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1.1.3集合的基本运算


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第 1.1.3 节 集合的基本运算
某地对所在地的居民中拥有电视机、电冰箱、组合音响的情况进行一次抽样调查,调查结果:3 户特 困户三种全无;至少有一种的:电视机 1090 户,电冰箱 747 户,组合音响 850 户;至少有两种的:电视机、 组合音响 570 户,组合音响、电冰箱 420 户,电视机、电冰箱 520 户, ?三大件

?都有的 265 户.可是调查 组在统计上述数字时发现没有记下被调查的居民总户数,你能避免重新调查而解决这个问题吗?

?研习教材重难点
研习点 1. 并集与交集
1.并集(重点) 定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素所组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并 集(union set),记作 A

B (读作“ A 并 B ” ) ,即 A B ? {x | x ? A ,或 x ? B}.

从定义可以看出两个集合的并集还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元素 只看成一个元素).

A 或 x ? B 包括如下三种情况: ① x ? A 但 x ? B ;② x ? B 但 x ? A ;③ x ? A 且 x ? B . 由集合 A 中元素的互异性可知,集合 A 与 B 的公共元素在 A B 中只出现一次,因此 A B 是由所
有 至 少 属 于 A , B 两 者 之 一 的 元 素 组 成 的 集 合 . 例 如 : A ? { 3 , 5 , 6 ,B 8? }, , {4, 5 ,则 7 , 8}

(1)理解并集定义中“或”字的意义: x ?

A B ? { 3 , 4 , 5 , 6 , ,而不是 7 , 8 } A B ? {3,5,6,8,4,5,7,8}.
并集用韦氏图(venn)表示为:
B

A

A

B
A

B

A B

A B

A

B

由并集的定义及韦氏图不难看出,并集具有以下性质: 1 ○ 3 ○

A

A ? A (吸收律) ;

2 A ○ 4 ○

?=

A;

A B?B

A (交换律) ;

A ( B C ) ? ( A B) C (结合律)..

【探究·发现】

并集与子集之间的关系

由并集的韦氏图表示不难发现,如果集合 A 是集合 B 的子集即 关可以分析,如果集合 B 是集合 A

A ? B ,就意味着 A B ? B ;同相 的子集即 B ? A ,就意味着 A B ? A ;如果 A B ? B 且 B;

A B ? A ,则 A ? B.
典例 1.(1)设集合 A ? {1,2,3}, B ? {2,3,4,5} ,求 A
(2)设集合 【研析】 (1) A

A ? {x | ?3 ? x ? 5} , B ? {2 ? x ? 6} ,求 A B .
B = {1,2,3} {2,3,4,5} = {1,2,3,4,5} ;

(2)在研究集合的运算时,我们还经常利用数轴工具表示集合之间的运算关系.从数轴上看应有

?3

0

2
26

5 6

x

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从而

A B = {x | ?3 ? x ? 5}

{2 ? x ? 6} = {x | ?3 ? x ? 6}.

2.交集(重点)

定义: 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 称为 A 与 B 的交集 (intersection
set),记作 A

B (读作“A 交 B” ) ,即 A B ? {x | x ? A, 且 x ? B}.

正如并集一样,两个集合的交集仍然是一个集合,所不同的是交集是由两个集合中的共同元素所组 成的集合.也就是说,交集是由那些既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的.如

A ? {1,2,3,4,5}, B ? {2,4,5,8,9} , 由于这两个集合中都有共同元素 2、 4、 5, 从而 A B ? {2,4,5}.
交集用韦氏图(venn)表示为:

A

A?B

B

由交集的定义及韦氏图不难看出,交集具有以下性质: 1 A A ? A (吸收律) ; ○ 3 ○ 2 ○ 4 ○

A

? =? ;

A B?B

A (交换律) ;

A ( B C ) ? ( A B) C (结合律).

【梳理·总结】 (1) A (2)

交集的定义的理解

我们可以从以下三个方面去理解交集的概念:

B 中的任一元素都是集合 A 中的元素,也都是集合 B 中的元素; A B 是由集合 A 与集合 B 的的公共元素组成的; A B ??. B ? C ,求实
2

(3)当集合 A 与集合 B 没有公共元素时,不能说集合 A 与集合 B 没有交集,而是说

典例 2 设集合 A ? {2, ?1, x ? x ? 1}, B ? {2 y, ?4, x ? 4}, C ? {?1,7} ,且 A
数 x, y 的值及

A B.

