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2016届河北省正定中学高三上学期期中考试数学试题【解析版】

时间:2015-12-29


2016 届河北省正定中学高三上学期期中考试 数学试题及解析
一、选择题 1.复数 z ? A. 1 【答案】B 【解析】 试题分析: 因为 z ?

2 ,则复数 z 的模是( 1? i
B. 2

) C. 3 D. 2 2

2 2(1 ? i) 2 2 所以 z ? 1 ? i ? 1 ? 1

? 2 , ? ? 1? i , 1 ? i (1 ? i)(1 ? i )

故应选 B . 【考点】1、复数的概念;2、复数的四则运算; 2.等比数列 ?a n ?中, a3 a5 ? 64 ,则 a 4 ? ( A. 8 【答案】C
2 2 【解析】试题分析:由等比数列的性质知, a3a5 ? a4 ,所以 a4 ? 64 ,所以 a4 ? 8 或

) D. 16

B. ? 8

C. 8 或 ? 8

a4 ? ?8 ,故应选 C .
【考点】1、等比数列的性质. 3.若命题 p :

x ? 0 ,命题 q : x2 ? 2 x ,则 p 是 q 的( x ?1
B.必要不充分条件 C.充要条件

) D.既不充分也不必要条

A.充分不必要条件 件 【答案】A

【解析】试题分析:因为

x ? 0 , 所 以 x( x ? 1)? 0, 所 以 0 ? x ? 1 , 即 命 题 x ?1

p : 0 ? x ? 1;而 x2 ? 2 x ,所以

0 ? x ? 2 ,即命题 q : 0 ? x ? 2 ,所以命题 p : 0 ? x ? 1 可推出命题 q : 0 ? x ? 2 ,但命
题 q : 0 ? x ? 2 不能推出命题 p : 0 ? x ? 1 ,所以 p 是 q 的充分不必要条件,故应选 A . 【考点】1、充分条件;2、必要条件. 4.已知向量 a ? (1, 2) , a ? b ,则 b 可以为( A. (1, 2) 【答案】D B. (1, ?2) C. (2,1)

?

?

) D. (2, ?1)

? x ? 2 y ? 0 ,即 x ? ?2 y ,满足 b 【解析】试题分析:设 ? ( x, y) ,则由 a ? b 可得:
这个等式的只有选项 D , 其中选项 A ,

y ? 2x , y ? ?2 x ,选项 C ,x ? 2 y , 选项 B ,

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故应选 D . 【考点】1、平面向量的数量积;2、平面向量的坐标运算. 5.命题“存在 x0 ? R, 使得 2 A.不存在 x0 ? R, 使得 2 B.存在 x0 ? R, 使得 2
x0
x0

x0

? 0 ”的否定是(



?0

?0

C.对任意 x ? R,2 x ? 0 D.对任意 x ? R,2 x ? 0 【答案】C 【解析】试题分析:由特称命题的否定为全称命题可知,命题“存在 x0 ? R, 使得

2 x0 ? 0 ”的否定为:对任意 x ? R,2 x ? 0 ,故应选 C .
【考点】1、全称命题;2、特称命题. 6.已知 sin(

?
3

? ? ) ? sin ? ?

7? 4 3 ) 的值是( ,则 sin(? ? 6 5
C.



A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D. ?

4 5

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 sin(

?
3

? ? ) ? sin ? ?

4 3 , 所 以 5

sin

?
3

cos ? ? cos 3 2

?
3

sin ? ? sin ? ? 4 5

4 3 3 3 4 3 , 即 , 所 以 c o? s? s ? i?n 5 2 2 5


1 c o? s? 2
s in(? ?

s ? i?n



? 4 s i ? ?n ? ( 6 5



) 所



7? ? ? 4 ) ? s in(? ? ? ? ) ? ? s in(? ? ) ? ? ,所以应选 D . 6 6 6 5

【考点】1、两角的正弦公式;2、三角函数的诱导公式. 7.设 x, y 均为正实数,且

3 3 ? ? 1,则 xy 的最小值为( 2? x 2? y
C.9



A.4 【答案】D

B. 4 3

D.16

【解析】试题分析:因为

3 3 3 3 ? ?1,所以 0 ? ? 1, 0 ? ?1 ,即 2? x 2? y 2? x 2? y

试卷第 2 页,总 16 页

x ? 1, y ? 1







x?

y ?8 y ?1







xy ?

y ?8 y 2 ? 8 y ( y ? 1)2 ? 10( y ? 1) ? 9 9 ?y? ? ? ( y ? 1) ? ? 10 ,应用基本 y ?1 y ?1 y ?1 ( y ? 1)

不等式可得:

xy ? ( y ? 1) ?

