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1.4.1 生活中的优化问题举例

时间:2017-06-19


生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省,利
润最大,效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中 不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.

复习:如何用导数来求函数的最值?
一般地,若函数y=f (x)在[a,b]上的图象是一条 连续不断的曲线,则求f (x) 的最值的步骤是: (1

)求y=f (x)在[a,b]内的极值(极大值与极小值); (2)将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较,

其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
特别地,如果函数在给定区间内只有一个极值点, 则这个极值一定是最值。

问题情景一:饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们 的价格如下表所示,则 (1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢? (2)对制造商而言,哪一种的利润更大?

规格(L) 价格(元)

2 5.1

1.25 4.5

0.6 2.5

例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出 售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢?

4 3 解:∵每个瓶的容积为: pr ( ml ) 3 4 3 ∴每瓶饮料的利润: y ? f ( r ) ? 0.2 ? pr ? 0.8pr 2 3 3 r = 0.8π( - r 2 ) (0 ? r ? 6) 3

令f ' (r ) = 0.8π (r 2 - 2r )? 0,得r = 2
r f '( r ) f (r) (0,2)

-

减函数↘

2 0 -1.07p

(2,6]

+
增函数↗

例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出 售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢?

解:设每瓶饮料的利润为y,则 3 4 r 32 2 y ? f (r ) ? 0 . 2 ? p r ? 0 . 8 p r = 0.8π( - r ) (0 ? r ? 6) 33
r f '( r ) f (r) (0,2)

-

减函数↘

2 0 -1.07p

(2,6]

+
增函数↗

∵f (r)在(2,6]上只有一个极值点 ∴由上表可知,f (2)=-1.07p为利润的最小值

例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出 售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢?

解:设每瓶饮料的利润为y,则 4 r3 3 2 2 y ? f (r ) ? 0 . 2 ? p r ? 0 . 8 p r ( 0 ? r ? 6) = 0.8π( - r ) 33 ∵当r∈(0,2)时, f ( r ) < f (0) ? 0 而f (6)=28.8p,故f (6)是最大值 答:当瓶子半径为6cm时,每瓶饮料的利润最大, 当瓶子半径为2cm时,每瓶饮料的利润最小.

解决优化问题的方法之一:
通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学 模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案, 使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有 力的工具,其基本思路如以下流程图所示 优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

问题情景二:汽油使用效率何时最高
我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h) 之间有一定的关系,汽车的消耗量 w 是汽车 速度 v 的函数. 根据实际生活,思考下面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快, 汽油的消耗量越大? 如何计算每千米路 (2)当汽车的行驶路程一定时,是车速快省油还是 程的汽油消耗量? 车速慢的时候省油呢? 一般地,每千米路程的汽油消耗量越少,我们就说 汽油的使用效率越高(即越省油)。

这里的w是汽油消耗量,s是汽车行驶的路程

w 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量,则 G = s

例2、通过研究,人们发现汽车在行驶过程中,汽油的 平均消耗率 g(即每小时的汽油消耗量, 单位: L / h) 与汽车行驶的平均速度v(单位: km)之间,有如图的 函数关系 g = f (v) ,那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢? w g 的几何意 分析:每千米平均的汽油消耗量 G = ,这里 w是汽油 v s 义是什么? 消耗量,s是汽车行驶的路程 g (L/h) ∵w=gt,s=vt 15 w gt g P(v,g) ?G = ? ? s vt v 10 g 所以由右图可知,当直线 OP 如图所示, 表示经过原点 v kmin ? f '(90) 为曲线的切线时,即斜率 k取 5 与曲线上的点 P(v,g)的直线 ? 0.07 最小值时,汽油使用效率最高 的斜率k 90 120 v(km/h) O 30 50

例3、经统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式 可以表示为:

1 3 3 y? x ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

若已知甲、乙两地相距100千米。 (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到 乙地要耗油为 17.5 升; (II)若速度为x千米/小时,则汽车从甲地到乙地需 行驶
100 x 小时,记耗油量为h(x)升,其解析式为:

1 3 100 1 2 800 15 3 h( x ) ? ( x ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4 . (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 最少?最少为多少升?

例3、经统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式 可以表示为:

1 3 3 y? x ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

若已知甲、乙两地相距100千米。 (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 最少?最少为多少升?