【研析】本题的关键在于理解两个集合交集的意义以及元素的互异性 .此时 A

B ? {?1,7} 包含了

两层意思:一方面-1,7 是集合 A 与集合 B 的公共元素;另一方面集合 A 与集合 B 的公共元素也只有-1,7. 由已知

A ? {2, ?1, x2 ? x ? 1}, B ? {2 y, ?4, x ? 4}, C ? {?1,7} 且 A B ? C 得:

7 ? A,7 ? B 且 ?1 ? B ,? 在集合 A 中 x2 ? x ? 1 ? 7 ,解得: x ? ?2 或 3 .
当x 意,舍去. 当x

? ?2 时,在集合 B 中, x ? 4 ? 2 ,又 2 ? A 故 2 ? A ? 3 时,
在集合 B 中, x ? 4 ? 7 ,故有 2 y

B ? C ,但 2 ? C ,故 x ? ?2 不合题

? ?1 ,解得 y ? ?

1 ,经检验知满足 A 2

B ? C.

综上知,所求 x 此时,

1 ? 3, y ? ? . 2

A ? {2, ?1,7}, B ? {?1, ?4,7}, 故 A B ? {?1,2, ?4,7}.
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研习点 2.全集与补集 1.全集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素 ,那么就称这个集合为全集(universe set),通常记作 U . 对于全集的理解,我们可以认为是将我们欲研究的问题限定在一个范围内进行 , 这个范围以外的问题 则不在我们研究的范围之内,这时我们就会有理由将我们所研究的这个范围视为全集. 另外,全集并不是一成不变的,它是依据所研究问题的来加以选择的.例如我们在考虑正整数的因式分 解时,我们把正整数集作为全集;在解不等式时,我们通常把实数集作为全集;多项式的因式分解,如果没有 附加说明,通常把有理数集作为全集;在研究数的问题时,常常把实数集作为全集;在研究图形集合时,常常 将所有的空间图形的集合作为全集.事实上,即使有些问题不指明全集,全集也是存在的,这就需要我们根据 经验来判断全集什么样的集合了.

2.补集
对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集 (complementanry set),简称为集合 A 的补集,记作 ? U A ,即 ? U A ? {x | x ?U , 且 x ? A} ,读作全集 U 中 集合 A 的补集. 补集既是集合之间的一种关系, 又是集合的一种运算, 利用集合的定义可以发现, 求已知集合 补集.其韦氏图(venn)表示如下图所示:

A 的补

集,其实就是从全集 U 中去掉属于集合 A 的元素后,由所有剩下的元素组成的集合就是全集 U 中集合 A 的

U
A
? UA
3.全集与补集的性质
全集与补集具有以下性质: (1) 痧 U( (2)
U

A) ? A ;

? U? ? U ; UU ? ? ; ?
(痧 ( U A) ? ? ; U A) ? U ; A B) ? ( U A) ( U B) ; 痧 B) ? ( U A) ( U B) . U (A

(3) A
*

(4) (德摩根(De Morgan)定律) 痧 U (A

典例 3. 已知,全集 U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求 ? U A ,? UB ,
(? U A )∩( ? U B ), ( ? U A )∪( ? U B ), ? U (A

B) , ? B) ,并指出其中相等的集合. U (A

【研析】 ? U A ={x|-1≤x≤3}; ? U B ={x|-5≤x<-1 或 1≤x≤3}; (? U A )∩( ? U B )= {x|1≤x≤3};( ? U A )∪( ? U B )= {x|-5≤x≤3}=U;

? B) =U; ? B) = {x|1≤x≤3}. U (A U (A

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相等集合有( ? U A )∩( ? U B )= ? U (A 验证.

(? B) ; B) ,这一结论也可以用韦氏图来 U A )∪( ? U B )= ? U (A

研习点 3.交集、并集之间的关系(难点)

A B? A? B? A 如下图所示,不难得到 A B ? A ? B ? A .
(1)
B

A

A

B?A

A B ? A? A? B 如下图所示,不难得到 A B ? A ? A ? B .
(2)
A

B

A
【探究·发现】

B?A

分类标准的确立

解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决。对于含参数的计划问题,常需要对参数分类讨论。 在分类时要注意?不重不漏? 。由于空集是任何非空集合的真子集,空集必是非空集合的真子集,因此对于 B ? A 这种关系,B = ? 时也满足 B ? A.所以 B ? A 中就应考虑 B 正是空集 ? 引法的分类讨论.

? ? 与 B≠ ? 两种情况,就是说,
2

典例 3.已知集合 A ? {x | x ? 4x ? 0}, B ? {x | x ? 2(a ? 1) x ? a ?1 ? 0}.
2 2

(1)若 A

B ? B ,求实数 a 的取值范围;

(2)若 A

B ? B ,求实数 a 的取值范围.

