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【全国百强校】浙江省温州中学人教新课标A版 必修一 抽象函数的奇偶性周期性对称性 教案


抽象函数的周期性与对称性
知识点梳理
一、 抽象函数的对称性
定理 1. 若函数 y ? f ( x) 定义域为 R ,且满足条件: f (a ? x) ? f (b ? x) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于直线

x?

a?b 对称。 2

推论 1. 若函数 y ? f (

x) 定义域为 R ,且满足条件: f (a ? x) ? f (a ? x) ,则函数 y ? f ( x) 的图像关于直线

x ? a 对称。
推论 2. 若函数 y ? f ( x) 定义域为 R , 且满足条件:f ( x) ? f (2a ? x) ),则函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称。

总结:x 的系数一个为 1,一个为-1,相加除以 2,可得对称轴方程 推论 3. 若函数 y ? f ( x) 定义域为 R ,且满足条件: f (a ? x) ? f (a ? x) , 又若方程 f ( x) ? 0 有 n 个根,则
此 n 个根的和为 na 。 定理 2. 若函数 y ? f ( x) 定义域为 R , 且满足条件: f (a ? x) ? f (b ? x) ? c( a, b, c 为常数) , 则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (

a?b c , ) 对称。 2 2

推论 1. 若函数 y ? f ( x) 定义域为 R ,且满足条件: f (a ? x) ? f (b ? x) ? 0 成立,则 y ? f ( x) 的图象关于点

(

a?b ,0) 对称。 2

推论 2.若函数 y ? f ( x) 定义域为 R ,且满足条件: f (a ? x) ? f (a ? x) ? 0 ( a 为常数) ,则函数 y ? f ( x) 的 图象关于点 ( a,0) 对称。

总结:x 的系数一个为 1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个的系数是为 1,另一个为-1,存在对称中心。
定理 3.若函数 y ? f ( x) 定义域为 R , 则函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (b ? x) 两函数的图象关于直线 x ? 称(由 a ? x ? b ? x 可得) 。 推论 1. 函数 y ? f ( x ? a) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称。 推论 2. 函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? 0 对称。 定理 4.若函数 y ? f ( x) 定义域为 R , 则函数 y ? f (a ? x) 与 y ? c ? f (b ? x) 的图象关于点 ( 推论. 函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? ? f (b ? x) 图象关于点 ( 二、抽象函数的周期性 定理 5.若函数 y ? f ( x) 定义域为 R ,且满足条件 f (a ? x) ? f ( x ? b) ,则 y ? f ( x) 是以 T ? a ? b 为周期的 周期函数。
1

b?a 对 2

b?a c , ) 对称。 2 2

b?a ,0) 对称。 2

推论 1.若函数 y ? f ( x) 定义域为 R ,且满足条件 f (a ? x) ? ? f ( x ? b) ,则 y ? f ( x) 是以 T ? 2(a ? b) 为周 期的周期函数。 推论 2.若函数满足条件 f ? x ? a ? ? ?

1 则 y ?? a f ?( x) 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数。 ,则 T=2 f ? x?
则 y? ,则 T=4 ? af? ( x) 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数。

推论 3. 若函数满足条件 f ? x ? a ? ?

1? f ? x? 1? f ? x?

定理 7.若函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 与 x ? b(a ? b) 对称,则 y ? f ( x) 是以 T ? 2(b ? a) 为周期的 周期函数。 定理 8.若函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a,0) 与点 (b,0)(a ? b) 对称,则 y ? f ( x) 是以 T ? 2(b ? a) 为周期的周 期函数。 定理 9.若函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 与 点 (b,0)(a ? b) , 则 y ? f ( x) 是以 T ? 4(b ? a) 为周期的周期 函数。

总结:x 的系数同为为 1,具有周期性。

例题讲解:
题型一、抽象函数的对称轴 1、若函数 f ? x ? ? x ? bx ? c 对一切实数都有 f (2+x) = f (2-x)则(
2



A.f (2)<f (1)< f(4) B.f (1)<f (2)< f(4) C.f (2)<f (4)< f(1) D.f (4)<f (2)< f(1) 2、设函数 y= f (x)定义在实数集 R 上,则函数 y= f (x-1)与 y= f (1-x)的图象关于( )对称。 A.直线 y=0 B.直线 x=0 C.直线 y=1 D.直线 x=1 题型二、抽象函数的对称中心 1、已知定义为 R 的函数 f ?x ? 满足 f ?? x ? ? ?f ?x ? 4? ,且函数 f ?x ? 在区间 ?2 , ? ?? 上单调递增.如果 x 1 ? 2 ? x 2 ,且 x 1 ? x 2 ? 4 ,则 f ?x 1 ? ? f ?x 2 ? 的值( ) A. 恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负 2、函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的函数,那么 y=-f(x+4)与 y=f(6-x)的图象之间(D ) A.关于直线 x=5 对称 B.关于直线 x=1 对称 C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称 题型三、抽象函数的周期性 1、f(x)是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x=1 对称,证明 f(x)是周期函数。

2、设 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则 f(x)是( ) A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数

2

课后作业:姓名:

班级

座号


1、定义在 R 上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且 f (5-x) = f (5+x),则 f (x)一定是( A.是偶函数,也是周期函数 B.是偶函数,但不是周期函数 C.是奇函数,也是周期函数 D.是奇函数,但不是周期函数

2、已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则

5 f ( f ( )) 的值是( 2
A.0

) B.