9 9 ? 10 ? 2 ( y ? 1) ? ? 10 ? 16 ( y ? 1) ( y ?1) ,故应选 D .

【考点】1、基本不等式的应用. 8.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足①对任意的 x 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) 成立;②当

x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 2 ? 2 | x ?1| ,则 f ( x ) ?
A. 3 【答案】B B. 4

1 在 [?4, 4] 上根的个数是( |x|
C. 5

) D. 6

【解析】试题分析:因为对任意的 x 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) 成立,所以奇函数 f ( x ) 是周

?2 x , 0 ? x ? 1 f ( x ) ? 2? 2 |x ? 1? | ? 期为 4 的周期函数.当 x ? [0, 2] 时, ??2 x ? 4,1? x ? 2,则
f ( x) ? 1 1 y? | x | 在 [?4, 4] 上根的个数等价于函数 f ( x) 与函数 | x | 的图像的交点个

数.由图可知,其交点的个数为 5 个,故应选 B .

【考点】1、函数的周期性;2、分段函数;3、函数与方程. 【思路点睛】本题主要考查了方程的根的存在性及个数判断、函数的周期性和函数的奇 偶性,体现了化归与转化的数学思想,属中档题.其解题的一般思路为:首先由题意可

1 得奇函数 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数, 然后将问题 “ f ( x) ? 在 [?4, 4] 上根的个数” |x|

转化为“函数 f ( x ) 与函数

y?

1 | x | 的图像的交点个数” ,再分别作出两个函数的图像并

结合函数图像得出所求的结果即可.
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9 .函数 f ( x) ? A sin ( ?x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ?

?
2

) )的图象如图所示,为了得到

g ( x) ? cos?x 的图象,则只要将 f ( x) 的图象(



? 个单位长度 12 ? B.向右平移 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 6 ? D.向右平移 个单位长度 6
A.向左平移 【答案】A 【解析】试题分析:由图像可知, A ? 1 ,

7? ? T 2? ? ? ,所以 T ? ? ,由 T ? 可得 12 3 4 ? 7? 7? ? ? 2 , 所 以 函 数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 又 因 为 f ( ) ? sin( ? ? ) ? ?1 , 所 以 12 6 7? 3? ? ? ? ?? ? ? 2k? , k ? Z ,即 ? ? ? 2k? , k ? Z ,又因为 ? ? ,所以 ? ? , 6 2 3 2 3

所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?

3

) ? sin(2 x ?

?

可知,将函数 f ( x ) 向左平移 故应选 A .

? ? ? 个单位长度可得到 y ? cos[2( x ? ) ? ] ? cos 2 x , 12 12 6

? ) ? cos(2 x ? ) ,由三角函数的图像的变换 2 6 6

?

?

【考点】1、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像变换;2、三角函数的诱导公式. 10.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? an ? 2 an ? 1 ? 1 ,则 a13 ? ( A. 143 【答案】C B. 156 C. 168 ) D. 195

【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为

an?1 ? an 2 ?

an 1 ?

, 1 ? 所 以

an?1 ? 1 ? an?1

? ?1 ? ?

an 1 ? an ? 1 ? 1

?

2

2 ? an

,即 1 ?

1 ?
,即 an?1 ? 1 ? an ? 1 ? 1

?

2

,等式两边开方可得:

an?1 ? 1 ? an ? 1? ,所以数列 1

?

an ? 1 是以首项为 1,公差为 1 的等差数列,所

?

以 an ? 1 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,所以 an ? n2 ? 1,所以 a13 ? 132 ?1 ? 168 ,故应选 C . 【考点】1、由数列的递推公式求数列的通项公式;2、等差数列.

