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13。专题十三 填空题的解法

时间:2014-03-14


专题十三 填空题的解法
填空题,就是不要求写出计算或推理过程,只需要将结论直接写出的“解答题” 。一般用来考 查考生的基础知识、基础技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力。2009 年的高职高考填 空题有 5 道小题,共 25 分,占 16.7%,历年考生在填空题上得分很不理想,因此对填空题的题型特 点、解题要求、解题方法、命题结构分析在此研究尤为重要。 解题方法

同选择题一样,填空题也属小题,应“小题不能大做” ,需“巧做“,常用的基本 方法有:直接求解法、图像法和特殊法(特殊值、特殊函数、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、 特殊方程、特殊模型等) 。 (1)直接求解法——直接从题设条件出发,利用定义、性质、定理、公式等,经过变形、推 理、计算、判断而得结论的方法。它是解填空题的常用的基本方法。使用它时,要善于通过现象抓 本质,自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 (2)特殊法——当填空题的结论唯一或其值为定值时,只须把题中变化的不定量用特殊值代替即 可得到结论的方法。例:设 1 ? x ? 10, 那么 (lg x) , lg x , lg(lg x)的大小关系是
2 2

? 双曲线方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? ?2,即 ? ? 1. 9 4 8 18

【小结】这里解法一直接设双曲线方程,但需注意焦点位置,而解法二利用双曲线的渐近线 方程,抓住比值 特点,不考虑焦点位置设出方程,避免分类讨论,在用已知点代入求的,较为简捷。 .. 例 2、已知数列 {a n }{bn }都是等差数列,a1 ? 0, b1 ? 4, 用S k , S k ' 分别表示数列

{an }{bn }的前k项和(k ? N *) ,若 S k ? S k ' ? 0(k ? 2), 则ak ? bk的值为
解法一: (直接法)由等差数列求和公式 S k ? a1 ? a k k , 得 a1 ? a k k ? a1 ? bk k ? 0 2 2 2

? a1 ? b1 ? ?4 ? bk ? ak ? 4
解法二(特殊法) : 由题意可取 k ? 2, 于是有a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? 0,? a2 ? b2 ? 4,即a k ? bk ? 4 . 【小结】此题考查等差数列的前 n 项和知识。因答案为定值,故这里把不定值 k 用特殊值代 替即可得结论,这里所取特殊值比较巧妙! 例 3、若关于 x 的方程 1 ? x ? k ( x ? 2)有两个不等实根,则实数k的取值范围是
2



可取

x ? 5 则得

lg x ? ( l g x) ? l g ( l x g)
2 2

(3)图像法——借助图形的直观性,通过数形结合的方法迅速做出判断的方法。文氏图、函 数的图像及方程的曲线等氏常用的图形。如:直线 l经过点P(1,3) ,且与两坐标轴围成一个等腰直 角三角形,则直线 l 的方程是 【例题解析】 例 1、双曲线的渐近线方程为 y ? ? 答案: x ? y ? 2 ? 0或x ? y ? 4 ? 0 .

解:图像法 令 y1 ? 1 ? x , y 2 ? k ( x ? 2), 画出两函数图像,
2

由图像可知k AB ? k ? 0, 其中直线AB为半圆的切线,A(2,0)

2 x ,且经过点 P(3 2 ,?4) 的双曲线的方程是 3
a b

经计算得k AB ? ?

2 2 解:(直接求解法)若焦点在 x 轴上,设双曲线的方程是 x ? y ? 1,则 2 2

3 3 ,? ? ? k ? 0. 3 3
2

2 ?b 此时方程组无解. ?a ? 3 ? ? ? 18 ? 16 ? 1 ?a2 b2 ?
2 2 若焦点在 y 轴上,设双曲线的方程是 y ? x ? 1,则 2 2

【小结】此题的关键是构造函数 y1 ? 1 ? x , y 2 ? k ( x ? 2) ,将原方程有两个不等实数根, 转化为两曲线有两个不同的交点,利用直线与半圆的位置关系解得。

练习:
a b

1、定义 A ? B ? {x | x ? A且x ? B}, 若M ? {1,2,3}, N ? {2,3,6}, 则N ? M ? 2、 设x ? 1, 则x 3、函数 y ?
3

.

