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圆的性质

时间:2017-10-04


圆的有关性质 一、选择题
1. (2016 兰州,7,4 分)如图,在⊙O 中,点 C 是 (A)40? (B)45? (C)50? (D)60? 的中点,∠A=50? ,则∠BOC=() 。

【答案】A 【解析】 在△OAB 中, OA=OB, 所以∠A=∠B=50? 。 根据垂径定理的推论, OC 平分弦 AB 所对的弧,所以 OC 垂直平分弦

AB,即∠BOC=90?? ∠B=40? ,所以答案选 A。 【考点】垂径定理及其推论 2. (2016 兰州,10,4 分)如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙ O, 四边形 ABCO 是 平行四边形, 则 ∠ ADC= () (A)45? (C) 60? (B) 50? (D) 75?

【答案】 :C 【解析】 :连接 OB,则∠OAB=∠OBA, ∠OCB=∠OBC ∵四边形 ABCO 是平行四边形,则∠OAB=∠OBC ∴∠ABC=∠OAB+∠OBC=∠AOC ∴∠ABC=∠AOC=120? ∴∠OAB=∠OCB=60? 连接 OD,则∠OAD=∠ODC,∠OCD=∠ODC

由四边形的内角和等于 360? 可知, ∠ADC=360? -∠OAB-∠ABC-∠OCB-∠OAD-∠OCD ∴∠ADC=60? 【考点】 :圆内接四边形 3. (2016 ·四 川 自 贡 ) 如图,⊙O 中,弦 AB 与 CD 交于点 M,∠A=45°,∠AMD=75°,则 ∠B 的度数是( )

A.15° B.25° C.30° D.75° 【考点】圆周角定理;三角形的外角性质. 【分析】由三角形外角定理求得∠C 的度数,再由圆周角定理可求∠B 的度数. 【解答】解:∵∠A=45°,∠AMD=75°, ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°, ∴∠B=∠C=30°, 故选 C. 【点评】本题主要考查了三角形的外角定理,圆周角定理,熟记圆周角定理是解题的关键 4. (2016· 3 分) AB 为⊙O 的直径, AB=4, 四川成都· 如图, 点 C 在⊙O 上, 若∠OCA=50°, 则 的长为( )

A.

π B.

π C.π

D.

π

【考点】弧长的计算;圆周角定理. 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A 的度数,再利用圆周角定理得出∠BOC 的度 数,再利用弧长公式求出答案. 【解答】解:∵∠OCA=50°,OA=OC, ∴∠A=50°,

∴∠BOC=100°, ∵AB=4, ∴BO=2, ∴ 的长为: = π.

故选:B. 5. (2016·四川达州·3 分)如图,半径为 3 的⊙A 经过原点 O 和点 C(0,2) ,B 是 y 轴 左侧⊙A 优弧上一点,则 tan∠OBC 为( )

A. B.2

C.

D.

【考点】圆周角定理;锐角三角函数的定义. 【分析】作直径 CD,根据勾股定理求出 OD,根据正切的定义求出 tan∠CDO,根据圆周角 定理得到∠OBC=∠CDO,等量代换即可. 【解答】解:作直径 CD, 在 Rt△OCD 中,CD=6,OC=2, 则 OD= tan∠CDO= = , =4 ,

由圆周角定理得,∠OBC=∠CDO, 则 tan∠OBC= 故选:C. ,

6. (2016· 3 分) AB 是圆 O 的直径, CD=4 四川广安· 如图, 弦 CD⊥AB, ∠BCD=30°, 则 S 阴影=( )



A.2π

B.π

C.π

D.π

【考点】圆周角定理;垂径定理;扇形面积的计算. 【分析】根据垂径定理求得 CE=ED=2 ,然后由圆周角定理知∠DOE=60°,然后通过解直

角三角形求得线段 OD、OE 的长度,最后将相关线段的长度代入 S 阴影=S 扇形 ODB﹣ S△DOE+S△BEC. 【解答】解:如图,假设线段 CD、AB 交于点 E, ∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB, ∴CE=ED=2 ,

又∵∠BCD=30°, ∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°, ∴OE=DE?cot60°=2 × =2,OD=2OE=4, ﹣OE×DE+BE?CE= ﹣2 +2 = .

∴S 阴影=S 扇形 ODB﹣S△DOE+S△BEC= 故选 B.

C 、D 是以线段 AB 为直径的⊙ O 上两点, 7. (2016· 四川乐山· 3 分) 如图 4, 若 CA ? CD ,
且 ?ACD ? 40? , 则 ?CAB ?

C
( B ) 20
?

( A) 10

?

A
(C ) 30
答案:B
?

( D) 40

?