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11 . 已 知 O 为 ?ABC 的 外 心 , AB ? 2 , AC ? 4 , 若 A O ? x A B ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? y A, C且

??? ? x ? 4 y ? 2 ,则 OA ? (
A. 1 【答案】B

) B. 2 C. 2 D. 4

【 解 析 】 试 题 分 析 : 画 出 草 图 , 如 下 图 所 示 . 因 为 AO ? x AB ? y AC , 所 以

???? 2 ??? ? ???? ??? ? ???? AO ? xAB ? AO ? y AC ? AO ,又因为 O 为 ?ABC 的外心,点 D, E 分别为 AB, AC 的
中 点 ,

OD, OE













线





??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 1 ??? ?2 AB ? AO ? AB AO cos ?DAO ? AB AD ? AB ? 2 , 2 ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? 1 ???? 2 AC ? AO ? AC ? AO cos ?OAE ? AC ? AE ? AC ? 8 , 2 ???? 2 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 所以 AO ? xAB ? AO ? y AC ? AO ? 2 x ? 8 y ? 2( x ? 4 y) ? 4 ,所以 OA ? 2 ,故应选
B.

【考点】1、三角形的外心的性质;2、平面向量数量积的应用; 【思路点睛】 本题考查了三角形的外心的性质、 平面向量数量积的运算和向量模的求解, 渗透着转化与化归的数学思想,考查学生综合运用知识的能力和分析计算能力,属中档 题 . 其 解 题 的 一 般 思 路 为 : 首 先 将 已 知 AO ? x AB ? y AC 变 形 为

??? ? ???? ??2 ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? AB ? AO , ,然后根据向量数量积的几何意义分别求出 A O ? x A? B A ? O y? A C AO
???? ???? AC ? AO ,进而可得出关于 x, y 的代数式, 最后利用 x ? 4 y ? 2 整体求解即可得出所求
的结果. 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? ( x ? a) ? (ln x ? 2a) , 其 中 x ? 0, a ? R , 存 在 x0 , 使 得
2 2 2

f ( x0 ) ?
A.

1 5

4 成立,则实数 a 的值为( 5 2 B. 5

) C.

1 2
2

D.1

【答案】A 【解析】试题分析:函数 f ( x ) 可以看作是动点 M ( x, ln x ) 与动点 N ( a, 2a ) 之间距离 的平方,动点 M ( x,ln x ) 在函数 y ? 2ln x 的图像上, N (a, 2a) 在直线 y ? 2 x 是图像
2

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4 成立就转化为求直线 y ? 2 x 上的动点到曲线的 5 2 ' 最小距离.由 y ? 2ln x 可得, y ? ,令 y' ? 2 ,解得 x ? 1 ,所以曲线上点 M (1,0) x
上,于是问题存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 到直线 y ? 2 x 的距离最小,且最小距离为 d ? 要 使 存 在 x0 , 使 得 f ( x0 ) ?

4 2 2 5 ,则 f ( x ) ? .根据题意, ? 5 5 5

k MN

4 4 成 立 , 则 f ( x0 ) ? , 此 时 点 N 恰 好 为 垂 足 , 由 5 5 2a ? 0 1 1 ? ? ? ,解之得 a ? ,故应选 A . a ?1 2 5

【考点】1、利用导数求曲线上过某点切线的斜率;2、直线方程. 【思路点睛】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率和直线方程,渗透了数形结 合和数学转化思想方法,属中高档题.其解题的一般思路为:首先把函数 f ( x ) 看作是 动点 M ( x, ln x2 ) 与动点 N (a, 2a) 之间距离的平方,然后利用导数求出曲线 y ? 2ln x 上与直线 y ? 2 x 平行的切线的切点,进而得到曲线上点到直线距离的最小值,最后结 合题意可得只有切点到直线距离的平方等于 实数 a 的值. 二、填空题 13.已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? __________. 【答案】 2 . 【 解 析 】 试 题 分 析 : 在 正 方 形

4 , 于是由两直线斜率的关系列式即可求出 5

??? ? ??? ?

ABCD



, 因 为

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? AE ? AD ? DE ? AD ? DC ? BC ? BA , BD ? BC ? BA , 所 以 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ?2 1 1 AE ? BD ? ( BC ? BA)( BC ? BA) ? BC ? BC ? BA ? BA ? 4 ? ? 0 ? ? 4 ? 2 2 2 2 2 2
,故应填 2 . 【考点】1、平面向量的数量积的应用.

?x ? y ? 2 1 ? 14.若 x , y 满足不等式组 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最小值是__________. 2 ?y ? 2 ?
【答案】

3 . 2

【解析】试题分析:首先根据已知条件画出其约束条件如下图所示,然后将目标函数

z?

