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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习7-8章课件8-2圆的方程

时间:2013-03-24


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第八章

平面解析几何

第八章

平面解析几何

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第八章
第二节 圆 的 方 程

第八章

平面解析几何

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第八章

第二节

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基础梳理导学

第八章

第二节

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重点难点

引领方向

重点:圆的方程、点与圆的位置关系. 难点:垂径定理的应用、圆的方程求法.

第八章

第二节

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夯基 实础 1.圆 方 的程

稳根 固基

1. 的 准 程 圆 圆标方:心 -a)2+(y-b)2=r2.

(a,b), 径 半为

r 的方为 圆程

(x

2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中 D2+E2 D E 1 2 -4F>0), 心 (- 2 , 2 ), 径 r=2 D +E2-4F. 圆 - 半

第八章

第二节

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2.二 二 方 表 圆 条 元次程示的件 Ax2 +By +Cy2 +Dx+Ey+F=0 表 圆 充 条 是 x 示 的 要 件 ?A=C≠0 ? ?B=0 ?D2+E2-4AF>0 ?

.

第八章

第二节

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3.点 P(x0,y0)与 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位 关 : 圆 置系 () 当(x0-a)2+(y0-b)2>r2 时 则 1 ,点 () 当(x0-a)2+(y0-b)2=r2 时 则 2 ,点 () 当(x0-a)2+(y0-b)2<r2 时 则 3 ,点 P 在 _____. 圆 外

上 P 在 ___ . 圆 __
P 在 ______. 圆 内

第八章

第二节

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疑误 难区

点警 拨示

1. 决 关 迹 题 , 注 所 得 迹 程 示 解有轨问时要意求轨方表的 曲上点否是足设求轨上点 线的是都满题要的迹的. 2. 圆 关 最 问 , 特 注 是 个 周 的 , 与 有 的 值 题要 别 意 整 圆 上 点 还一圆上点 是段弧的. 3. 定 的 程 须 三 独 条 , 题 要 意 确圆方必有个立件解时注通 过析足件列相的程 分找条,出应方.

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思想方法技巧

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一、数形结合思想 在解决与圆有关的最值问题时,主要借助圆的几何性质, 用数形结合的方法求解. 1.圆上点到定点 P 的距离的最大(小)值:连结圆心 C 与 P 交圆于两点为最大(小)值点.

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() 点 P 在⊙C 内 过 1 ,点 圆 ), 短 为 心 最的 点P距 最 , 离小点

P 的⊙C 的 中 最 的 弦 ,长 为

EF(过 E到

AB(AB⊥EF), ⊙C 上 有 中 点 在 所点, F到 P距 最 . 点 离大 E、F, 上 有 中 圆所点到

() 点 P 在⊙C 外 PC 与 交 2 , 圆于

点P距 最 离 大 (小)的 为 F(E), 点 P 可 两 直 点 过 作条线 与⊙C 相 , 切则 PC 为∠APB 的 分 , 平线 PC 垂 平 直分

PA、PB AB.

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2. 上 点 定 线 距 最 : 圆 向 线 垂 圆的到直的离值由心直作线 与圆两交点为最值点. 直线 l 与⊙C 外离,PC⊥l 交⊙C 于 A、B, 在 ⊙C 上到 则 直线 l 距离最大(小)的点为 B(A).

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二等转思 、价化想 已 点 P(x,y)为 上 点 知 圆动 y-b () 形如 1 的 值 化动 线 斜 求 , 般 相 最 转 为 直 的 率 解 一 在 x-a 切置最. 位取值 () 形 ax+by 的 值 一 设 2 如 最,般 u=ax+by, 化 动 转为直

线截问.判式求,在切置最. 的距题用别法解或相位取值

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() 形如(x-a)2+(y-b)2 的 值 化 动 到 点 距 3 最转为点定的离 问或 题 设 (x-a)2+(y-b)2=k2, 化 两 有 共 时 转为圆公点, 取范问. 值围题 k的

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考点典例讲练

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圆的一般方程

[例 1]

(01 21·

山东淄博重点中学期中)圆 x2+y2-2Rx- )

2Ry+R2=0 在直角坐标系中的位置特征是( A.圆心在直线 y=x 上 B.圆心在直线 y=x 上 且 两 标 均 切 ,与坐轴相 C.圆心在直线 y=-x 上

D.圆心在直线 y=-x 上,且与两坐标轴均相切

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分析:圆 位 由 心 定 圆 大 由 径 定 故 的 置 圆 决 , 的 小 半 确 , 考 圆 直 坐 系 的 置 征 须 析 心 半 得 察 在 角 标 中 位 特 , 分 圆 与 径 出 结. 论

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解: 将化标方 析 圆为准程 ∴圆 (R,R), 径 |R|, 心 半 ∴圆 在 线 心直 半,选 径故 B.