1 2

C.1

D.

5 2

3、已知 f ? x ? ? ( ).

1? x , f1 ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ? , f2 ? x ? ? f ? ? f1 ? x ? ? ? ,?, f n ?1 ? x ? ? f ? ? f n ? x ?? ? ,则 f2004 ? ?2? ? 1 ? 3x
B.

1 A. ? 7

1 7

C. ?

3 5

D.3

4、ABCD— A1 B1C1 D1 是单位长方体,黑白二蚁都从点 A 出发,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段” 。白 蚁爬行的路线是 AA 1 ? A 1 D1 ? ?, 黑蚁爬行的路线是 AB ? BB 1 ? ?. 它们都遵循如下规则:所爬行的第 的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是( A.1 B. 2 ) C. 3 D.0

i ? 2 段所在直线与第 i 段所在直线必须是异面直线 (其中 i ? N ) .设黑白二蚁走完第 1990 段后, 各停止在正方体

,xn?2 ? xn?1 ? xn (n ? N*), 5、在数列 {xn}中,已知x1 ? x2 ? 1 则 x100 =
6、 y ? f ? x ? 定义域为 R,且对任意 x ? R 都有 f ? x ? 1? ?
f ? x? ?1 ,若 f ? 2? ? 1 ? 2 则 f(2009)= 1? f ? x?

7、已知 f(x)是 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若 f(1)=2,则 f(2011)= 8、 函数 f ( x) 在 R 上有定义, 且满足 f ( x) 是偶函数, 且 f ? 0? ? 2005 ,g ? x ? ? f ? x ?1? 是奇函数, 则 f ? 2005? 的值为 9、设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0 时,f (x) = -

1 x,则 f (8.6 ) = _______ 2

10、设 f ( x) 是定义在区间 (??,??) 上且以 2 为周期的函数,对 k ? Z ,用 I k 表示区间 (2k ? 1,2k ? 1), 已知当

x ? I 0 时, f ( x) ? x 2 . 求 f ( x) 在 I k 上的解析式.

3

参考答案:
题型一、抽象函数的对称轴 1、若函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? c 对一切实数都有 f (2+x) = f (2-x)则( )

A.f (2)<f (1)< f(4) B.f (1)<f (2)< f(4) C.f (2)<f (4)< f(1) D.f (4)<f (2)< f(1) 答案:A。 2、设函数 y= f (x)定义在实数集 R 上,则函数 y= f (x-1)与 y= f (1-x)的图象关于( )对称。 A.直线 y=0 B.直线 x=0 C.直线 y=1 D.直线 x=1 答案:D。由 x ? 1 ? 1 ? x ? x ? 1 题型二、抽象函数的对称中心 1、已知定义为 R 的函数 f ?x ? 满足 f ?? x ? ? ?f ?x ? 4? ,且函数 f ?x ? 在区间 ?2 , ? ?? 上单调递增.如果 x 1 ? 2 ? x 2 ,且 x 1 ? x 2 ? 4 ,则 f ?x 1 ? ? f ?x 2 ? 的值( ) A. 恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负 答案 A。分析:图象关于点 ?2,0? 对称. f ? x ? 在区间 ?2,??? 上单调递增,在区间 ?? ?,2? 上也单调递增.我们可以

f ? x 2 ? ? f ?4 ? x1 ? ,又由 f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? ,有 f (4 ? x1 ) ? f ?? ? x1 ? 4?? ? f ? x1 ? 4 ? 4? ? ? f ? x1 ? , ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ?4 ? x1 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? 0

把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位 . ? 2 ? x 2 ? 4 ? x1 ,且函数在 ?2,??? 上单调递增,所以

2、函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的函数,那么 y=-f(x+4)与 y=f(6-x)的图象之间(D ) A.关于直线 x=5 对称 B.关于直线 x=1 对称 C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称 答案:D。解:据复合函数的对称性知函数 y=-f(x+4)与 y=f(6-x)之间关于点( (6-4)/2,0)即(1,0) 中心对称,故选 D。 题型三、抽象函数的周期性 1、f(x)是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x=1 对称,证明 f(x)是周期函数。 y 0 也在函数 y ? f ?x ? 的 证明:任取函数 y ? f ?x ? 图象上一点 ?x 0 y 0 ? ,即 y 0 ? f ?x 0 ? 由 y ? f ?x ? 是偶函数得 ? x 0 , 图 象 上 , 由 因 为 函 数 y ? f ?x ? 的 图 象 关 于 x = 1 对 称 , 点 ?2 ? ?? x 0 ? , y 0 ? 也 在 函 数 y ? f ?x ? 的 图 象 上 , 即 y 0 ? f ?2 ? x 0 ? ,由此可得 y 0 ? f ?x 0 ? ? f ?2 ? x 0 ? ,所以函数 y ? f ?x ? 的周期为 2。 2、设 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则 f(x)是( ) A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 答案:C。

?