O D 图4

B

解析:∠CAD=∠B=∠D=

1 (180°-40°)=70°, 2

又 AB 为直径,所以,∠CAB=90°-70°=20°,

8. (2016·四川凉山州·4 分)已知,一元二次方程 x2﹣8x+15=0 的两根分别是⊙O1 和⊙ O2 的半径,当⊙O1 和⊙O2 相切时,O1O2 的长度是( A.2 B.8 C.2 或 8 D.2<O2O2<8 )

【考点】圆与圆的位置关系;根与系数的关系. 【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2 的半径,再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解. 【解答】解:∵⊙O1、⊙O2 的半径分别是方程 x2﹣8x+15=0 的两根, 解得⊙O1、⊙O2 的半径分别是 3 和 5. ∴①当两圆外切时,圆心距 O1O2=3+5=8; ②当两圆内切时,圆心距 O1O2=5﹣2=2. 故选 C.

9.(2016?浙江省舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表
示折痕,则 的度数是( )

A.120° B.135° C.150° D.165° 【考点】圆心角、弧、弦的关系;翻折变换(折叠问题) . 【分析】 直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°, 再利用弧度与圆 心角的关系得出答案. 【解答】解:如图所示:连接 BO,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E, 由题意可得:EO=BO,AB∥DC, 可得∠EBO=30°, 故∠BOD=30°, 则∠BOC=150°, 故 的度数是 150°.

故选:C.

10. A、 B、 C 是⊙O 上的三点, ∠B=75°, (2016· 广东茂名) 如图, 则∠AOC 的度数是 (



A.150° B.140° C.130° D.120° 【考点】圆周角定理. 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论. 【解答】解:∵A、B、C 是⊙O 上的三点,∠B=75°, ∴∠AOC=2∠B=150°. 故选 A. 【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键. 11. (2016 年浙江省丽水市)如图,已知⊙O 是等腰 Rt△ ABC 的外接圆,点 D 是 BD 交 AC 于点 E,若 BC=4,AD=,则 AE 的长是( ) 上一点,

A.3

B.2

C.1

D.1.2

【考点】三角形的外接圆与外心. 【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质,确定 AB 为圆的直径,利用相似三角形的判定 及性质,确定△ ADE 和△ BCE 边长之间的关系,利用相似比求出线段 AE 的长度即可. 【解答】解:∵等腰 Rt△ ABC,BC=4, ∴AB 为⊙O 的直径,AC=4,AB=4 ∴∠D=90°, ,

在 Rt△ ABD 中,AD=,AB=4 ∴BD= ,



∵∠D=∠C,∠DAC=∠CBE, ∴△ADE∽△ BCE, ∵AD:BC=:4=1:5, ∴相似比为 1:5, 设 AE=x, ∴BE=5x, ∴DE= ﹣5x,

∴CE=28﹣25x, ∵AC=4, ∴x+28﹣25x=4, 解得:x=1. 故选:C. (2016·山东烟台)如图,○O 的半径为 1,AD,BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径,点 12. P 从点 O 出发(P 点与 O 点不重合) ,沿 O→C→D 的路线运动,设 AP=x,sin∠APB=y,那 么 y 与 x 之间的关系图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】动点问题的函数图象. 【分析】根据题意确定出 y 与 x 的关系式,即可确定出图象.

【解答】解:根据题意得:sin∠APB= ∵OA=1,AP=x,sin∠APB=y, ∴xy=1,即 y=(1<x<2) ,



图象为:



故选 B. 13. F是 (2016 山东省聊城市, 3 分) 如图, 四边形 ABCD 内接于⊙O, 上一点, 且 = ,

连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E,连接 AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E 的 度数为( )

A.45° B.50° C.55° D.60° 【考点】圆内接四边形的性质;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理. 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数,再由圆周角定理得出∠DCE 的度 数,根据三角形外角的性质即可得出结论. 【解答】解:∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∠ABC=105°, ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°. ∵ = ,∠BAC=25°,

∴∠DCE=∠BAC=25°, ∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°. 故选 B. 【点评】 本题考查的是圆内接四边形的性质, 熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关 键. 14. (2016.山东省泰安市,3 分)如图,点 A、B、C 是圆 O 上的三点,且四边形 ABCO 是 平行四边形,OF⊥OC 交圆 O 于点 F,则∠BAF 等于( )

A.12.5°

B.15°

C.20°

D.22.5°

【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△ AOB 为等边三角形,根据等腰三角 形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°,根据圆周角定理计算即可. 【解答】解:连接 OB, ∵四边形 ABCO 是平行四边形, ∴OC=AB,又 OA=OB=OC, ∴OA=OB=AB, ∴△AOB 为等边三角形, ∵OF⊥OC,OC∥AB, ∴OF⊥AB, ∴∠BOF=∠AOF=30°, 由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°, 故选:B.