1 1 1 x? y z ? x? y y ?? x?z 2 2 2 进行变形为: ,所以要使得目标函数 的最小值,

由图可知,当其过点 B(1,1) 时,取得最小值,且为

1 3 3 zmin ? ?1 ? 1 ? 2 2 ,故应填 2 .

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【考点】1、简单的线性规划. 15.由直线 x ? y ? 2 ? 0 ,曲线 y ? x3 以及 x 轴围成的图形的面积为__________. 【答案】

3 . 4

【解析】试题分析:首先根据已知条件画出其所表示的图形的面积,然后将所求的面积 分 为 两 部 分 : 第 一 部 分 为 曲 边 梯 形 ABD , 第 二 部 分 为 直 角 三 角 形 BCD , 所 以

S1 ? ? x 3 dx ?
0

1

1 4 x 4

1 0

?

1 1 1 S 2 ? ? 1? 1 ? 4 , 2 2 , 所 以 所 求 的 面 积 为

S1 ? S 2 ?

3 1 1 3 ? ? 4 2 4 ,故应填 4 .

【考点】1、定积分的几何意义;2、微积分基本定理. 【思路点晴】本题考查了定积分的几何意义和微积分基本定理,渗透着数形结合的数学 思想,属中档题.其解题的一般思路为:首先根据已知条件可画出其所表示的区域,然 后对其进行适当分割, 转化为求两部分面积即一个是曲边梯形和一个直角三角形的面积 之和,再运用微积分基本定理和三角形的面积公式即可求出所求的答案.其解题的关键 是正确的表示所求的区域的面积和适当的分割.

16.等差数列

{an }

的前 n 项和为

Sn

f ( x) ?
,已知

2x ? 1 2014? f (a2 ? 2) ? sin x 3 , 2 ? 1 ,且

f (a2014 ? 2) ? cos
【答案】 4030 .

2015? 6 ,则 S2015 =__________.

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【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为

f (a2 ? 2?)

2 0? 1 4 s i n ?? 3

?

3 ?? s i n, 3 2

2015? ? 3 2a2 ?2 ? 1 3 , 所 以 f (a2 ? 2) ? a ? 2 , f (a2014 ? 2) ? cos ? cos ? ?? 2 6 6 2 2 ?1 2
f (a2014 ? 2) ? 2a2014 ?2 ? 1 3 ? a2014 ? 2 2 ?1 2
, 解 之 得

a2 ? 2 ? log 2

2? 3 2? 3



a2014 ? 2 ? log 2

2? 3 2? 3 2? 3 ,所以 (a2 ? 2) ? (a2014 ? 2) ? log 2 ? log 2 ? 0, 2? 3 2? 3 2? 3
a1 ? a2015 a ? a2014 ? 2015 ? 2 ? 2015 ? 4030 ,故应填 2 2

所以 a2 ? a2014 ? 4 ,所以 S 2015 ?

4030 . 【考点】1、等差数列的前 n 项和;2、等差数列的性质;3、三角函数求值.

【思路点晴】本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的前 n 项和和三角函数求值, 考查学生综合知识运用能力,属中高档题.其解题的一般思路为:首先由已知等式

f (a2 ? 2) ? sin

2014? 2015? , f ( a2014 ? 2) ? cos ,可解出 a2 ? 2 , a2014 ? 2 的值, 3 6

进而得出 a2 ? a2014 的值,然后运用等差数列的性质可知 a2 ? a2014 ? a1 ? a2015 可求出所 求的结果. 三、解答题 17 . 设

?ABC 的 内 角

A, B, C

的 对 边 分 别 为

a , b, c , 若

2 c Bo s A ?s i n A ?

1 a ? 2, cos C ? 2 s A ? i,且 n B s i n ( 4 ,求 b ) 及 ?ABC 的面积.