解:设当汽车以x km/h的速度行驶时,从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L,则

1 3 100 3 h( x ) ? ( x ? x ? 8). 128000 80 x 1 2 800 15 ? x ? ? (0 ? x ? 120) 1280 x 4

x 800 x3 ? 803 ? h '( x) ? ? 2 ? (0 ? x ? 120) 2 640 x 640 x

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80.
当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120] 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。
? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。

答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。

练习:已知某厂每天生产x件产品的成本为

x c ? 25000 ? 200 x ? (元) 40
若要使平均成本最低,则每天应生产多少件产品? 解:设平均成本为y元,每天生产x件产品,则 c 25000 x y? ? ? 200 ? x x 40

2

25000 x ?2 ? ? 200 ? 250 x 40 25000 x 当且仅当 ? ,即x ? 1000时等号成立 x 40 ∴每天应生产1000件产品

练习:已知某厂每天生产x件产品的成本为

x c ? 25000 ? 200 x ? (元) 40
变题:若受到设备的影响,该厂每天至多只能生产800件 产品,则要使平均成本最低,每天应生产多少件产品呢? 解:设平均成本为y元,每天生产x件产品,则 c 25000 x y? ? ? 200 ? x x 40

2

25000 1 ? y' ? ? ? 2 x 40

?由y ' ? 0,可求得0 ? x ? 1000 由y ' ? 0,可求得x ? 1000

练习:已知某厂每天生产x件产品的成本为

x c ? 25000 ? 200 x ? (元) 40
变题:若受到产能的影响,该厂每天至多只能生产800件 产品,则要使平均成本最低,每天应生产多少件产品呢?

2

∴函数在(0,1000)上是减函数

?当x ? 800时,y取最小值
故每天应生产800件产品

b [注] 对于型如 y ? ax ? (ab ? 0) 的函数最值问题, x

要根据定义域选择恰当的方法,并熟练掌握这些 方法的要点。
基本不等式法: “一正、二定、三相等、四最值”; 导数法: 一定义域、二导数符号、三单调性、四最值”。

小结:
在日常生活中,我们经常会遇到求在什么条件下可 使用料最省,利润最大,效率最高等问题,这些问题通 常称为优化问题.
在解决优化问题的过程中,关键在于建立数学模型 和目标函数;要认真审题,尽量克服文字多、背景生疏、 意义晦涩等问题,准确把握数量关系。在计算过程中要 注意各种数学方法的灵活运用,特别是导数的运用。

作业:课本P40 A组 第2题 7题

例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出 售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢?

解:设每瓶饮料的利润为y,则 3 4 r 32 2 y ? f (r ) ? 0 . 2 ? p r ? 0 . 8 p r = 0.8π( - r ) (0 ? r ? 6) 33 ∵当r∈(0,2)时,

r3 2 2 r f ( r ) = 0.8π( - r ) = 0.8p r ( - 1) ? 0 3 3 而f (6)=28.8p,故f (6)是最大值
答:当瓶子半径为6cm时,每瓶饮料的利润最大, 当瓶子半径为2cm时,每瓶饮料的利润最小.

练习:已知某厂每天生产x件产品的成本为

x c ? 25000 ? 200 x ? (元) 40
变题2:若产品以每件500元售出,要使得利润最大, 每天应生产多少件产品?

2

例3、统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时 的耗油量 y (L)关于行驶速度 x (km/h)的函数解析式 可以表示为:

1 3 3 y? x ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

若甲、乙两地相距100 km,则当汽车以多大的速度匀速行 驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解:设当汽车以x km/h的速度行驶时,从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L,则

1 3 100 3 h( x ) ? ( x ? x ? 8). 128000 80 x 1 2 800 15 ? x ? ? (0 ? x ? 120) 1280 x 4

例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出 售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢?

解:设每瓶饮料的利润为y,则 4 3 2 y ? f ( r ) ? 0.2 ? pr ? 0.8pr 3 3 r = 0.8π( - r 2 ) (0 ? r ? 6) 3

令f ' (r ) = 0.8π (r 2 - 2r )? 0,得r = 2
r f '( r ) f (r) (0,2)

-

减函数↘

2 0 -1.07p

(2,6]

+
增函数↗

例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出 售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢?

? f ' ( r ) = 0.8π (r 2 - 2r )
当r∈(0,2)时, f ' (r ) < 0 ,f (r)是减函数 当r∈(2,6]时, f ' (r ) > 0 ,f (r)是增函数

例2、通过研究,人们发现汽车在行驶过程中,汽油的 平均消耗率 g(即每小时的汽油消耗量, 单位: L / h) 与汽车行驶的平均速度v(单位: km)之间,有如图的 函数关系 g = f (v) ,那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢? 问题1:可用哪个量来衡量汽油的使用效率?

w (w是汽油消耗量, G= g (L/h) s s是汽车行驶的路程)
问题2:汽油的使用效率与 g、v有什么关系?
15 10 5

w gt g G= ? ? s vt v

O

30

50

90

120

v(km/h)


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