【点评】 本题考查的是圆周角定理、 平行四边形的性质定理、 等边三角形的性质的综合运用, 掌握同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半、 等腰三角形的三线 合一是解题的关键. 15. (2016.山东省泰安市,3 分)如图,△ ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,∠B=30°, CE 平分∠ACB 交⊙O 于 E,交 AB 于点 D,连接 AE,则 S△ ADE:S△ CDB 的值等于( )

A.1:

B.1:

C.1:2

D.2:3

【分析】由 AB 是⊙O 的直径,得到∠ACB=90°,根据已知条件得到

,根据三角形

的角平分线定理得到

=

,求出 AD=

AB,BD=

AB,过 C 作 CE⊥AB

于 E,连接 OE,由 CE 平分∠ACB 交⊙O 于 E,得到 OE⊥AB,求出 OE=AB,CE= 根据三角形的面积公式即可得到结论. 【解答】解:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠B=30°, ∴ ,

AB,

∵CE 平分∠ACB 交⊙O 于 E, ∴ = ,

∴AD=

AB,BD=

AB,

过 C 作 CE⊥AB 于 E,连接 OE, ∵CE 平分∠ACB 交⊙O 于 E, ∴ = ,

∴OE⊥AB, ∴OE=AB,CE= AB,

∴S△ ADE:S△ CDB=(ADOE) : (BDCE)=( =2:3. 故选 D.

) : (



【点评】本题考查了圆周角定理,三角形的角平分线定理,三角形的面积的计算,直角三角 形的性质,正确作出辅助线是解题的关键.

二、填空题
1.(2016·黑龙江大庆)如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=10 且与 AD 相切,则图中阴影部分面积为 75 ﹣ . ,一圆弧过点 B 和点 C,

【考点】扇形面积的计算;矩形的性质;切线的性质. 【分析】设圆的半径为 x,根据勾股定理求出 x,根据扇形的面积公式、阴影部分面积为: 矩形 ABCD 的面积﹣(扇形 BOCE 的面积﹣△BOC 的面积)进行计算即可. 【解答】解:设圆弧的圆心为 O,与 AD 切于 E, 连接 OE 交 BC 于 F,连接 OB、OC, 设圆的半径为 x,则 OF=x﹣5, 由勾股定理得,OB2=OF2+BF2, 即 x =(x﹣5) +(5 解得,x=5, 则∠BOF=60°,∠BOC=120°, 则阴影部分面积为:矩形 ABCD 的面积﹣(扇形 BOCE 的面积﹣△BOC 的面积) =10 =75 ×5﹣ ﹣ , ﹣ . + ×10 ×5
2 2

),

2

故答案为:75

【点评】本题考查的是扇形面积的计算,掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式 S= 是解题的关键.

2.(2016·湖北鄂州)如图,AB=6,O 是 AB 的中点,直线 l 经过点 O,∠1=120°,P 是 直线 l 上一点。当△APB 为直角三角形时,AP= .

【考点】外接圆,切线,直角三角形的判定,勾股定理,三角函数,分类讨论思想. 【分析】确定 P 点在直线 l 上的位置是解决本题的关键。要使△APB 为直角三角形,我们就 联想到以 AB 为直径的外接圆,但 AB 也有可能为直角边,所以要分类讨论。我们将满足 条件的 P 逐一画在图上。如图,P1,P2 在以 O 为圆心的外接圆上,P1,P2 在⊙O 的切线 上,再根据题目的已知条件逐一解答即可。

【解答】解:分类讨论如下:

(1)在 Rt△A P1B 中,∵∠1=120°,O P1=OB, ∴∠O B P1 =∠O P1B=30°, ∴AP1 = 1 AB= 1 ×6=3; 2 2 (2)在 Rt△A P2B 中,∵∠1=120°,O P2=OB, ∴∠P2 B O =∠O P2B=60°, ∴AP2 = 1 AB=cos∠O B P2×6= 2
3 2

×6=3 3 ;

(3)P3B 为以 B 为切点的⊙O 的切线, ∵∠1=120°,O P2=OB, ∴∠P2 B O =∠O P2B=60°, ∴∠P3O B=60°, 在 Rt△O P3B 中,∴BP3 =tan∠P3O B×3 = 3 ×3=3 3 ;

在 Rt△A P3B 中,AP3 =

AB

2

? B P3 =

2

6

2

? (3

3)

2

=3 7 ;

(4)P4B 为以 A 为切点的⊙O 的切线, ∵∠1=120°,O P1=OA, ∴∠P1 A O =∠O P1A=60°, ∴∠P4O A=60°, 在 Rt△O P4A 中,∴AP4 =tan∠P4O A×3 = 3 ×3=3 3 . 综上,当△APB 为直角三角形时,AP=3,或 3 3 ,或 3 7 . 故答案为:3 或 3 3 或 3 7 . 【点评】本题考查了外接圆,切线,直角三角形的判定,勾股定理,三角函数,分类讨论思 想.注意分类讨论思想的运用;本题难度虽然不大,但容易遗漏. 四种情况中,有两种情况 的结果相同。 3. (2016·湖北黄冈)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠AOB=70°,AB=AC,则∠ABC= _______________.