2 ?a ? 2 ? ? x2 y2 ?b ?a ? 8 3 解得? 2 ? 双曲线方程是 ? ?1 ? 8 18 ? ? 16 ? 18 ? 1 ?b ? 18 ? b2 ?a2

x2 ? x ?1.

log 3 (4 x ? 1) 的定义域是

y x 2 (3 2 ,?4) (解法二)设以 y ? ? x 为渐近线的双曲线为 代入 得? ? ?2, ? ? ? ,把点 9 4 3

2

2

4、不等式 | x ? a |? 1 的解集是(??,0) ? (2,??), 则实数 a 的值为

5、已知向量 a ? ( ?2,5)的起点为(1,2), 则它的终点坐标为 6、若函数 f ( x ) ? ?
2

?

; ;

23、要得到 y ? cos 2 x的图像, 只需把y ? sin(2 x ?

?
3

)的图像平移向量a ? 1 ,则 x ?1

?

? f ( x ? 2), x ? 2 , 则 f ( 0) ? ?x ?2 , x ? 2

, f (5) ?

24、若 f ( x)是 偶函数, g ( x) 是奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

f ( x) ?
2

, g ( x) =
2



7、 若函数 f ( x) ? x ? bx ? c对任意实数t都有f (3 ? t ) ? f (3 ? t ), 则f (0), f (3), f (4) 中最大 的是 ; ; , a 的取值集合是 ; 25、曲线 x ? 4 y ? 4关于直线y ? 2对称的曲线方程为 26、若 f [log 2 ( x ? 3)] 的定义域是[4,11],则 f ( x) ? 的定义域是 27、数列 {a n }的前n项和为S n ? 5n ? n, 则a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ?
2

8、函数 y ? sin ?x cos?x的最小正周期T ? 9、若 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) 成立,则 x 的取值集合为
2 2

10、 直线kx ? 2 y ? k ? 2 ? 0 过圆 C : ( x ? k ) ? y ? 5 的圆心,则 k ? 11、圆 C : ( x ? k ) ? y ? 5被直线kx ? 2 y ? k ? 2 ? 0 平分,则 k ?
2 2

28、方程 log 4 ( x ? 4) ? 1 ? log 4 ( x ? 2) 的解是
2



29、椭圆的焦距为 4,两准线的距离为 8,则椭圆的离心率 e ? 30、直线 x ? y ? 1 ? 0被圆x ? y ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0所截得的线段中点的坐 标为
2 2

12、圆 C : ( x ? k ) ? y ? 5关于直线kx ? 2 y ? k ? 2 ? 0 对称,则 k ?
2 2 2 2

; 31、函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2在区间(? ?, 2]是减函数,则实数a的取值范围是
2

13、椭圆 x ? 4 y ? 4 长轴上一个顶点 A,以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三 角形,该三角形的面积是
2 2

.;

32、经过 M (1,0), 且与直线x ? 2 y ? 3 ? 0垂直的直线方程为y ?

14、圆 ( x ? 1) ? y ? 1上的动点P到直线y ? ?2的最短距离与最大距离的和为 15、以点 (1,2)为圆心,与直线4 x ? 3 y ? 35 ? 0相切的圆的方程是 16、在等比数列 {a n }中,若 a 4 ? 5S 3 ? 2, a3 ? 5S 4 ? 2, 则公比q ? ;

33、方程

2?x ? 61? 2 x 的解为 x 3

34、如果点 (4, a)到直线4 x ? 3 y ? 1 ? 0的距离不大于3,那么a的取值范围是区间
? | a |? 2, | b |? 3,则 | a ? b |? 35、向量 a 与 b 的夹角是60 , ? ? ? ? ? ?

17、椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且焦点在 x 轴上,其短轴的一个顶点 B 与两焦点

F1 , F2组成的三角形的周长为 4 ? 2 3,且?F1 BF2 ?

2? , 则椭圆的方程为 3

36、已知直线 x ? 2 y ? 2k ? 0 与两个坐标轴围成的三角形的面积不大于 1, 则实数 k 的取值范围是

18、数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 2n ? 49, S n 达到最小值时,n = 19、若 sin ? , cos? 是方程 2 x ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的 2 个根,则
2

sin ? cos? ? ? 1 ? cot? 1 ? tan?

13 20、在 ?ABC中,已知a ? 7, b ? 8, cos C ? ,则最大角的余弦是 14
21、已知向量 a , b 互相垂直,且 | a |? 2, | b |? 3,则( a ? b )(3 a ? 2 b ) ? 22、已知 tan x ? cot x ? 2, x为第一象限的角,则sin x ? cos x ?
? ? ? ? ? ? ? ?