1 【答案】 b ? 4 , S?ABC ? ? 2 ? 15 ? 15 . 2 【解析】试题分析:首先由两角差的正弦展开公式和两角和的正弦公式可将已知等式化 简成
sin( A ? B) ? sin C ? 2sin A ,然后正弦定理可得 c ? 2a ,进而可求出 c 的值,再在 ?ABC

中运用余弦定理公式 即可求出边长 b 的大小,进而得出 ?ABC 的面积. 试 题 解 析 :

? 2cos B sin A ? 2sin A ? sin( A ? B)
? 2 cos B sin A ? 2sin A ? sin A cos B ? cos A sin B
即 sin A cos B ? cos A sin B ? 2 sin A ? sin( A ? B) ? sin C ? 2sin A

?c ? 2a ,

c?4

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2 2 2 又 c ? a ? b ? 2ab cos C 即 16 ? 4 ? b -2 ? 2b ?
2

1 ? b 2 ? b ? 12 ? 0 4

解得 b ? ? 3

(舍去)或 b ? 4 .

1 ? S?ABC ? ? 2 ? 15 ? 15 . 2
【考点】1、三角函数的恒等变换;2、正弦定理;3、余弦定理. 18.某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售一件该商品可获利润 50 元.供大 于求时,剩余商品全部退回,但每件商品亏损 10 元;若供不应求,则从外部调剂,此 时每件调剂商品可获利 30 元. (1) 若商店一天购进该商品 10 件, 求当天的利润 y (单位: 元) 关于当天需求量 n(单 位:件, n ? N * )的函数解析式; (2)商店记录了 50 天该商品的日需求量 n (单位:件) ,整理得下表:

若商店一天购进 10 件该商品, 以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求该商品一天的利润 X 的分布列及平均值. 【答案】 (1) y ? ?
* ? ?60n ? 100,1 ? n ? 10, n ? N ; (2)利润 X 的分布列为: * 30 n ? 200, n ? 10, n ? N ? ?





X













9 11 3 1 1 2386 ? 440 ? ? 500 ? ? 530 ? ? 560 ? ? (元) . 50 50 10 5 10 5 【解析】 试题分析: (1) 根据题意可利用利润等于获利与亏损之差, 分段求出当1 ? n ? 10 EX ? 380 ?
时,利润 y 的表达式;当 n ? 10 时,利润 y 的表达式; (2)首先分别写出日需求量为 8、 9、10、11、12 的利润值,然后根据已知表格分别求出其出现的频率即所求的概率,再 将其列成表格得到该商品一天的利润 X 的分布列并计算其平均值.

0 时,y ? 50n ? (10 ? n) ? (?10) ? 60n ? 100 , 试题解析: (1) 当 1 ? n ?1 当 n ? 10 时,
y ? 50 ? 10 ? (n ? 10) ? 30 ? 30n ? 200
* ? ?60n ? 100,1 ? n ? 10, n ? N y?? ; * 30 n ? 200, n ? 10, n ? N ? ?

















(2)∵日需求量为 8、9、10、11、12 的利润分别为 380、440、500、530、560. 其概率分别为

9 11 3 1 1 , , , , , 50 50 10 5 10

? 利润 X 的分布列为:

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X













EX ? 380 ?

9 11 3 1 1 2386 ? 440 ? ? 500 ? ? 530 ? ? 560 ? ? (元) . 50 50 10 5 10 5

【考点】1、频率分布表;2、离散型随机变量的分布列;3 数学期望.
2 2 19.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 an ? 0, a1 ? 1 ,且 an , 2Sn , an ?1 成等比数列,

n ? N*.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,求证 Tn ? 2 . 2 an
案 】 ( 1 )





an ? n





2



? bn ?
? 1 ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1) ? n 2 3 n n
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ) ? 2? ? 2 . 2 2 3 n ?1 n n

2 2 【解析】 试题分析: (1)首先由 an , 2Sn , an ?1 成等比数列,可得出 2Sn ? an ? an ?1 ,然

后运用公式 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 可得出 an?1 ? an?1 ? 2 ,由此可得出 a1, a3 , a5 ,?, a2n?1 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,a2, a4 , a6 ,?, a2n 是首项为 2,公差为 2 的等差数列, 进而得出数列 {an } 是等差数列,从而得出其通项公式; (2)结合(1)可得: bn ? 然后结合不等式 bn ?
1 , n2

1 1 1 1 ? ? ? 并对其进行求和即可得出所证明的结论. 2 n(n ? 1) n ? 1 n n

2 2 2 试题解析: ( 1 ) 由 已 知 得 : 4Sn ? an ? an ?1 , 又 ? an ? 0 , ? 2Sn ? an ? an ?1 ,

? 2a1 ? a1 ? a2 ,? a2 ? 2 ,当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? an?1 ? an , ? 2an ? an (an?1 ? an?1 ) , ? an?1 ? an?1 ? 2 ,? a1 ? 1, a2 ? 2 ,
? a1, a3 , a5 ,?, a2n?1 是首项为 1,公差为 2 的等差数列;? a2, a4 , a6 ,?, a2n 是首项为 2,
公差为 2 的等差数列;?{an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,? an ? n . (2)因为 bn

?