(第 11 题) 【考点】圆心角、圆周角、等腰三角形的性质及判定. 【分析】根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半,可得出∠C= 1 ∠AOB=35°,再根据 2 AB=AC,可得出∠ABC=∠C,从而得出答案. 【解答】解:∵⊙O 是△ABC 的外接圆, ∴∠C= 1 ; 2 ∠AOB=35°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半) 又∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C =35°. 故答案为:35°. 4. (2016·湖北咸宁)如图,点 E 是△ABC 的内心,AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于 点 D,连接 BD、BE、CE,若∠CBD=32°,则∠BEC 的度数为_____________.

【考点】三角形的内心,三角形的外接圆,圆周角定理,三角形内角和定理,三角形外角性 质. 【分析】根据 E 是△ABC 的内心,可知 AE 平分∠BAC, BE 平分∠ABD,CE 平分∠ACB, 再根据圆周角定理, 得出∠CAD=∠CBD=32°, 然后根据三角形内角和定理, 得出∠ABC+∠ACB

的度数,再根据三角形外角性质,得出∠BEC 的度数. 【解答】解:∵E 是△ABC 的内心, ∴AE 平分∠BAC 同理 BE 平分∠ABD,CE 平分∠ACB, ∵∠CBD=32°, ∴∠CAD=∠CBD=32°, ∴∠BAC=2∠CBD=64°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-64°=116°, ∴∠ABE+∠ACE= 1 2 ×116°=58°, ∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE=64°+58°=122°. 故答案为:122°. 【点评】本题考查了三角形的内心,三角形的外接圆,圆周角定理,三角形内角和定理,三 角形外角性质.熟知三角形的内心(三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内 心)和根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键 . 内心是三角形角平分线交点的原 理:经圆外一点作圆的两条切线,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理:角平分 线上点到角两边距离相等) 。内心定理:三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做 三角形的内心. 5. (2016· 5 分) AH⊥BC 于点 H, AH=18, △ ABC 内接于⊙O, 四川成都· 如图, 若 AC=24, ⊙O 的半径 OC=13,则 AB= .

【考点】三角形的外接圆与外心. 【分析】首先作直径 AE,连接 CE,易证得△ ABH∽△AEC,然后由相似三角形的对应边 成比例,即可求得⊙O 半径. 【解答】解:作直径 AE,连接 CE, ∴∠ACE=90°,

∵AH⊥BC, ∴∠AHB=90°, ∴∠ACE=∠ADB, ∵∠B=∠E, ∴△ABH∽△AEC, ∴ = , ,

∴AB=

∵AC=24,AH=18,AE=2OC=26, ∴AB= 故答案为: = . ,

6. (2016 吉林长春,13,3 分)如图,在⊙O 中,AB 是弦,C 是 ∠OCA=40°,则∠BOC 的大小为 30 度.

上一点.若∠OAB=25°,

【考点】圆周角定理. 【分析】由∠BAO=25°,利用等腰三角形的性质,可求得∠AOB 的度数,又由∠OCA=40°, 可求得∠CAO 的度数,继而求得∠AOC 的度数,则可求得答案. 【解答】解:∵∠BAO=25°,OA=OB, ∴∠B=∠BAO=25°, ∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°, ∵∠ACO=40°,OA=OC,

∴∠C=∠CAO=40°, ∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°, ∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°. 故答案为 30°. 【点评】 本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质. 注意利用等腰三角形的性质求解是 关键. 7. (2016 年浙江省台州市)如图,△ ABC 的外接圆 O 的半径为 2,∠C=40°,则 π . 的长是

【考点】三角形的外接圆与外心;弧长的计算. 【分析】由圆周角定理求出∠AOB 的度数,再根据弧长公式:l= 度数为 n,圆的半径为 R)即可求解. 【解答】解:∵∠C=40°, ∴∠AOB=80°. ∴ 的长是 = . (弧长为 l,圆心角

8. (2016·四川巴中)如图,∠A 是⊙O 的圆周角,∠OBC=55°,则∠A= 35° .

【考点】圆周角定理. 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BOC 的度数,根据圆周角定理 计算即可. 【解答】解:∵OB=OC,∠OBC=55°, ∴∠OCB=55°, ∴∠BOC=180°﹣55°﹣55°=70°, 由圆周角定理得,∠A=∠BOC=35°,

故答案为:35°. 9. AB 是⊙O 的直径, C, D 是⊙O 上的两点, (2016.山东省青岛市,3 分) 如图, 若∠BCD=28°, 则∠ABD= 62 °.