【研析】因为 A

B ? B 的含义是 B ? A ; A B ? B 的含义是 A ? B 且 A ? {x | x2 ? 4x ? 0} ? {0, ?4}.

另外在讨论的过程中,还需注意 B (1)因为 A

? ? 是 B ? A 的一种情况,不要漏掉. B ? B ,所以 B ? A.

2 2 1 当 B ? ? 时, ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 ,解得 a ? ?1 ; ○

2 当 B ? {0} 或 B ? {?4} 时, ? ? 0 ,解得 a ? ?1 ,此时 B ? {0} ; ○
2 2 3 当 B ? {0, ?4} 时, 0, ?4 是方程 x ? 2(a ? 1) x ? a ?1 ? 0 的两个根, ○

?? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 ? ?2(a ? 1) ? ?4 则有 ? ,解得 a ? 1. ? a2 ?1 ? 0 ?
综上所述,实数 a 的取值范围是 a (2)因为 A 由(1)知 a

? 0 或 a ? ?1.

B ? B ,所以 A ? B .因为 A ? {0, ?4} 且集合 B 中至多有两个元素,所以 A ? B .
? 1.
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?探究解题新思路

基础思维探究
题型一 并集与交集的概念的考查 典例 1. 集合 A={x|x2+5x-6≤0},B={x|x2+3x>0},求 A∪B 和 A∩B.
【研析】∵A={x|x2-5x-6≤0}={x|-6≤x≤1}, B={x|x2+3x>0}={x|x<-3 或 x>0}. 如图所示: ∴ A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3 或 x>0}=R.

?6

?3

0 1

x

A B ? {x | ?6 ? x ? 1} {x | x ? ?3 或 x ? 0} ? {x |? ? 6x??
探索发现

30 ? 或

x ? 1}.

集合问题大都比较抽象,解题时应先将相关的两个集合分别表示出来,然后尽可能借助文氏图、

数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活 直观地获解.

典例 2. 设 A={x|-2<x<-1 或 x>1},B={x|x2+ a x+b≤0},已知 A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},求 a 、
b 的值. 【研析】如图所示,设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动,

显然当且仅当 B 覆盖住集合{x|-1<x<3},才能使 A∪B={x|x>-2},且 A∩B={x|1<x≤3}. 根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1 与 3 是方程 x2+ a x+b=0 的两根,由韦达定理得: ∴ a =-(-1+3)=-2, b=(-1)× 3=-3. 推广引申 类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合的方法,会得 到直观、明了的解题效果. 【拓展·变式】 1. 已 知 集 合 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? ax ? b ? 0
A B ? R, A B ? ? x 3 ? x ? 4? ,求 a ,b 的值.

?

?

?

?

, 且 A

B ? R, A

B ? x 3 ? x ? 4? ,

2. 集合 A={(x,y) m 的取值范围.

x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 },集合 B={(x,y) x ? y ? 1 ? 0 },又 A ? B ? ? ,求实数

题型二 全集与补集概念的考查 典例 3. 已知全集 S ? {1,3, x ? x ? 2 x} ,A={1, 2 x ? 1 }如果 C S A ? {0} ,则这样的实数 x 是否存
3 2

在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由. 30

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【研析】 〖解法一〗∵ C S A ? {0};∴ 0 ? S且0 ? A ,即 x 当x 当x 当x

3

? x2 ? 2 x =0,解得 x1 ? 0, x2 ? ?1, x3 ? 2 .

? 0 时, 2x ? 1 ? 1 ,为 A 中元素; ? ?1 时, 2x ? 1 ? 3 ? S ? 2 时, 2x ?1 ? 3 ? S ? ?1 或 x ? 2 . A ,∴ x3 ? x 2 ? 2 x =0 且 2x ?1 ? 3

∴这样的实数 x 存在,是 x

〖解法二〗∵ C S A ? {0} ,∴ 0 ? S且0 ? A , 3 ? ∴x

? ?1 或 x ? 2 .
求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是

反思领悟

?且?与?或? ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.本题考察了集合间的关系以及集合的性质, 分类讨论的过程中?当 x ? 0 时, 2x ? 1 ? 1 ?不能满足集合中元素的互异性,此题的关键是理解符号

CS A ? {0}是两层含义: 0 ? S且0 ? A .
【拓展·变式】 3. 设全集 S ? 2 , 3 ,a ? 2a ? 3 ,A ? 2a ? 1, 2 , CS A ? ?5? ,求 a 的值.
2

?

?

?

?