1 n2

,所以 bn

?

1 1 ? 2 n(n ? 1) ,所以 n
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Tn ? 1 ?
? 1 ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1) ? n 2 3 n
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ) ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n

【考点】1、等比数列;2、等差数列;3、放缩法证明数列不等式. 20.直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 1 , E , F 分别是 CC1 , BC 的中点,

AE ? A1B1 , D 为棱 A1B1 上的点.
(1)证明: DF ? AE ; (2)是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 若存在,说明点 D 的位置,若不存在,说明理由.

14 ? 14

【 答 案 】( 1 ) 证 明 : ∵ AE ? A1B1 , A 1B 1 / / AB,? AE ? AB , 又 ∵

AA1 ? AB, AA1 ? AE ? A ∴ AB ⊥ 面 A1 ACC1 . 又 ∵ AC ? 面 A1 ACC1 , ∴
AB ? AC ,以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,





1? ?1 1 ? ? A ? 0, 0, 0 ? , E ? 0,1, ? , F ? , , 0 ? , A1 ? 0, 0,1? , B1 ?1, 0,1? 2? ?2 2 ? ?
1且





D? ,

? ? ? x? , 1 y? ? , z

?

? ? ? 即 A? D? , A 1 ? ? 0,1

, ? xB

?

? ? y,? ?z? ? 1

( ,1 则 , 0 , 0 )

???? ? 1 ??? ? ? ? 1 1 1 1 ? ???? ??? ? D(? ,0,1),? DF ? ? ? ? , , ?1? ∵ AE ? ? 0,1, ? ,? DF ? AE ? ? ? 0 , 所 以 2 2? 2 2 ?2 ? ?
试卷第 11 页,总 16 页

DF ? AE ;
(2)结论:存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为

14 14 .

【解析】试题分析: (1)首先根据已知条件可得出 AB ⊥面 A 1 ACC1 ,由线面垂直的性 质定理可得 AB ? AC ,然后以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,并

D 的坐标, 写出各点的坐标并设 D ? x, y, z ? , 于是由 A 进而由空间 1D ? ? A 1B 1 可得出点
向量的数量积的坐标运算可得出 DF ? AE ,即可得出证明结果; (2)根据(1)中建立 的 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 分 别 求 出 平 面 DEF 与 平 面 ABC 的 法 向 量 , 然 后 运 用

???? ?

???? ?

???? ??? ?

?? ? m?n ?? ? cos m, n ? ?? ? 即可求出所求的结果. m n

试 题 解 析 :( 1 ) 证 明 : ∵ AE ? A1B1 , A 1B 1 / / AB,? AE ? AB , 又 ∵

AA1 ? AB, AA1 ? AE ? A ∴ AB ⊥ 面 A1 ACC1 . 又 ∵ AC ? 面 A1 ACC1 , ∴
AB ? AC ,以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,





1? ?1 1 ? ? A ? 0, 0, 0 ? , E ? 0,1, ? , F ? , , 0 ? , A1 ? 0, 0,1? , B1 ?1, 0,1? 2? ?2 2 ? ?





D? ,

? ? ? x? , 1 y? ? , z

D? 1 且 A? 1 ? ? 0,1

?

?

?



? 即 A

, ? xB

?

? ? y,? ?z? ? 1

( ,1 则 , 0 , 0 )

???? ? 1 1 ? D(? ,0,1),? DF ? ? ? ? , , ?1? , 2 ?2 ?
∵ AE ? ? 0,1, ? ,? DF ? AE ?

??? ?

? ?

1? 2?

???? ??? ?

1 1 ? ? 0 ,所以 DF ? AE ; 2 2
14 14 ,

(2)结论:存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 理由如下:

试卷第 12 页,总 16 页

由 题 可 知 面 ABC 的 法 向 量 n ? ? 0, 0,1 ? , 设 面 DEF 的 法 向 量 为 n ? ? x, y, z ? , 则

?