【考点】圆周角定理. 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°,求出∠BCD,根据圆周角定理解答 即可. 【解答】解:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠BCD=28°, ∴∠ACD=62°, 由圆周角定理得,∠ABD=∠ACD=62°, 故答案为:62. 10.(2016·江苏连云港)如图,⊙P 的半径为 5,A、B 是圆上任意两点,且 AB=6,以 AB 为边作正方形 ABCD(点 D、P 在直线 AB 两侧).若 AB 边绕点 P 旋转一周,则 CD 边扫过的面积为 9π .

【分析】连接 PA、PD,过点 P 作 PE 垂直 AB 于点 E,延长 AE 交 CD 于点 F,根据垂径定 理可得出 AE=BE=AB, 利用勾股定理即可求出 PE 的长度, 再根据平行线的性质结合正方形 的性质即可得出 EF=BC=AB,DF=AE,再通过勾股定理即可求出线段 PD 的长度,根据边 与边的关系可找出 PF 的长度, 分析 AB 旋转的过程可知 CD 边扫过的区域为以 PF 为内圆半 径、以 PD 为外圆半径的圆环,根据圆环的面积公式即可得出结论.

【解答】解:连接 PA、PD,过点 P 作 PE 垂直 AB 于点 E,延长 AE 交 CD 于点 F,如图所 示.

∵AB 是⊙P 上一弦,且 PE⊥AB, ∴AE=BE=AB=3. 在 Rt△ AEP 中,AE=3,PA=5,∠AEP=90°, ∴PE= =4.

∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB∥CD,AB=BC=6, 又∵PE⊥AB, ∴PF⊥CD, ∴EF=BC=6,DF=AE=3,PF=PE+EF=4+6=10. 在 Rt△ PFD 中,PF=10,DF=3,∠PFE=90°, ∴PD= = .

∵若 AB 边绕点 P 旋转一周,则 CD 边扫过的图形为以 PF 为内圆半径、以 PD 为外圆半径 的圆环. ∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π. 故答案为:9π. 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式,解题的关键 是分析出 CD 边扫过的区域的形状.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型 题目时,结合 AB 边的旋转,找出 CD 边旋转过程中扫过区域的形状是关键.

11. (2016·江苏南京)如图,扇形 OAB 的圆心角为 122°,C 是弧 AB 上一点,则 _____°.

答案:119 考点:圆内接四边形内角和定理,圆周角定理。 解析:由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半,所以,与∠AOB 所对同 弧的圆周角度数为
1 ∠AOB=61°,由圆内接四边形对角互补,得: 2

∠ACB=180°-61°=119°。
江苏省宿迁)如图,在△ABC 中,已知∠ACB=130° ,∠BAC=20° ,BC=2,以 12.(2016· 点 C 为圆心,CB 为半径的圆交 AB 于点 D,则 BD 的长为 2 .

【分析】如图,作 CE⊥AB 于 E,在 RT△BCE 中利用 30 度性质即可求出 BE,再根据垂径 定理可以求出 BD. 【解答】解:如图,作 CE⊥AB 于 E. =30° ∵∠B=180° ﹣∠A﹣∠ACB=180° ﹣20° ﹣130° , 在 RT△BCE 中,∵∠CEB=90° ,∠B=30° ,BC=2, ∴CE=BC=1,BE= ∵CE⊥BD, ∴DE=EB, ∴BD=2EB=2 故答案为 2 . . CE= ,

【点评】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识,解题的关键是根据垂径定理添加辅 助线,记住直角三角形 30 度角性质,属于基础题,中考常考题型.

13.(2016?江苏省扬州如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,直径 AD=4,∠ABC=∠DAC,则
AC 长为 2 .

【考点】三角形的外接圆与外心;圆周角定理. 【分析】连接 CD,由∠ABC=∠DAC 可得 ,得出则 AC=CD,又∠ACD=90° ,由等

腰直角三角形的性质和勾股定理可求得 AC 的长. 【解答】解:连接 CD,如图所示: ∵∠B=∠DAC, ∴ ,

∴AC=CD, ∵AD 为直径, ∴∠ACD=90° , 在 Rt△ACD 中,AD=6, ∴AC=CD= 故答案为:2 AD= . × 4=2 ,

三、解答题
1.(2016·黑龙江大庆)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以 BC 为直径的⊙O 交斜边 AB 于点 M,若 H 是 AC 的中点,连接 MH. (1)求证:MH 为⊙O 的切线. (2)若 MH= ,tan∠ABC= ,求⊙O 的半径. (3)在(2)的条件下分别过点 A、B 作⊙O 的切线,两切线交于点 D,AD 与⊙O 相切于 N 点,过 N 点作 NQ⊥BC,垂足为 E,且交⊙O 于 Q 点,求线段 NQ 的长度.

