) , B(0, 0) , C (c, 0) . 16、已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,
(1)若 c ? 5 ,求 sin ∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

2

17、求由 y 2 ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? 4 所围成图形的面积.

18、如图,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ,可按下面方法估 计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中, 则 M 的面积的估计值为

D

C

M

m S, 假设正方形 ABCD 的边长为 2,M 的面积为 1, n
A B

并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目.

( I )求 X 的均值 EX ; ( II )求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值之差在区间
t (? 0.03 , ????)内的概率.附表: P(k ) ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?t t ?0 k

k

2424

2425

2574

2575

P(k )

0.0403

0.0423

0.9570

0.9590

3

19、已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲线 y ? f ( x) , 2

y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) .

g (k ) 表示 k 的最大奇数因数, g (20) ? 5 , 20、 若对于正整数 k 、 例如 g (3) ? 3 , 并且 g (2m) ? g (m)
设 Sn ? g (1) ? g (2) ? g (3) ?

(m ? N ? ) ,

g (2n )
3 1 ,求证数列 {bn } 的前 n 顶和 Tn ? . 2 Sn ? 1

(Ⅰ)求 S1、S2、S3 ; (Ⅱ)求 Sn ; (III)设 bn ?

4

高二数学参考答案
一、选择题:1-4 D A C B 二、填空题:9、 ? 12、7 三、解答题: 15、解: (1)依题意设船员平均人数相差为△y 5-8 D B C D 10、 ? ? 2sin ? 13、 (5,+∞)

2 2

11、

1 16

14、 n C1C 2?Cn

? 1- y ? 2=0.0062×1000=6.2≈6 则有△y= y

? ? 9.5 ? 0.0062 x 可得 (2)根据线性回归方程 y

? 3=9.5+0.0062×192≈11 最小的船的估计船员 y

? 4=9.5+0.0062×3264≈30 最大的船的估计船员 y

答:当两艘轮船的吨位相差 1000 吨时,船员平均人数相差 6 人, 最小船的估计船员数是 11 人,最大船的估计船员人数是 30 人。 16、解: (1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) ,若 c=5, 则 AC ? (2, ?4) , ∴ cos ?A ? cos ? AC, AB ??
?6 ? 16 ? 1

5? 2 5 5 ? ?3c ? 9 ? 16 ? 0 25 25 (2)若∠A 为钝角,则 ? 解得 c ? , ∴c 的取值范围是 ( , ??) ; 3 3 ?c ? 0

,∴sin∠A=

2 5 ; 5

17、解:如图,作出曲线 y ? 4 x , y ? 2 x ? 4 的草图,所求面积为图中阴影部分的面积
2

? y2 ? 4x 由? 得交点坐标为 (1, ?2), (4, 4) , ? y ? 2x ? 4
方法一:阴影部分的面积

y
B ( 4,4 )

S ? 2? 2 xdx ? ? [2 x ? (2 x ? 4)]dx
0 1

1

4

C(2,0 )

0

4 4 2 4 ? 2( x ) |1 0 ? ( x ? x ? 4 x) |1 ? 9 3 3
法二:阴影部分面积 S ?

3 2

3 2

A(1, ?2)

x

?

4

?2

(

y ? 4 y2 1 1 4 ? )dy ? ( y 2 ? 2 y ? y 3 ) |? 2= 9 4 12 2 4
1 1? ? . 依题意知 X ~ B ?10000, ? . 4 4? ?

18、解: 每个点落入 M 中的概率均为 p ? (Ⅰ) EX ? 10000 ?

1 ? 2500 . 4
5

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ?0.03 ?

? ?

X ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? , 10000 ?

2574 X ? ? t P ? ?0.03 ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? ? P(2425 ? X ? 2575) ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?t 10000 ? ? t ? 2426

?

2574 t ? 2426

?

t t C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?t ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?1 t ?0

2425

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 .
19、解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 , 由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? 3a 2 ?2 即? 由 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . x ? 2 a ? 2 0 x0 ? x0 ? 2a ? 3a , ? x0 ?
1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) . 2
即有 b ? 于是当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 ; 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .
1 ? ? ? 1 ? 3 故 h(t ) 在 ? 0,e ? 为增函数,在 ? e 3, ? ∞? 为减函数, ? ? ? ?
1 1

? ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ? 于是 h(t ) 在 (0,

? ?

1

? ?

2 3 3 e . 2

(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

则 F ?( x) ? x ? 2a ?

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) . x x

? ∞) 为增函数, 故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a,
于是函数 F ( x) 在 (0, ? ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 . 故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) .
6

20、解: (Ⅰ) S1 ? g (1) ? g (2) ? 1 ? 1 ? 2

S2 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 6 S3 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? g (5) ? g (6) ? g (7) ? g (8) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1? 5 ? 3 ? 7 ? 1 ? 22
(Ⅱ)

g (2m) ? g (m) , n ? N?

?Sn ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ?
? [ g (1) ? g (3) ? g (5) ? ? [1 ? 3 ? 5 ?
?

? g (2n ?1) ? g (2n )
? g (2n )]

? g (2n ?1)] ? [ g (2) ? g (4) ?

? (2n ?1)] ? [ g(2 ?1) ? g(2 ? 2) ?

? g(2 2n?1)]

(1 ? 2n ? 1) 2n?1 ? [ g (1) ? g (2) ? 2

g (2n?1 )] ? 4n?1 ? Sn?1

则 Sn ? Sn?1 ? 4n?1

? Sn ? (Sn ? Sn?1 ) ? (Sn?1 ? Sn?2 ) ?
?4
n ?1

? (S2 ? S1 ) ? S1

?4

n?2

?

4(4n ?1 ? 1) 1 2 ?4 ?4?2 ? ? 2 ? 4n ? 4 ?1 3 3
2

(Ⅲ) bn ?

1 3 3 3 3 1 1 ? n ? n 2 ? n ? ( n ? n ) n S n ? 1 4 ? 1 (2 ) ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1

Tn ?

3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 ( 1 ? )? ( 2 ? 2 )? ( 3 ? 3 )? ? ( n ? n ) 2 2 ?1 2 ? 1 2 2 ?1 2 ? 1 2 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ?1 ? n ? n ] 2 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 2 ?1 2 ?1 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 3 1 1 1 1 1 1 1 ? [1 ? ( ? ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ( n ?1 ? n )? n ] 2 3 3 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 2 ?1 2 ? 1 3 ? 当 n ? 1 时, T1 ? b1 ? 1 ? 成立 2
当 n ? 2 时,

1 2n ? 1 ? 2n?1 ? 1 2n?1 ? 2 ? ? ?0 2n?1 ? 1 2n ? 1 (2n?1 ? 1)(2n ?1) (2n?1 ? 1)(2n ?1) 1 ?
( 1 2
n ?1

3 1 1 1 1 ?Tn ? [1 ? ( ? 2 )?( 2 ? 3 )? 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

3 3 1 1 ? 1? )? n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2

?

n

7


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