37、 若定义在区间(?1,0)内的函数 f ( x) ? log 2 a ( x ? 1) 满足f ( x) ? 0 , 则 a 的取值范围是 38、以等腰三角形的一个顶点在原点,另两个顶点在抛物线 y ? 4 x上,且底边过此抛物线的焦
2

点,则此三角形的周长是



专题十五

解答题的解法

近年来,高职高考的解答题难度有上升趋势,2009 年解答题有 4 道,共 50 分,占总分的 30%。 解答题是一种主观试题,不同于填空题,要求写出解答过程的主要步骤,提供合理的说明。考题的 内容主要涉及考试大纲中所列“理解与掌握”的层次条目,考试的目的不仅测试考生的双基(基础 知识、基本技能与方法) ,更侧重考生的四大能力(运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力及分 析问题和解决问题的能力) ,以及创新意识与运用意识。 解答题完成的好坏,直接拉开考生的得分,测出考生的水平。要在高职高考中立足不败,就应 注重解答题的解法和解题过程的表达方法。

等经行求解。 四、思路受阻时障碍的突破 在解决解答题的过程中,经常会碰到思维受阻的情况,这时候要及时找出受阻的原因,回想 平时训练或联系中的解题思路与放方法,延续解题思路,一般地,常见处理方法有:逆向思考、再 看提设、摆正方向、反思过程。尤其是面对创新题型,表面源于课本基础,但又高于课本,抽象定 义,对此情况,要善于挖掘题目中的条件或新定义,观察归纳其运算或推理的规律运用解题。 例 2、已知 ?ABC中,a ? b ? 10, c ? 6, ?C ? 60 , 求三角形的面积S?ABC .
?

分析:从条件中,不知哪些对面积 S ?ABC 有用,于是从面积 S ?ABC ?

1 ab sin C 逆向去寻找 2

解题指导:一、从审题入手
审题的解题的第一步,就是对题目经行全面、细致地审读,理解弄懂题意,搞清题目的条件与 结论,由此判断考点选择好解题思路与方法。由于数学解答题所涉及的知识是交叉多维的,考查的 能力是全面综合的,因此解题前正确领会题意、捕捉关键信息、弄清条件和结论之间的内在联系、 寻求特征、挖掘隐含、打开解题突破口,才能为准确解题创造条件。 一般地说,审题主要就是审条件、结论、隐含条件信息为结论所准备的,通过对给定的条件的 分析, 你能发现通过结论的可能途径。 题目的结论对解题往往也有一定的暗示作用, 很多的解答题, 条件尚未直接或明显给出,需要认真挖掘,才能发现其中隐含的信息,而一旦发现,题目也就基本 破解了。 二、跟着问题走 分析多年的高职高考题,除个别题目逻辑思维能力要求较高外,大多数的解答题,在解题时候 只须跟着问题, “一边翻译,一边走” ,便有可能走到底。由于任何一个解答题都是由若干基础问题 有机地“组合”而成的,而每个小题都相对简单,使得“跟着问题走”便能得出结论或解题方法。 对于思维能力要求较高的解答题,在审题、分析以后,基本已“感觉到”解题脉络,这顺着题目给 出的条件一步步解下去,也能达到结果,有时,对于题目较长的应用题,可以先看问题,带着问题 去审题,并且一边读题一边用提纲法列出要点,寻找相应的关系。 例 1:某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元/个,出厂价为 60 元/个,日销售量为 1000 个。为 适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本。若每个蛋糕成本增加的百分率为 x (0<x<1)则 每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为 0.5x,同时预计日销售量增加的百分率为 0.8x,已知日利润 =(出厂价 – 成本)×日销量,且设增加成本后的日利润为 y。(Ⅰ)写出 y 与 x 的关系式;(Ⅱ) 为使日利润有所增加,问 x 应在什么范围内? 分析:此题先看问题,明确目标,充分挖掘提设条件:日利润 =(出厂价 – 成本) ? 日销量, 再对应找出表达式。 “为使日利润有所增加”的理解为日利润比原计划的利润大,自然而然归纳为 不等式的求解问题。 三、看结构,活用数学思想方法 数学解答题,因其考查的数学知识的综合性,必然要考虑使用数学的四大思想与不同的数学方 法(见备注) ,而对于不同的题目,又由于考查的目的不同,会有不同的题目结构和特征, “结构决 定性质” ,解题时候也要善于分析结构,往往经过转化迁移后,分别使用不同的思想与方法解之。 或者分析结构后,采取常规的方法:配方法、定义法(求轨迹,曲线定义充分利用等) 、点差法等

是否具备,从公式中看还要知 a与b或ab的值 ,而已知中有 a ? b ? 10 的关系式,想求 a与b

或ab的值 ,还需要 a, b 的其它关系式,是否能建立呢?于是想到由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ?