【考点】圆的综合题. 【分析】 (1) 连接 OH、 OM, 易证 OH 是△ABC 的中位线, 利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH, 所以∠HCO=∠HMO=90°,从而可知 MH 是⊙O 的切线; (2)由切线长定理可知:MH=HC,再由点 M 是 AC 的中点可知 AC=3,由 tan∠ABC= ,所以 BC=4,从而可知⊙O 的半径为 2; (3)连接 CN,AO,CN 与 AO 相交于 I,由 AC、AN 是⊙O 的切线可知 AO⊥CN,利用等面积可 求出可求得 CI 的长度,设 CE 为 x,然后利用勾股定理可求得 CE 的长度,利用垂径定理即 可求得 NQ. 【解答】解:(1)连接 OH、OM, ∵H 是 AC 的中点,O 是 BC 的中点, ∴OH 是△ABC 的中位线, ∴OH∥AB, ∴∠COH=∠ABC,∠MOH=∠OMB, 又∵OB=OM, ∴∠OMB=∠MBO, ∴∠COH=∠MOH,

在△COH 与△MOH 中, , ∴△COH≌△MOH(SAS), ∴∠HCO=∠HMO=90°, ∴MH 是⊙O 的切线;

(2)∵MH、AC 是⊙O 的切线, ∴HC=MH= , ∴AC=2HC=3, ∵tan∠ABC= , ∴ = ,

∴BC=4, ∴⊙O 的半径为 2;

(3)连接 OA、CN、ON,OA 与 CN 相交于点 I, ∵AC 与 AN 都是⊙O 的切线, ∴AC=AN,AO 平分∠CAD, ∴AO⊥CN, ∵AC=3,OC=2, ∴由勾股定理可求得:AO= ∵ AC?OC= AO?CI, ∴CI= , , ,

∴由垂径定理可求得:CN= 设 OE=x,

由勾股定理可得:CN ﹣CE =ON ﹣OE , ∴ ﹣(2+x)2=4﹣x2,

2

2

2

2

∴x= ∴CE=

, , , .

由勾股定理可求得:EN=

∴由垂径定理可知:NQ=2EN=

【点评】本题考查圆的综合问题,涉及垂径定理,勾股定理,全等三角形的判定与性质,切 线的判等知识内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.

2. (2016·湖北鄂州)(本题满分 10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90?,AO 是△ABC 的角平分线。以 O 为圆心,OC 为半径作⊙O。 (1) (3 分)求证:AB 是⊙O 的切线。 (2) (3 分)已知 AO 交⊙O 于点 E,延长 AO 交⊙O 于 点 D, tanD=

AE 1 ,求 的值。 2 AC

(3) (4 分)在(2)的条件下,设⊙O 的半径为 3,求 AB 的长。 第 2 题图

【考点】切线,角平分线,相似三角形的判定与性质,勾股定理,二元一次方程组. 【分析】(1)过 O 作 OF⊥AB 于 F,由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证;

(2)连接 CE,证明△ACE∽△ADC 可得 AE/AC=CE/CD=tanD=1/2; (3)先由勾股定理求得 AE 的长,再证明△B0F∽△BAC,得 BF/BC=BO/BA=0F/AC, 设 BO=y ,BF=z,列二元一次方程组即可解决问题. 【解答】⑴证明:作 OF⊥AB 于 F (1 分)

∵AO 是∠BAC 的角平分线,∠ACB=90? ∴OC=OF ∴AB 是⊙O 的切线 ⑵连接 CE (2 分) (3 分) (1 分)

∵AO 是∠BAC 的角平分线, ∴∠CAE=∠CAD ∵∠ACE 所对的弧与∠CDE 所对的弧是同弧 ∴∠ACE=∠CDE ∴△ACE∽△ADC ∴
AE AC CE = CD =tanD= 1 2

(3 分)

⑶先在△ACO 中,设 AE=x,

由勾股定理得 (x+3)?=(2x) ?+3? ,解得 x=2, ∵∠BFO=90°=∠ACO 易证 Rt△B0F∽Rt△BAC 得 BF/BC=BO/BA=0F/AC, 设 BO=y BF=z 4z=9+3y 4y=12+3z 解得 z= 27 7
100 ∴AB= 27 7 +4= 7

(1 分)

(2 分)

y/4+z=z/3+y=3/4 即

y= 75 7

(4 分) (5 分)