(x-R)2+(y-R)2=R2,

y=x 上 圆 到 坐 轴 距 等 圆 ,心两标的离于的

答案:B

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(文)01 ( 1· 2

福质 建 检 )已 圆 x2+y2+Dx+Ey=0 的 心 知 圆在 )

直 x+y=1 上 则 D 与 E 的 系 线 , 关是 ( A.D+E=2 C.D+E= 1 -

B.D+E=1 D.D+E= 2 -

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解 : 依 意 ,心 析 题 得圆

D E (- ,- )在 线 x+y=1 上 因 直 , 2 2

D E 此 - 2 - 2 =1, D+E= 2, D. 有 即 - 选

答案:D

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点: 要练圆一方求圆坐和径 评 熟由的般程出心标半.

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(理)02 ( 1· 2

云一 南 检 )若 线 C: 2+y2+2ax-4ay+5a2-4 曲 x a的 值 围 取范为 B.(-∞, 1) - D.(2, ∞) + ( )

=0 上 有 点 在 二 限 , 所的均第象内则 A.(-∞, 2) - C.(1, ∞) +

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解 : 将⊙C 化 标 方 得 析 为准程, (x+a)2+(y-2a)2=4, ∴圆 C(-a,2a), 径 r=2, 心 半 > ?|-a|2 , ? ?|2a|2 , > ? ?-a<0, ?2a>0, ?

由件, 条知

∴a>. 2

答案:D

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圆的标准方程

[例 2]

(01 21·

河重中调 南点学研

)若圆 C 的半径为 1,圆

心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴 相 , 该 都切则圆 的标准方程是( A.(x-3)
2

)
? 7?2 +?y-3? =1 ? ?

B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1
? 3?2 D.?x-2? +(y-1)2=1 ? ?
第八章 第二节

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分 : 由⊙C 的 径 析 半为 可圆纵标 知心坐为 =0 相 列 程 解 切方求.

1 及 x 轴 切圆 在 一 限 与 相 ,心 第 象 , ⊙C 与 线 4x-3y 直

1,设 圆 坐 利 可出心标用

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解析:依题意设圆心 C(a,1)(a>0),由圆 C 与直线 4x-3y |4a-3| =0 相切得, 5 =1,解得 a=2,则圆 C 的标准方程是(x -2)2+(y-1)2=1,故选 B.

答案:B

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点 : () 本 可 淘 法 解 评 1 题用汰求. () 求 的 程 , 常 将 给 件 当 译 用 学 2 圆 方时常 要所条恰 翻 ,数 语加表. 言以达如 ①圆 点 A, 点 A 的 标 入 的 程 定 立 过 则 坐代圆方一成. ②圆 两 过点 A、B, 线 则段 AB 的 垂 过 心 中线圆.

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③圆 在 线 心直 心否另条线 是在一直 ④圆 直 与线 与 线 l相 于 直 切点

l 上 (一)可 出 心 标 , 设圆坐;

(二)可 虑 考圆

l′上 由 l 与 l′方 联 求 心 , 程立圆. l相 , 切 则 (一)d=r;(二)Δ=0.应 别 意 特注圆 P的 义 含.
2

⑤圆 C 截 线 l 得 AB, 半 直 弦 则弦

+心 弦距

2

=半 2. 径

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(文)02 ( 1· 2

潍模 坊 拟 )当 a 为 意 数 , 线 任实时直 C, 以 C 为 心 半 为 则 圆,径

(a-1)x-y 5的 的 圆方

+a+1=0 恒 定 过点 程 ( 为 )

A.x2+y2-2x+4y=0 B .x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D .x2+y2-2x-4y=0

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解 : 由(a-1)x-y+a+1=0 得(x+1)a-(x+y-1)=0, 析 ∴该 线 过 直 恒 点 =5. (-1,2),∴所 圆 方 为 求 的 程 (x+1)2+(y-2)2

答案:C

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x2 y2 (理)以双曲线 - =1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐 6 3 近相的的程 线切圆方是 ( )

A.x2+y2-2 3x+2=0 B.(x-3)2+y2=9 C.x2+y2+2 3x+2=0 D.(x-3)2+y2=3

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解: 双线焦 析 曲右点 半 r= 3, 圆 程 径 故方为

F(0 3) ,

,近方 渐线程

2 y=± x, 圆 故 2

(x-3)2+y2=3.