题型三 对交集、并集之间关系的考查 典例 4. 已知集合 A ? {x x ? x ? 6 ? 0} B ? {x 0 ? x ? m ? 9}
2

①若 ②若

A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围;

A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

【研析】? A ? {x ①? A ? B

? 2 ? x ? 3} B ? {x m ? x ? m ? 9}

m -2 3

m+9

x

? B ?A? B
m m+9 -2 3 m m+9

? m ? ?2 ?m ? ?2 ?? 即 ? 6 ? m ? ?2 ? ?m ? 9 ? 3 ?m ? ?6
②? A ? B 交流探讨

x

? ? ? m ? 9 ? ?2或m ? 3 即m ? ?11 或m ? 3

在理解集合符号的基础上,准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题,然后用所学的知

识和方法把问题解决.这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来,提高解题效率. 【拓展·变式】 4. 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2- a x+ a -1=0},且 A∪ B=A,求实数 a 的值.

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综合思维探究
题型一 学科内综合题 典例 5. 若 A={2,4, a 3-2 a 2- a +7},B={1, a +1, a 2-2 a +2, ? +3 a +7},且 A∩B={2,5},求实数 a 的值. 【研析】∵A∩B={2,5},∴ a 3-2 a 2- a +7=5,由此求得 a =2 或 a = ±1.
当 a =1 时, a 2-2 a +2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去 a =1. 当 a =-1 时,B={1,0,5,2,4},与 A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去 a =-1. 当 a =2 时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时 A∩B={2,5},满足题设. 故 a =2 为所求.

1 2 ( a -3 a -8), a 3+ a 2 2

方法探究 由 A∩B={2,5}求得 a =2 或 a = 〒1 时,针对于集合 B 中的元素是什么,需要分类进行讨论,
并且对于集合 B 中的元素是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.

【拓展·变式】 5. 已知 A ? {a 2 , a ? 1,?3} B ? {a ? 3,3a ?1, a 2 ? 1}, 若A ? B ? {?3} ,求 a 的值.

题型二 实际应用题 典例 6. 向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分之三,其余的
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不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞 成的学生数的三分之一多 1 人.问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? 【研析】赞成 A 的人数为 50×

3 =30,赞成 B 的人数为 30+3=33, 5
A
X 30-X 33-X X +1 3 U B

如右图,记 50 名学生组成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全 体为集合 A;赞成事件 B 的学生全体为集合 B. 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的

x 学生人数为 +1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 3 x 而不赞成 A 的人数为 33-x.依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50, 3
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解得 x=21.所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人 方法探究 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.画出韦恩图,形
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象地表示出各数量关系间的联系.

【拓展·变式】 6. 求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数的自然 数共有多少个? 题型三 易错辨析题 典例 7. 已知集合 A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若 A∩ R? = ? ,则实数 m 的取值范围是_________.

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【研析】从方程观点看,集合 A 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2+(m+2)x+1=0 的解集,而 x=0 不是 方程的解,所以由 A∩ R? = ? 可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于 m 的不 等式,并解出 m 的范围. 由 A∩ R? = ? 又方程 x2+(m+2)x+1=0 无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,
2 ? ?? ? ? m ? 2 ? ? 4 ? 0, 或△ =(m+2)2-4<0.解得 m≥0 或-4<m<0,即 m>-4. ? ? ? ? ? m ? 2 ? ? 0,

思维指南

空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子

集.显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设中隐含有空集参与 的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误.此题容易发生的错误是由 A∩ R? = ? 只片 面地推出方程只有两个负根(因为两根之积为 1,因为方程无零根) ,而把 A= ? 漏掉,因此要全面准确理 解和识别集合语言.

【拓展·变式】 7. 已知 A ? ?x | (m ? 1) x ? 1 ? 0? , B ? x | x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,若 A ? B ,则 m 的值为

?

?



创新思维探究
题型一 开放探究题 典例 8
设集合 A = {(x, y)|y -x-1= 0 }, 集合 B ={(x, y)| 4x +2x-2y+5 = 0 }, 集合 C ={(x, y)| y = kx
2 2

+b },是否存在 k,b ? N,使得 ( A 由. 【研析】因为 ( A

B) C ? ? ?若存在,请求出 k,b 的值;若不存在,请说明理

B) C ? ? ,即 ( A C) ( B C) ? ? ,所以 A C ? ? 且 B C ? ? .
2 2 2 2

将 y = kx+b 代入 y -x-1= 0,得 k x +(2kb-1)x+b -1= 0, 因为

A C ? ? ,所以△ 1 = (2kb-1) 2 -4k 2 ( b 2 -1)<0,即 4k 2 -4kb+1<0,若此不等式有解,
2

应有 16b -16>0,即 b >1.① 又将 y = kx+b 代入 4x +2x-2y+5 = 0,得:4x +(2-2k)x+(5-2b) = 0, 因为 B
2 2