【点评】本题主要考查了切线,角平分线,相似三角形的判定与性质,勾股定理,二元一次 方程组. 作 OF⊥AB 于 F 是解题的关键. 3. (2016·湖北黄冈)(满分 8 分) 如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是 BA 延长线上一

点,PC 是⊙O 的切线,切点为 C. 过点 B 作 BD⊥PC 交 PC 的延长线于点 D,连接 BC. 求证: (1)∠PBC =∠CBD; (2)BC =AB·BD
2

D C

P

A

O (第 3 题)

B

【考点】切线的性质,相似三角形的判定和性质. 【分析】 (1) 连接 OC, 运用切线的性质, 可得出∠OCD=90°, 从而证明 OC∥BD, 得到∠CBD= ∠OCB,再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC,等量代换得到∠PBC =∠CBD.

(2)连接 AC. 要得到 BC =AB·BD,需证明△ABC∽△CBD,故从证明∠ACB=∠BDC, ∠PBC=∠CBD 入手. 【解答】证明: (1)连接 OC, ∵PC 是⊙O 的切线, ∴∠OCD=90°. ……………………………………………1 分 又∵BD⊥PC ∴∠BDP=90° ∴OC∥BD. ∴∠CBD=∠OCB. ∴OB=OC . ∴∠OCB=∠PBC. ∴∠PBC=∠CBD. ………………………………………..4 分 D C

2

P

A

O

B

(2)连接 AC. ∵AB 是直径, ∴∠BDP=90°. 又∵∠BDC=90°, ∴∠ACB=∠BDC. ∵∠PBC=∠CBD, ∴△ABC∽△CBD. ……………………………………6 分
BC AB ∴ BC = BD .

∴BC =AB·BD. ………………………….……………8 分

2

D C

P

A

O

B

4.(2016·湖北十堰)如图 1,AB 为半圆 O 的直径,D 为 BA 的延长线上一点,DC 为半圆 O 的切线,切点为 C. (1)求证:∠ACD=∠B; (2)如图 2,∠BDC 的平分线分别交 AC,BC 于点 E,F; ①求 tan∠CFE 的值; ②若 AC=3,BC=4,求 CE 的长.

【考点】切线的性质. 【分析】(1)利用等角的余角相等即可证明. (2)①只要证明∠CEF=∠CFE 即可. ②由△DCA∽△DBC,得 = = = ,设 DC=3k,DB=4k,由 CD2=DA?DB,得 9k2=(4k﹣5) = ,设 EC=CF=x,列出方程即可解决问

?4k,由此求出 DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得 题. 【解答】(1)证明:如图 1 中,连接 OC. ∵OA=OC, ∴∠1=∠2, ∵CD 是⊙O 切线,

∴OC⊥CD, ∴∠DCO=90°, ∴∠3+∠2=90°, ∵AB 是直径, ∴∠1+∠B=90°, ∴∠3=∠B. (2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB, ∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B, ∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°, ∴∠CEF=∠CFE=45°, ∴tan∠CFE=tan45°=1. ②在 RT△ABC 中,∵AC=3,BC=4, ∴AB= =5,

∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B, ∴△DCA∽△DBC, ∴
2

=

=

= ,设 DC=3k,DB=4k,

∵CD =DA?DB, ∴9k =(4k﹣5)?4k, ∴k= ∴CD= , ,DB= ,
2

∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B, ∴△DCE∽△DBF, ∴ = ,设 EC=CF=x,



=



∴x=



∴CE=



【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是 正确寻找相似三角形,利用相似三角形的性质解决问题,学会用方程的思想思考问题,属于 中考常考题型. 5. (2016·四川凉山州·8 分)阅读下列材料并回答问题: 材料 1:如果一个三角形的三边长分别为 a,b,c,记 . ① ,那么三角形的面积为

古希腊几何学家海伦(Heron,约公元 50 年) ,在数学史上以解决几何测量问题而闻名.他 在《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称海伦公式. 我国南宋数学家秦九韶 (约 1202﹣﹣约 1261) , 曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公 式: 下面我们对公式②进行变形: . ②

=

=

=

=

=



这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式, 所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式.

问题:如图,在△ABC 中,AB=13,BC=12,AC=7,⊙O 内切于△ABC,切点分别是 D、E、 F. (1)求△ABC 的面积; (2)求⊙O 的半径.

【考点】三角形的内切圆与内心. 【分析】 (1)由已知△ABC 的三边 a=3,b=12,c=7,可知这是一个一般的三角形,故选用 海伦﹣秦九韶公式求解即可; (2)由三角形的面积=lr,计算即可. 【解答】解: (1)∵AB=13,BC=12,AC=7, ∴p= ∴ =16, = =24 ;

(2)∵△ABC 的周长 l=AB+BC+AC=32, ∴S=lr=24 ∴r= = , .