2ab cosC ,找到 a, b 关系,组成方程组可求 a, b ,从而就可以求得面积 S ?ABC 。答案:
例 3、若对任意实数 x、y都有f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)成立; (1)求证: f (1) ? 0 ; (2)设 f (2) ? p, f (3) ? q, 求f (18)的值。

16 3 。 3

分析:此题是一道创新题。创新题型是高考命题的新趋势,对于创新题的解法,没有固定的 解题思路。考查考生的观察能力、模仿能力与应用能力,题目中每一个条件在解题时一般都用到, 当思路受阻时,认真“审读”题目,把每一个题设的作用都挖掘出来。第一问证明恒等式,表面上

,易得知f (1) ? 0 ,第二问从分利 是证明,实际上是求函数值问题,根据条件等式,取 x ? 1, y ? 1
用 f (2) ? p, f (3) ? q条件,设法将f (18)通过等式变形转化为f (2)与f (3)的关系计算 . 练习: 1、已知等比数列 {a n }中,a3 ? 18, a 4 ? 27 求这个等比数列的通项公式与前 n 项的和。

2、已知向量 a ? (3,4), b ? ( 2,?1), 求使得( a ? x b )与( a ? b )垂直的实数x 的值。 3、计算: (1)若 cos? ?

?

?

?

?

?

?

4 , 求 sin 2? ; 5

(2) lg 5 ? lg 2 ? 3 lg 2 lg 5
3 3

4、已知直线 l : y ? ax ? 2和A(1,4), B(3,1)两点,当直线与线段 求 a 的范围。 AB相交时, 5、已知 x, y ? R , 且
?

交双曲线于点 P,且 ?PF1 F2 ? 30 ,求双曲线的渐近线方程
0

1 4 ? ? 1,当x, y为何值时,xy取到最小值,并求出最小值。 x y

12、已知正数数列 {a n }中,a1 ? 1, 当n ? 2时,a n ?

a n ?1 1 ? a n ?1
2

(1)求 a 2 , a3 , a 4 6、已知不等式 | x ? 1 |? 2的解集是A, 不等式x ? x ? 6 ? 0的解集是B ;
2

(2)证明: {

1 an
2

}是等差数列,并求{a n }的通项公式 。

(1)求 A ? B ;

(2)若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A ? B ,求 a, b 的值。
2

13、已知 f ( x0 是一次函数, f (10) ? 21, 且f (2) 、f (7) 、f (22) 、成等比数列, 求 f (1) ? f (2) ? ? ? ? ? f (n) 、的值。

7、某产品的总成本 y (万元)与产量 x (台)之间的函数关系式是 y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N), 若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本进(销售收入不小于总成本)的最低产量。

14、如图,某观测点 B 在 A 地南偏西 100 方向,由 A 地出发有一条走向为南偏东 200 的公路,由 观测点 B 发现公路上距观测点 10km 的 C 点有一汽车沿公路向 A 地驶去,到达 D 点进,漫山测得

?DBC ? 90 0 , BD ? 10km ,问这辆汽车还要行驶多少 km 才能到达 A 地?

西

A
D B

15,f ( x) ? 0的两根 8、若二次函数 f ( x)满足条件f (1 ? x) ? f (1 ? x), 且f ( x)的最大值为
平方和等于4,求f ( x)的表达式。
15、已知| a |=2,| b |=3, a 与 b 夹角为 1200,当 k 为何值时,(1) k a ? b与a ? k b 垂直 ; (2) | k a ? 2b | 取得最小值?并求出最小值。 9、已知集合 P ? {x || 2 x ? 1 |? 5}, Q ? {x | 6a 2 ? ax ? x 2 ? 0}, 若P ? Q ? ?求实数a的取值范围。

C

10、已知 f ( x) ? log a (a ? 1)
x

(a ? 0且a ? 1), 解方程 : f (2 x) ? f ?1 ( x) 。

16、 在数列 {a n } 中, 已知 a1 ? 2, a n ?1 ? 求数列 {a n } 的通项公式。

an 1 1 , 设bn ? ? , (1)证明数列 {bn } 是等比数列; (2) an ? 3 an 2

11、已知 F1 、F 2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦点,过 F2 作 垂直 于 x 轴的直线 a2 b2