2

C ? ? ,所以△ 2 = (2-2k) -4k(5-2b)<0,即 k -2k+8b-19<0,若此不等式有解,应

2

2

有 4-4(8b-19)>0,解得 b<

5 2

.②

由不等式①、②及 b ? N,得 b = 2.
2 ? ?4k ? 8k ? 1 ? 0, 将 b = 2 代入由△ 1 <0 和△ 2 <0 组成的不等式组,得 ? ,再注意到 k ? N,求得 k = 1. 2 ? ?k ? 2k ? 3 ? 0.

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故存在自然数 k = 1,b = 2 使得 ( A

B) C ? ? .

理念链接 在数学命题中, 常以适合某种性质的结论 ?存在(肯定型)? 、 ?不存在(否定型)? 、 ?是否存在(讨
论型)?等形式出现. ?存在?就是有适合某种条件或符合某种性质的对象,对于这类问题无论用什么方法 只要找出一个, 就说明存在. ?不存在? 就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象, 这类问题一般需要推理论证. ?是否存在?结论有两种:一种是可能或存在;另一种是不存在,则需要说明 理由.

【拓展·变式】 8. 已知集合 A ? ? x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0? , B ? ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0? , C ? ? x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0? 是否
存在实数 a 使得

A B ? ? , , A C ? ? , 若存在求出实数 a 的值,若不在,说明理由

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题型二 奇思妙解题 典例 9 已知集合 A ? {x | x2 ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0} ,若 A
【研析】设全集 U 方程 x
2

R? ? ? ,求实数 a 的取值范围.

3 ? {a | ? ? 16a2 ? 8a ? 24 ? 0} ? {a | a ? 1 或 a ? }. 2

? 4ax ? 2a ? 6 ? 0 的两根均非负等价于

? a ?U 3 3 ? ? ? 4a ? 0 ? a ? . 即 A R ? ? 时,实数 a 的取值范围是 {a | a ? } . 2 2 ? 2a ? 6 ? 0 ?


3 A R? ? ? 时,实数 a 的取值范围为集合 {a | a ? } 关于集合 U 2
本题中

的补集,即 {a | a ? 1}.

方法探究

A R? ? ? 意味着方程 x2 ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0 的根有三种不同的情况:(1)两个

负根;(2)一个负根一个零根;(3)一个负根一个正根.此三种情况虽然可概括为较小的根小于零,即利用求根

公式

4a ? ? ? 0 ,但是求解此不等式也并不轻松.但是如果考虑 A R? ? ? 的反面,则可先求出方程 2

两根非负时 a 的取值范围 , 然后再利用补集思想求解 了.

A R? ? ? 时的 a 的取值范围 ,就显得比较容易

【拓展·变式】 9. 已知集合 A={x|x2-4mx+2m+6=0,x∈R},若 A∩R-≠ ? ,求实数 m 的取值范围. 题型 3 奥赛欣赏题
2 2 2 2 典例 10 已知集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , B ? {a1 , a2 , a3 , a4 } ,其中 a1 ? a2 ? a3 ? a4 , a1 , a2 , a3 , a4 ? N .



A ? B ? {a1 , a4 } , a1 ? a4 ? 10 .且 A ? B 中的所有元素之和为 124,求集合 A、B.

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【研析】? a1 又 a1 若 a2
2

? a2 ? a3 ? a4 ,且 A ? B ? {a1 , a4 } ,? a1 ? a12 ,又 a1 ? N ,所以 a1 ? 1.

2 2 ? a4 ? 10 ,可得 a4 ? 9 ,并且 a2 ? a4 或 a3 ? a4 .

2 ? 9 ,即 a2 ? 3 ,则有 1 ? 3 ? a3 ? 9 ? a3 ? 81 ? 124, 解得 a3 ? 5 或 a3 ? ?6 (舍)

此时有 若 a3
2

A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81 }.

? 9 ,即 a3 ? 3 ,此时应有 a2 ? 2 ,则 A ? B 中的所有元素之和为 100 ? 124.不合题意.
A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81 }.
本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的

综上可得, 品思感悟

思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样 就使问题变得简单明了. 【拓展·变式】 10. 已知 A 为有限集,且 合 A.