6. (2016·四川凉山州·8 分)如图,已知四边形 ABCD 内接于⊙O,A 是 ⊥AC 于 A,与⊙O 及 CB 的延长线交于点 F、E,且 (1)求证:△ADC∽△EBA; (2)如果 AB=8,CD=5,求 tan∠CAD 的值. .

的中点,AE

【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理. 【分析】 (1)欲证△ADC∽△EBA,只要证明两个角对应相等就可以.可以转化为证明且 就可以; (2)A 是 的中点,的中点,则 AC=AB=8,根据△CAD∽△ABE 得到∠CAD=∠AEC,

求得 AE,根据正切三角函数的定义就可以求出结论. 【解答】 (1)证明:∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠CDA=∠ABE. ∵ ,

∴∠DCA=∠BAE. ∴△ADC∽△EBA;

(2)解:∵A 是 ∴ ∴AB=AC=8, ∵△ADC∽△EBA, ∴∠CAD=∠AEC, 即 ∴AE= , ,

的中点,



∴tan∠CAD=tan∠AEC=

=

=.

7.(2016·广东广州)如图 10 ,点 C 为△ABD 外接圆上的一动点(点 C 不在 点 B,D 重合) ,∠ACB=∠ABD=45°. (1)求证:BD 是该外接圆的直径;

上,且不与

(2)连结 CD,求证:

AC=BC+CD; , 三者

(3)若△ABC 关于直线 AB 的对称图形为△ABM,连接 DM,试探究 之间满足的等量关系,并证明你的结论.

【难易】 较难,综合性大 【考点】直径所对的圆周角、外接圆、旋转 【解析】通过旋转处理不在一起的三边关系、及其平方关系 【参考答案】 (1)∵弧 AB=弧 AB, ∴∠ADB=∠ACB 又∵∠ACB=∠ABD=45° ∴∠BAD=90° ∴∠ABD=∠ADB=45°

∴△ABD 为等腰直角三角形

∴BD 是该外接圆的直径 (2)如图所示作 CA⊥AE,延长 CB 交 AE 于点 E ∵∠ACB=45°,CA⊥AE ∴△ACE 为等腰直角三角形
2 2

∴AC=AE
2 2

由勾股定理可知 CE =AC +AE =2AC 由(1)可知△ ABD 为等腰直角三角形 ∴AB=AD ∠BAD=90°

∴ CE= 2AC

又∵∠EAC=90° ∴∠EAB=∠DAC

∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC ∴在△ABE 和△ADC 中

?AB=AD ? ?∠EAB=∠DAC ?AE=AC ?
∴△ ABE≌△ADC(SAS)

∴BE=DC ∴CE=BE+BC=DC+BC= 2AC

(3)DM2=BM2+2MA2 延长 MB 交圆于点 E,连结 AE、DE ∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45° ∴在△MAE 中有 MA=AE,∠MAE=90° ∴ MA 2 ? AE 2 ? 2 MA 2 ? ME 2 又∵AC=MA=AE ∴ 又∵ ∴ 即 - = = = + = - +

∴DE=BC=MB ∵BD 为直径 ∴∠BED=90° 在 RT△MED 中,有 ME ? DE ? MD
2 2 2

∴ 2 MA ? MB ? MD
2 2

2

8. (2016 年浙江省温州市)如图,在△ABC 中,∠C=90°,D 是 BC 边上一点,以 DB 为直 径的⊙O 经过 AB 的中点 E,交 AD 的延长线于点 F,连结 EF. (1)求证:∠1=∠F. (2)若 sinB= ,EF=2 ,求 CD 的长.

【考点】圆周角定理;解直角三角形. 【分析】 (1)连接 DE,由 BD 是⊙O 的直径,得到∠DEB=90°,由于 E 是 AB 的中点,得 到 DA=DB,根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B 等量代换即可得到结论; (2)根据等腰三角形的判定定理得到 AE=EF=2 根据勾股定理得到 BC= 即可得到结论. 【解答】解: (1)证明:连接 DE, ∵BD 是⊙O 的直径, ∴∠DEB=90°, ∵E 是 AB 的中点, ∴DA=DB, ∴∠1=∠B, ∵∠B=∠F, ∴∠1=∠F; ,推出 AB=2AE=4 ,在 Rt△ABC 中,

=8,设 CD=x,则 AD=BD=8﹣x,根据勾股定理列方程

(2)∵∠1=∠F, ∴AE=EF=2 ∴AB=2AE=4 , ,

在 Rt△ABC 中,AC=AB?sinB=4, ∴BC= =8,

设 CD=x,则 AD=BD=8﹣x,

∵AC2+CD2=AD2, 即 42+x2=(8﹣x)2, ∴x=3,即 CD=3.


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