?

? ??? ? ? n ? FE ? 0 ? ? ? ???? ? ?n ? DF ? 0





??? ? ? 1 1 1 ? ???? ? 1 1 ? FE ? ? ? , , ? , DF ? ? ? ? , , ?1? 2 ? 2 2 2? ?2 ?





3 ? 1 1 ? 1 x? z ? x ? y ? z ? 0 ? ? 2 ?1 ? ? ? 2 2 ? ? 2 ,即 ? , ? 1 1 1 ? 2? ? ? ?? y? z ? ???x? y ? z ? 0 ? ? 2 2 ?1 ? ? ? ? ?? 2 ?
令 z ? 2 ?1 ? ? ? ,则 n ? 3,1 ? 2?,2 ?1 ? ? ? .∵平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角

?

?

?

14 , 14 ?? ? m?n ?? ? 2 ?1 ? ? ? 14 1 14 ∴ cos m, n ? ?? ? ? ,即 ,解得 ? ? 或 ? 2 2 2 14 14 m n 9 ? ?1 ? 2? ? ? 4 ?1 ? ? ?
的余弦值为

??

7 (舍) ,所以当 D 为 A1B1 中点时满足要求. 4

【考点】1、直线与直线垂直的判定定理;2、线面垂直的判定定理与性质定理;3、空 间向量解立体几何问题的应用. 【易错点睛】本题主要考查了直线与直线垂直的判定定理、线面垂直的判定定理与性质 定理和空间向量解立体几何问题的应用,属中档题.解决这类空间立体几何问题最容易 出现以下几处错误:其一是在运用空间向量求解立体几何问题如证明线线垂直或平行、 线面垂直或平行和面面垂直等,不能结合已知条件建立适当地空间直角坐标系,进而导 致错误;其二是在求解二面角问题时,不知道怎么判断这个二面角的大小,到底是锐角 还是钝角,从而导致错误. 21.已知椭圆 C :

x2 y 2 2 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(? ,点 F1 , F2 , ) ,离心率为 2 2 a b 2 2

分别为其左右焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 y ? 4 x 上存在两个点 M , N ,椭圆上有两个点 P, Q 满足 M , N , F2 三点共线,
2

P, Q, F2 三点共线,且 PQ ? MN ,求四边形 PMQN 面积的最小值.
x2 ? y2 ? 1 【答案】 (1) 2 ; (2)最小值为 4 2 .
【解析】 试题分析: (1) 由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程以及 a, b, c 之间的关系, 联立方程组即可得出所求的椭圆的方程; ( 2)由于直线 MN 的斜率存在还是不存在我 们并不知道,于是分两类进行讨论:当直线 MN 的斜率不存在时,求出其弦长,进而 得 出 四 边 形 的 面 积 ; 当 直 线 MN 的 斜 率 存 在 时 , 设 出 直 线 MN 的 方 程 为

y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,然后将其方程与抛物线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公
式,以及四边形的面积公式即可得出所求的结果.
试卷第 13 页,总 16 页

试题解析: (1)由题意得: e ?

c 2 2 2 ? , a ? b ? c 2 ,得 b ? c, a ? 2c , a 2

因为椭圆过点 A ? ?

? ? ?

1 1 2 3? , , 则 2 ? 2 ? 1, 解得 c ? 1, 所以 a ? 2 , 所以椭圆 C 方 ? ? 2c c 2 2 ?

程为:

x2 ? y 2 ? 1. 2

( 2 ) 当 直 线 MN 斜 率 不 存 在 时 , 直 线 PQ 的 斜 率 为 0 , 易 得

MN ? 4, PQ ? 2 2, S ? 4 2
当直线 MN 斜率存在时,设直线方程为: y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,与 y ? 4 x 联立得
2

k 2 x 2 ? ? 2k 2 ? 4 ? x ? k 2 ? 0 ,令 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
2

4 ? 2, x1 ? x2 ? 1 , k2

MN ? 1 ? k

2

4 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ? 2 ? 4 , ∵ PQ ? MN , ∴ 直 线 PQ 的 方 程 为 : k ?k ?

1 y ? ? ( x ? 1) , k
将 直 线 与 椭 圆 联 立 得 , (k ? 2) x ? 4 x ? 2 ? 2k ? 0 , 令 P( x ) 3, y 3 ) , Q (x 4 ,y 4 ,
2 2 2

x3 ? x4 ?