A ? N * ,满足集合 A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集

高考思维探究
本节内容联系面广,多与高中数学其它知识相结合,方法灵活多变,除了能利用基本概念与方法外,还应 该注意采用逆向思维,从问题的反而入手,利用补集思想解决问题.在高考试题中多有体现.多以选择题与填空 题的形式出现,有时也可以出解答题. 典例 11(2007 年北京卷)已知集合 若

A ? ? x | x ? a ≤ 1? , B ? x x 2 ? 5x ? 4 ≥ 0
. a-1≤x≤a+1}, B

?

?.

A

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是
A ? ? x | x ? a ≤ 1? ={x|

【研析】集合

? x x 2 ? 5x ? 4 ≥ 0

?

? ={x| x≥4 或 x≤

1 }.又

A

?a ? 1 ? 4 B ? ? ,∴ ? ,解得 2<a<3,实数 a 的取值范围是 {a | 2 ? a ? 3}. ? a ?1 ? 1
这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目 .主要考查集合的概念及运

品思感悟

算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意应先确定已知集合,再利用 不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.

【拓展〃变式】
11(2007 年安徽卷文)若 A ? {x | x 2 ? 1} ,B ? {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0} ,则 A A.{3} B.{1} C. ? D.{-1}

B= ( )

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?开拓学习新视野
其实只有一个你
好友最近为情所困,茶饭不思,心情极其低落.网上 QQ 一露脸,便顿足捶胸,呼天抢地地大喊:?我 为什么这么命苦啊,为什么找不到合适的男人,为什么得不到成功的爱情!? 我好言相劝,不料刚开导几句就被她无情地打击.范围之广,令人汗颜:?你们男人都不是好东西!? 我刚想直陈其失,却见其眼泪汪汪很是可怜.忽又记得古训曰:?凡劝人,不可遽指其过,必须先美其长; 盖人喜则言易入,怒则言难入也.? 于是,我转念一想,道:?你其实是万里挑一的好女子!? 友惊,竟然停止哭泣,问道:?真的?? 我答:?那还有假!且听我慢慢算来.? 我继续解释:?目前,地球上有 50 亿人口,中国人有 13 亿,大概占 20%.其中男女大致各半,我们以 此为基础,从这‘半边天’的 6 亿多女人中算起.? 友急迫之心可见:?快说快说,愿闻其详.? ?这 6 亿多中国女人中,像你这样身高 165 以上,身材匀称,皮肤白皙,气质动人的电眼美女也就 10% 左右.? 友略有些腮红——脸红的 QQ 头像迅速发来. 我继续分析:?家在直辖市的美丽女性只有 1%,而其中考上中国 Top10 重点大学的最多只占 0.1%, 你自然属于这一类.? 友赶紧点头. ?而从这些重点大学中保送上重点大学的研究生的只占 0.01%.? 友打出一个微笑的脸庞,说:?的确如此!? ?这其中家庭幸福、朋友众多、身体健康的女子也就十分之一,占总数 0.001%.瞧,这已经是千万里 挑一了!? 友做幸福状,鲜红的心闪得我眼晕. 我答道:?但是事情远远还没有结束.? 友兴致高昂,大手一挥:?继续!? ?你没毕业就拿到华为的 offer,可谓‘千里挑一’,那么只有 0.000001%.算起来,真是超出万里挑 一,简直凤毛麟角,你还不知足吗?? 友听完大笑不止, 似乎又有了快乐活下去的勇气和动力.她喃喃自语说: ?咦, 我怎么就没有发现呢?? 而后对我千恩万谢,似乎我就是传说中的伯乐,而她则是隐匿多年,才得以重见天日的千里马驹! 其实,我本想说万里挑一足矣,却没料到一发不可收拾.我掐指仔细一算,这竟然是十亿分之一.换句 话说,只要没有克隆的好友出现,偌大中国甚至整个星球上仅她自己而已. 的确如此,这便是人存在的独特性与相对性之意义所在,每一个人都是十亿里挑一:在整个世界上, 其实只有一个你!

?优化考题新演练
一、理解与应用 1. (2007 年天津卷)已知集合 S ? x ? R x ? 1 ? 2 , T ? ??2, ?1 , 01 , , 2? ,则 S

?

?

T ?(



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A. ?2?

B. ?1 , 2?

C. ?0, 1, 2?

D. ??1 , 01 , , 2?

2. 图中阴影部分所表示的集合是(

A. B∩[CU(A∪C)] C. (A∪C)∩(CUB)

) B. (A∪B) ∪(B∪C) D. [CU(A∩C)]∪B

3. 已知集合 A={x| - 2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m - 1} 且

B≠ ? ,若 A∪B=A,则( A.-3≤m≤4
3. 4. 已知全集 U

) B. -3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4

? R, 且 A ? ? x | x ? 1 ? 2? , B ? ? x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? , 则 (CU A)
B. {x | 2 ? x ? 3} C. {x | 2 ? x ? 3}

B 等于

A. {x | ?1 ? x ? 4}
二、拓展与创新

D. {x | ?1 ? x ? 4}

5. 某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱好体育也

不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为
6. (2007 年湖南卷) 设集合 A ? (1) b 的取值范围是 (2)若 ? x, y ? ? A 三、综合与探究

人.