答案:D

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点与圆的位置关系

[例 3]

x2 y2 1 设椭圆 2+ 2=1(a>b>) 的离心率为 e= ,右焦 0 a b 2 x1 和 x2,

点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的 个 根 别 两实分为 则点 P(x1,x2)( )

A.必在圆 x2+y2=2 内 B.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有可能

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分 : 判 点 P 与 x2+y2=2 的 置 系 只 比 析 断 圆 位 关 ,需 较
2 +x2与 2 的 小 由 程 大 ,方

x2 1

两根 实为
2

2 x1,x2, 将 x1+x2用 a、b、 可 2

c表 , 用 示利

1 a +b =c , e= , 获 . 及 可解 2
2 2

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c 1 解 : ∵e= = ,∴a=2c,∴b2=a2-c2=3c2. 析 a 2
2 ∴x1+x2=(x1+x2)2-2x1x2 2

? b? 2c 3c2 7 2 =?-a? + = 2+1= <. 2 a 4c 4 ? ?

∴点 P(x1,x2)在 内 故 圆.选

A.

答案:A

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(文)已 圆 C:x2+y2+ax+2y+a2=0 和 点 A(2 知 定 1) , 使 点 A 的 C 的 线 两 ,实 过 圆 切 有 条则 数 2 3 2 3 A.(- , ) 3 3 C.(-∞, ∞) + a的 值 围 取范是 (

, 要 )

3 3 B.(- , ) 3 3 D.(0, ∞) +

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解 : 解 1: 条 析 法 由 件 知 点 A在 外 , 圆, ∴12+22+a+2×2+a2>0,∴a2+a+90 ,∴a∈R, > 又程示, 方表圆 ∴a2+4-4a2>0,

2 3 2 3 ∴- 3 <a< 3 , 选 A. 故

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解法 2: 过 方 得 的 准 程 通 配 可 圆 标 方 为 4-3a2 = 4 . 依 据 题 意 , 点 A(2 1) , 4-3a2 1)2> >0, 得 数 解实 4

a2 (x+ ) +(y+1)2 2

a 2 在 圆 外 , 得 (1 + 2 ) + (2 + 2 3 2 3 (- , ). 3 3

a的 值 围 取范是

答案:A

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(理)已 点 P(a,b)在圆 C:x2+y2=4 内 则 线 知 ,直 +1=0 与 C 的 置 系 圆 位关是 A. 交 相 C. 离 相 ( )

ax+by

B. 切 相 D. 能 定 不确

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解 : ∵点 P(a,b)在圆 x2+y2=4 内 ∴a2+b2<4, 析 , 圆到线离 心直距 ∴直 与 线圆 1 1 1 d= 2 2 . 2>2,∵2< a +b C位 关 不 确 . 置系能定

答案:D

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与圆有关的轨迹问题

[例 4]

(01 21·

海淀检测)点 P(4, -2)与圆 x2+y2=4 上任 )

一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1

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解: 设上一为 析 圆任点 ? 4+x0 ?x= 2 ? 则? ? -2+y0 ?y= 2 ? =4 上 所 ,以 +(y+1)2=1.

Q(x0,y0),PQ 的 点 中为
?x =2x-4 ? 0 ? ?y0=2y+2 ?

M(x,y),

,得 解

,为 因点

Q 在 x2+y2 圆

2 x0+y2=4, (2x-4)2+(2y+2)2=4, (x-2)2 即 即 0

答案:A

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由 点 M 向⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1 引 条 线 动 两切 MB, 点 切为 ________. A、B,若 MA⊥MB, 动 则点

MA、

M 的迹程 轨方为

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解: 已圆圆 析 知的心

C(3 2) ,

与 M、A 构 Rt△MC , 点 成 A

由 件 MA⊥MB 知 ∠A C =45° 条 , M , 从 |MC|2=|MA|2+|AC|2=2, 而 故 M的 迹 以 点 轨是 为(x-2)2+(y-3)2=2.
答案:(x-2)2+(y-3)2=2

C(3 2) ,

为心半为 圆、径

2的 , 程 圆方

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与圆有关的最值问题

[例 5]

已知圆 O 的 径 半为

1,PA、PB 为该圆的两条切 )