?

课后作业:姓名:

班级

座号

1、定义在 R 上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且 f (5-x) = f (5+x),则 f (x)一定是( ) A.是偶函数,也是周期函数 B.是偶函数,但不是周期函数 C.是奇函数,也是周期函数 D.是奇函数,但不是周期函数 答案:A.解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ,因此 f (x) 是以 10 为其一个周期的周期函数, ∴x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴,因此 f (x)还是一个偶函数。 2、已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则

5 f ( f ( )) 的值是( 2
A.0

) B.

1 2

C.1

D.

5 2

答案:A。解析:令 x ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 ? f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 ;令 x ? 0 ,则 f (0) ? 0 2 2 2 2 2 2 2 2

4

?1? ?1 ? f ? ? f ? ? 2? f ? x ? 1? f ? x ? f ? x? 2 2 ? ,所以 由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) 得 , 构 造 函 数 F ? x? ? ,由 ? ? ? ? ? 1 1 x ?1 x x ?2 2 2 ?5? f ? ??0 ?2? 1? x 3、已知 f ? x ? ? , f1 ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ? , f2 ? x ? ? f ? ? f1 ? x ? ? ? ,?, f n ?1 ? x ? ? f ? ? f n ? x ?? ? ,则 f2004 ? ?2? ? 1 ? 3x
( ). B.

1 A. ? 7

1 7

C. ?

3 5

D.3

1? x x ?1 ? x ?1 ? ,知 f1 ? x ? ? , f2 ? x ? ? f ? ? ? x , f3 ? x ? ? f ? x ? . 1 ? 3x 3x ? 1 ? 3x ? 1 ? 1 f ( x) 为迭代周期函数,故 f3n ? x ? ? f ? x ? , f2004 ? x ? ? f ? x ? , f 2004 ? ?2 ? ? f ? ?2 ? ? ? . 7 4、ABCD— A1 B1C1 D1 是单位长方体,黑白二蚁都从点 A 出发,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段” 。白 蚁爬行的路线是 AA 1 ? A 1 D1 ? ?, 黑蚁爬行的路线是 AB ? BB 1 ? ?. 它们都遵循如下规则:所爬行的第 i ? 2 段所在直线与第 i 段所在直线必须是异面直线 (其中 i ? N ) .设黑白二蚁走完第 1990 段后, 各停止在正方体
答案:A。分析:由 f ? x ? ? 的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是( A.1 ) B. 2 C. 3 D.0 答案:B.解:依条件列出白蚁的路线 AA 1 ? A 1 D1 ? D1C1 ? C1C ? CB ? BA ? AA1 ? ?, 立即可以发现 白蚁走完六段后又回到了 A 点 . 可验证知:黑白二蚁走完六段后必回到起点,可以判断每六段是一个周 期. 1990 ? 6 ? 331 ? 4 , 因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置, 不难计算出在走完四段后黑蚁在 D1 点,白蚁在 C 点,故所求距离是 2

,xn?2 ? xn?1 ? xn (n ? N*), 5、在数列 {xn}中,已知x1 ? x2 ? 1 则 x100 = 答案: ?1 。 f ? x? ?1 6、 y ? f ? x ? 定义域为 R,且对任意 x ? R 都有 f ? x ? 1? ? ,若 f ? 2? ? 1 ? 2 则 f(2009)=_ 1? f ? x?
答案: -1- 2 。 7、已知 f(x)是 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若 f(1)=2,则 f(2011)= 答案:2. 的值为 0? 和 x ? 0 对称,周期为 4 f ?2005? ? f ?1? ? ?f ?? 1? ? 0 。 答案:0.函数关于 ?? 1 , 9、设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0 时,f (x) = -

8、 函数 f ( x) 在 R 上有定义, 且满足 f ( x) 是偶函数, 且 f ? 0? ? 2005 ,g ? x ? ? f ? x ?1? 是奇函数, 则 f ? 2005?

1 x,则 f (8.6 ) = _______ 2

解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数∴x = 0 是 y = f(x)对称轴; 又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3 10、设 f ( x) 是定义在区间 (??,??) 上且以 2 为周期的函数,对 k ? Z ,用 I k 表示区间 (2k ? 1,2k ? 1), 已知当

x ? I 0 时, f ( x) ? x 2 . 求 f ( x) 在 I k 上的解析式. 解:设 x ? (2k ? 1,2k ? 1),? 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1 ? ?1 ? x ? 2k ? 1 ? x ? I 0 时,有 f ( x) ? x 2 ,?由 ? 1 ? x ? 2k ? 1得f ( x ? 2k ) ? ( x ? 2k ) 2 ? f ( x) 是以 2 为周期的函数,? f ( x ? 2k ) ? f ( x),? f ( x) ? ( x ? 2k ) 2 .

5


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