?? x, y ? | y ?| x ? 2 |, x ? 0?, B ? ?? x, y ? | y ? ?x ? b?, A
. .

B??,

B, 且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是

7. 已知 x ? R, y ? N ? , A ? {y y ? x2 ? 4x ? 6} B ? {y y ? ?x2 ? 2x ? 18},求 A∩B. 8. 设 M ? {x x 2 ? 2x ? 3 ? 0} N ? {x ax ? 1 ? 0} ,若 M ? N ? N ,求所有满足条件的 a 的集合.

答案与解析研读 【拓展〃变式】
1.解: A ? ? x x ? 1或x ? 3?,∵ A 又∵ A

B ? R . ∴ ? x ?1 ? x ? 3? 中元素必是 B 的元素.

B ? ? x 3 ? x ? 4? , ∴ ? x 3 ? x ? 4? 中的元素属于 B,

故 B ? ? x ?1 ? x ? 3 或3 ? x ? 4? ? ? x ?1 ? x ? 4? . 而 B ? x x 2 ? ax ? b ? 0 . ∴-1,4 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根, ∴a=-3,b=-4. 2.由 A ? B ?

?

?

? 2 ? 知方程组 ? x ? mx ? y ? 20 , 消去y, 得 x2+(m-1)x=0, ?x ? y ?1 ? 0

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? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 0 即 m ? 3 或 m ? -1.因此{m x ? 3 ,或 m ? -1}.
3. 解:∵ CS A ? ?5? ,∴ 5 ? S 且 5 ? A ,∴ a ? 2a ? 3 ? 5 ,∴ a ? 2a ? 8 ? 0
2 2

∴ a ? 2 或 a ? ?4
(1)当 a ? 2 时, 2a ? 1 ? 3 ,此时满足 3 ? S . (2)当 a ? ?4 时, 2a ? 1 ? 9 ? S ,∴ a ? ?4 应舍去,∴ a ? 2 . 4. 解:∵ A∪B=A, ? B ? A, ∵ A={1,2},∴ B= ? 或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}. 若 B= ? ,则令△<0 得 a ∈ ? ; 若 B={1},则令△=0 得 a =2,此时 1 是方程的根; 若 B={2},则令△=0 得 a =2,此时 2 不是方程的根,∴ a ∈ ? ; 若 B={1,2}则令△>0 得 a ∈R 且 a ≠2,把 x=1 代入方程得 a ∈R,把 x=2 代入方程得 a =3. 综上 a 的值为 2 或 3.

? 2 2 5. 解: ? ? a ? a ? 1 或? a ? a ? 1

? a ? 3 ? ?3

? 3a ? 1 ? ?3
a ? 0或a ? ?

?3a ? 1 ? a 2 ? 1 ?a ? 3 ? a 2 ? 1 ? ?

2 3

检验: 当a ? 0时A ? {0,1,?3} B ? {?3,?1,1} A ? B ? {?3,1}

2 4 1 11 当a ? ? 时A ? { , , ?3} B ? {? , ?3,1} A B ? {?3} 3 9 3 3 2 ?a ? ? 3
6. 解: “正难则反” ,先求出 200 个数不满足条件的,即能被 2 或 3 或 5 整除的自然数个数,再从 200 中减去.设不能被 2、3、5 整除的数的集合分 别是 A、 B、 C, 则符合条件的数的集合为 A∩B∩C,不符全条件的数的集合为:

?u UA

?u UC
_ 5 的倍数

2的倍数 _

痧 B C) ? ( U A) (痧 ( U C) , U (A U B)
如图先画出文氏图,不难看出不符合的数共有:

_ 3 的倍数

?u UB

(200÷2) +[200÷3]+(200÷5)-(200÷10)-[200÷6]-[200÷15]+[200÷30]=146(式中[x]为不超过 x 的 最大整数) 所以,符合条件的数共有 200-146=54(个) 7. 解:当 A ? ? 时,由 (m ? 1) x ? 1 ? 0 得x?

1 2 ,由 x ? 2 x ? 3 ? 0 1? m

得 x ? ?1 或 x ? 3

1 ? ? ∴A ? ? x | ? x ? 1? m? ?