→→ 线,A、B 为两切点,那么PA· 的最小值为( PB A.-4+ 2 C.-4+2 2 B.-3+ 2 D.-3+2 2

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解: 如所: 析 图示设
2

PA=PB=x(x>) ,∠AO =α,则∠ 0 P

1 APB=2α,PO= 1+x ,s α= n i 2, 1+x

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→ → → → ∴ PA · = | PA|· PBcs PB | |o 2

x2?x2-1? α = x2(1 - 2 2α) = 2 s n i = x +1

x4-x2 x4-x2 → → , PA· =y, y= 2 令 PB 则 , x4-(1+y)x2-y=0, 即 2 x +1 x +1 ∵x2 是 数 实, ∴Δ=[-(1+y)]2-4×1×(-y)=y2+6y+1≥0,

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解 y≤-3-2 2或 y≥-3+2 2. 得 → → 故(PA· )m = 3+2 2, 时 x= PB ni - 此 2-1.

答案:D

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x4-x2 点 : 对 y= 2 评 求小,可基不式令 最值还用本等, x +1
2

x2

?t-1??t-2? 2 +1=t, t>1, =t-1, 则 x ∴y= =t+ t -3≥2 2- t 2 3.等 在 t= ,即 t= 2时 立 ∴x= 号 成, t 3. 2-1时 ym =2 2- n i

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(文)01 ( 1· 2 上动, 的点点 的小是 最值 9 A.5 4 C.5 (

皖八联 南校考

)已 点 知

M是线 直

3x+4y-2=0 |MN|

N 为 (x+1)2+(y+1)2=1 上 动 , 圆 的点则 ) B.1 13 D. 5

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解 : 圆 (-1, 1)到 M 的 离 最 值 点 析 心 - 点 距的小为 -1)到 线 距 直的离 的小为 最值

(-1,

|-3-4-2| 9 d= =5, 点 N 到 M 的 离 故 点 距 5

4 d-1= . 5

答案:C

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(理)02 ( 1· 2 动 ,点 点过 点别 分为

河保模 北定拟

)设 P 为 线 3x+4y+3=0 上 直 的

P 作 C:x2+y2-2x-2y+1=0 的 条 线 切 圆 两切, A, 则 边 B,四 形 PC AB B.45° D.120° 的积小, 面最时 ∠APB=( )

A.6° 0 C.3° 0

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解 : ⊙C:(x-1)2+(y-1)2=1,∵PA、PB 是⊙C 的 析 两 条线 切 , ∴ PC ≌ PBC,∴四 形 PC △ A △ 边 AB PC 面 最 , A 积小 面最, 积小即 △

∵AC 为⊙C 的 径 半 , ∴只要 PA 取 小 , 最值 ∴PC 与 知 线 直 已直垂,

从 PC 取 小 , 而 最值

∴|PC|=2,∴ APB=2∠APC=6° ∠ 0 .

答案:A

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综合应用

[例 6]

x y 已知直线 + =1(a、b 是非零常数)与圆 x2+y2 a b

=100 有 共 , 公 点 横 标 纵 标 为 数 那 公点且共的坐和坐均整, 么这样的直线共有( A.60 条 ) B.66 条 C.72 条 D.78 条

第八章

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解 :在 一 限 圆 析 第象内 (6 8) , , 点 (0) 又 10 , ∴由 称 知 对性 有 12 个 . 过 12 个 的 这 点圆 ,(1) 00 ,

x2+y2=10 上 整 点 有 0 的数只 在上 圆,

(8 6) ,



x2+y2=100 上 、 坐 均 整 的 共 横纵 标 为 数 点

x2+y2=100 的 线 切有

12 条 割 有 ,线

11×12 =66 条 共 78 条 , . 2

第八章

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其垂于标的 中直坐轴有

14 条 过 点 坐 轴 垂 的 ,原与标不直

有 4 条 ∴共 78-18=60 条 , 有 .

答案:A

第八章

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已不 式 知 等 组

?x≥0, ? ?y≥0, ?x+2y-4≤0. ?

表的 面域 好 圆 示平 区 恰 被

C:(x-a)2+(y-b)2=r2 及 内 所 盖 则 积 小 其部覆,面最的 的程 方为 ( )

圆C

A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=8 C.(x-4)2+(y-1)2=6 D.(x-2)2+(y-1)2=5
第八章 第二节

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解: 由意此面域示是 析 题知平区表的以 Q(2 0) , 为点三 形 其部且 顶的 角 及内, △OQ P

O(0 0) ,

,P(0 4) ,



是直角三角形, (1 2) , , 半

所 覆 它 且 积 小 圆 其 接 ,圆 是 以 盖 的 面 最 的 是 外 圆故 心 径 是 5, 以 所圆 C的 程 方 是 (x-2)2+(y-1)2=5.

