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2014高考理科立体几何大题练习


1.如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的点,且 DE / / BC , 将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1DE 的位置,使 A1 D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1 DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求 BE 与平面 A1 BC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当 D

点在何处时, A1 B 的长度最小,并求出最小值. A
1

A

D E

C D B E B 图2 C

图1

2.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC , E 为棱 PD 的中 点. (Ⅰ)求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值.

1

3.如图,在菱形 ABCD 中,?DAB ? 60? , E 是 AB 的中点, MA ⊥平面 ABCD ,且在矩形 ADNM 中,

AD ? 2 , AM ?

3 7 . 7
M

N

(Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)求证: AN // 平面 MEC ; (Ⅲ)求二面角 M ? EC ? D 的大小.

D A B

C

E

4. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ? 2, E 是 BC 中点.
A1 C1

(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ;
B1

(II)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长; (Ⅲ)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.
B A E C

2

5.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2, BC ? 3 ,?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、 AC 中点. (Ⅰ)求证:DE‖平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小.

P

A D B E C

6.. 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形, SD⊥平面 ABCD, SD=AD=a, 点 E 是 SD 上的点, 且 DE=λa(0<λ≤1). (1)求证:对任意的 λ∈(0,1],都有 AC⊥BE; (2)若二面角 C-AE-D 的大小为 60°,求 λ 的值.

3

7.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,PD⊥平面 ABCD,AD=1, AB= 3,BC=4. (1)求证:BD⊥PC; (2)求直线 AB 与平面 PDC 所成的角的大小; → → (3)设点 E 在棱 PC 上,PE=λPC,若 DE∥平面 PAB,求 λ 的值.

8.如图,在四棱锥 S-ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面 SAD⊥平面 ABCD,E 是线段 AD 上一点,AE=ED= 3,SE⊥AD. (1)证明:平面 SBE⊥平面 SEC; (2)若 SE=1,求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值.

4

9.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5,BC=4,点 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中 点 O. (1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值.

10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB,M,N 分 别是线段 PB,AC 上的动点,且不与端点重合,PM=AN. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)当 MN 的长最小时,求二面角 A-MN-B 的余弦值.

5

11.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90° ,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)求二面角 C1-AD-C 的余弦值; (3)试问线段 A1B1 上是否存在点 E,使 AE 与 DC1 成 60°角?若存在,确定 E 点位置;若不存在,说明理 由.

12. 【成都石室中学 2014 届高三上期“一诊”模拟考试(二) (理) 】 (本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC -A1B1C1 中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱 AA1⊥面 ABC,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且
AF ? 1 AB . 4

(Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 E-BC1-D 的余弦值.

6

13. 【成都石室中学 2014 届高三上期“一诊”模拟考试(一) (理) 】(本小题满分 12 分)已知直三棱柱

ABC ? A1 B1C1 的三视图如图所示,且 D 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: A1 B ∥平面 ADC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值; (Ⅲ)试问线段 A1 B1 上是否存在点 E ,使 AE 与 DC1 成 60? 角?若存在,确定 E 点位置,若不存在,说 明理由.

14. 【四川省眉山市高 2014 届第一次诊断性考试数学(理) 】(12 分)如图,正三棱柱 ABC-A'B'C'中,D 是

BC 的中点,AA'=AB=2.
(1)求证:A'C//平面 AB'D; (2)求二面角 D 一 AB'一 B 的余弦值。

7

15. 【四川省绵阳市高 2014 届第二次诊断性考试数学(理) 】 (本题满分 12 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD//BC,∠ADC=90?,AE⊥平面 ABCD,EF//CD, BC=CD=AE=EF= (Ⅰ)求证:CE//平面 ABF; (Ⅱ)求证:BE⊥AF; (Ⅲ)在直线 BC 上是否存在点 M,使二面角 E-MD-A 的大小为 请说明理由.

1 AD =1. 2

π ?若存在,求出 CM 的长;若不存在, 6

16. 【四川省绵阳南山中学 2014 高三 12 月月考数学(理) 】(本题满分 12 分)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB =BC=CA=AA1=2,侧棱 AA1⊥面 ABC,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? (I)求证:EF∥平面 BDC1; (II)求二面角 E-BC1-D 的余弦值.

1 AB . 4

8

17. 【四川省成都七中高 2014 届高三 “一诊”模拟考试数学 (理) 】如图四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD

1 是平行四边形, PG ? 平面 ABCD ,垂足为 G , G 在 AD 上且 AG ? GD , BG ? GC , GB ? GC ? 2 , 3
E 是 BC 的中点,四面体 P ? BCG 的体积为

8 . 3

(1)求二面角 P ? BC ? D 的正切值; (2)求直线 DP 到平面 PBG 所成角的正弦值; (3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使异面直线 DF 与 GC 所成的角为 600 ,若存在,确定点 F 的位置, 若不存在,说明理由.

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