B ? ??1 , 3?

1 2 ∵ A ? B ,∴ ? ?1 或 3,∴ m ? 2 或 m ? 1? m 3 当 A ? ? 时, m ? 1 .

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综上所述,得 m 的值为 , 1 , 2. 8. 解:存在 a

2 3

? ?2 满足题意,因为 B ? ?2,3? , C ? ??4,2? ,而 A B ? ? ,
A 中,又 A C ? ? ,∴ 2 ? A , 3 ? A ,即 9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 ,

则 2, 3 至少有一个元素在 得a ∴a

? 5或 ? 2 而 a ? 5时,A ? B与 A C ? ? 矛盾,
? ?2 .
2

9. 解:设全集 U ={m|△=(-4m)2-4(2m+6)≥0}={m|m≤-1 或 m≥ 3 }. 若方程 x2-4mx+2m+6=0 的二根为 x1、x2 均非负,



m ?U ? 3 ? ? x1 ? x2 ? 4m ? 0 ? m ? , 2 ? x x ? 2m ? 6 ? 1 2
2

因此,{m|m≥ 3 }关于 U 补集{m|m≤-1}即为所求. 10. 解:设集合 A= {a1 , a2 ,?, an }(n ? 1) 且 1 ? a1

? a2 ? ?an ,由 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ?? an ,

an ? n(n ? N*) ,得 nan ? a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ?? an ? an (n ? 1)!,即 n ? (n ? 1)!
? n ? 2 或 n ? 3 (事实上,当 n ? 3 时,有 (n ? 1)!? (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1) ? 2 ? n) .
当n 当n

? 2 时, a1 ? a2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ,? a1 ? 2,? a1 ? 1 ,而 1 ? a2 ? 1 ? a2 ,? n ? 2.
? 3 时, a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a3 ,? a1 ? a2 ? 3 ,? a1 ? 1, a2 ? 2.

由 2a3

? 3 ? a3 ,解得 a3 ? 3.
A ? {1,2,3}.
提示:

综上可知,

11. 解:D

A ? {x | x ? ?1, x ? 1},B ? {x | x ? ?1, x ? 3},? A B ? ??1?. 从而选 D.

优化考题新演练
1.B 提示:方法一(直接法) :S ? ? x ? R x ? 1 ? 2? ? S ? ? x ? R x ? 1? , T ? ??2, ?1 , 01 , , 2? ,故 S

T ? ?1 , 2? .

方法二(排除法):由 S ? x ? R x ? 1 ? 2 ? S ? x ? R x ? 1 可知 S 中有元素 0,故排除 C、D 项,且 S 2. A 3. D 提示:∵A∪B=A,∴B ? A,又 B≠ ? ,∴ ?

?

?

?

?

T 中的元素比 0 要大, 而 C、D 项

T 中含有元素比 1,故排除 A 项.故答案为 B.
? m ? 1 ? ?2 ,即 2<m≤4 ?2 m ? 1 ? 7 ?m ? 1 ? 2 m ? 1 ?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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4.C

提示:集合 A ? ? x || x ? 1 |? 2 3 x ? ?? 1, 所以 CU A ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,集 合 ? ?? x | x ? 或

B ? ? x | x2 ? 6 x ? 8 ? 0 4,所以 (CU A) B 为 {x | 2 ? x ? 3} . ? ?? x | 2 ? x ? ?
5. 26 提示:图出韦氏图,根据韦氏图进行计算.
6. (1) {b | b ? 2} (2)

9 2

解析: (1)如图所示,可知 b 的取

值范围是 {b | b ? 2} ; (2)若

? x, y ? ? A

B, 则(x,y)在图中
2

b 2

的四边形内,t= x ? 2 y 在(0,b)处取得最大值,所 0+2b=9,所 以 b= 9 . 2 7. 解: A ? {y}y ?

x 2 ? 4x ? 6} ? {y y ? ( x ? 2) 2 ? 2} ? {y y ? 2}

B ? {y}y ? ?x 2 ? 2x ? 18} ? {y y ? ?( x ? 1) 2 ? 19} ? {y y ? 19}

A ? B ? {y 2 ? y ? 19}? y ? N ?

? A ? B ? {2,3,4,?,18,19}
8. 解:M={-1,3} ? M ? N ? N ? N ? M ①当 N

? ? 时,ax-1=0 无解,∴a=0
a

1 1 1 ②当N ? ? 时, x ? 1 ? x ? ?1或x ? 3 ? ? ?1或 ? 3 ? a ? ?1或a ? a a
综①②得:所求集合为{-1,0,

3

1 }. 3

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