答案:D

第八章

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课堂巩固训练

第八章

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一、选择题 1.(文)圆心在抛物线 y2=2x(y>0)上,并且与抛物线的准 线及 x 轴都相切的圆的方程是( 1 A.x +y -x-2y-4=0
2 2

)

B.x2+y2+x-2y+1=0 C.x2+y2-x-2y+1=0 1 D.x +y -x-2y+4=0
2 2

[答案] D
第八章 第二节

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[解 ] 析 线准及 的线
2

抛线 物

y =2x(y>) 的 线 0 准为

2

1 x= - ,与物 圆抛 2 1 y=x+2(y>) 上 与 0 ,

x 轴相,圆在线 都切则心直

y =2x(y>) 联 可 圆 的 标 0 立得心坐为
? 1?2 为?x-2? +(y-1)2=1, 即 ? ?
2 2

?1 ? ? ,1?, 径 半为 ?2 ?

1, 方 则程

1 x +y -x-2y+4=0.

第八章

第二节

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(理)02 ( 1· 2

乌木二 鲁齐诊

)已 直 知线

3x+4y-24=0 与 标 坐

轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上,则该圆的半径是 ( ) A.3 C.5 B.4 D.6

[答案] C

第八章

第二节

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[解析] A(0 8) , ,B(6 0) ,

直线 3x+4y-24=0 与 标 的 个 点 坐 轴 两 交 为 ,由 知 AB 为圆的直径,且|AB|=10, 题

∴圆的半径是 5.

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2. 点 A(1,-1),B(-1,1), 圆 在 线 过 且心直 上圆方是 的的程 ( )

x+y-2=0

A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4

[答案] C

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[解 ] 析

解 1: 圆 法 设心

C(x0,2-x0), |AC|=|BC|, 则

∴(x0-1)2+(3-x0)2=(x0+1)2+(1-x0)2,∴x0=1,∴圆 心 C(1 1) , , 选 C. 故 y=x, ,∴圆 C(1 心 1) , , 选 C. 故

解 2:AB 的 垂 方 为 法 中线程
?x+y-2=0 ? 由? ?y=x ? ?x=1 ? 得? ?y=1 ?

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解法 3:由圆心在直线 x+y-2=0 上 除 B、D,由点 排 B(-1,1)在圆上排除 A,故选 C.

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二填题 、空 3.(文)一 光 从 条线点 A(-1,1)出 , 发经 x轴 射 反 到 ⊙C: ________.

(x-2)2+(y-3)2=1 上 则 走 的 短 程 ,光过最路为

[答案] 4

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[解 ] 析 |BC|-1=4.

A(-1,1)关 x 轴 对 点 于 的称

B(-1,-1),C(3 2) ,



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(理)实数 x、y 满足 x2+(y+4)2=4,则(x-1)2+(y-1)2 的最大值为________.

[答案] 30+4 26

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[解 ] 析 y)到(1 1) ,

(x-1)2+(y-1)2 表 圆 x2+(y+4)2=4 上 点 (x, 示 动

点 离 d的 方 距 平 . ∵ 26-2≤d≤ 26+2,∴最 值 大

为( 26+2)2=30+4 26.

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三解题 、答 4. 直 坐 系 在角标 y=4 相 . 切 () 求 O 的 程 1 圆 方; () 圆 O 与 x 轴 交 2 相于 |PO|、|PB|成 比 列 求 等数, A、B 两 , 内 动 点圆的点 → → PA· 的 值 围 PB 取 范 . P 使|PA|、 xy 中 以 O 为 心 圆 直 O , 圆的与线 x- 3

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[解 ] 析

() 依 设 圆 1 题,

O的径 r等原 半 于点

O到线 x 直

- 3y=4 的 离 即 距, ∴圆 O 的 程 方为

4 r= =2, 1+3 x2+y2=4. .

() 由() 知 A(-2,0),B(0 2 1 2) ,

设 P(x , y) , 由 |PA| 、 |PO| 、 |PB| 成 等 比 数 列 得 , ?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2,

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即 x2-y2=2 . → → PA· =(-2-x,-y) -x,-y)=x2-4+y2 PB ( 2 · =2 y2-1 . ( ) 由于点 P 在圆 O 由此得 y2<. 1 → → 所以PA· 的取值范围为[-2 . PB 0 ,)
?x2+y2<4, ? 内,故? 2 2 ?x -y =2, ?

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