4 2 ? 2k 2 , x ? x ? , 1 2 2 ? k2 2 ? k2
2

1 ? 4 ? 2 ? 2k 2 2 2(1 ? k 2 ) ? 4 ? ? 由弦长公式 PQ ? 1 ? 2 ? , ? k ? 2 ? k2 ? 2 ? k2 2 ? k2
∴四边形 PMQN 的面积 S ?

1 4 2(1 ? k 2 ) 2 2 MN PQ ? 2 ,令 t ? 1 ? k (t ? 1) , 2 2 k ?2 ? k ?

上式 S ?

4 2t 2 4 2t 2 1 ? 2 ? 4 2(1 ? 2 ) ? 4 2 ,所以 S ? 4 2 .最小值为 t ?1 ? t ? 1? (t ? 1) t ? 1

4 2.
【考点】1、抛物线的方程;2、椭圆的标准方程;3、直线与圆锥曲线的综合问题. 【易错点睛】本题考查了椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的应用,同 时考查直线和椭圆相交的综合问题,考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力,属中 档题.在求解该题过程中容易出现以下几处错误:其一是第二问中考虑问题不全面,往 往漏掉直线的斜率不存在的情形,进而导致出现漏解或错解的情况;其二是在解决直线 与圆锥曲线相交的综合问题中计算出现错误, 进而导致结果的错误或者得不出结论的情 况. 22.已知函数 f ( x) ?

x2 . ln x
试卷第 14 页,总 16 页

(1)求函数 f ( x) 在区间 [e , e] 上的最值;

1 4

4m2 ? 4mx 1 (2) 若 g ( x) ? f ( x) ? (其中 m 为常数) , 当 0 ? m ? 时, 设函数 g ( x) 的 2 ln x
3 个极值点为 a , b, c ,且 a ? b ? c ,证明: 0 ? 2a ? b ? 1 ? c .
2 【答案】 ( 1 ) 函 数 f ( x ) 的 最 小 值 为 2e , 最 大 值 为 e ; (2)由题意得

g ( x) ?

x ? 4m ? 4mx ? x ? 2m ? ? ln x ln x
2 2

2

,

g?? x? ?

? x ? 2m ? ? ? 2 ln x ?
? ln 2 x

2m ? ? 1? x ?

, 令

h ? x ? ? 2 ln x ?


2m 2 x ? 2m ? 1 ,有 h? ? x ? ? ,所以函数 h ? x ? 在 ? 0, m? 上单调递减, x x2

? m, ???

上 单 调 递 增 . 因 为 函 数 g ( x ) 有 三 个 极 值 点 a , b, c 从 而

hm i (n x)? h( m ? )
当0 ? m ?

2 lm n ?

1 ? 1 ?0m ,? e

1 时, h(2m) ? 2ln m ? 0, h(1) ? 2m ? 1 ? 0 ,从而 3 个极值点中,有一个 2

为 2 m ,有一个小于 m ,有一个大于 1 .又 a ? b ? c ,? 0 ? a ? m, b ? 2m, c ? 1 即

0?a?

b , b ? 2m ? 1 ? c ,故 0 ? 2a ? b ? 1 ? c . 2

【解析】试题分析: (1)首先求出函数 f ( x ) 的定义域,然后对其进行求导 f ? ? x ? ,再 分别讨论 f ? ? x ? 大于 0 和小于 0 时自变量 x 的取值范围,即可得出函数 f ( x ) 的单调区 间,进而得出函数在区间上的最大值和最小值; (2)由(1)知函数

x 2 ? 4m2 ? 4mx ? x ? 2m ? ' ,然后对其进行求导 g ? x ? 可知,函数 g ( x) 的极 g ( x) ? ? ln x ln x
2

值问题转化为求函数 h ? x ? ? 2 ln x ?

2m ? 1 的零点问题,再运用导数研究函数 h ? x ? 的 x

增减性和最值得出参数 m 的取值范围,最后结合已知条件即可得出所证明的结果. 试题解析: ( 1 )函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0,1 ? ? ? 1,??? , f ? ? x ? ?

x ? 2 ln x ? 1? ,令 ln 2 x

1 ? 1 ? 当 e 4 ? x ? e 时, f ? ? x ? ? 0 , 函数 f ( x ) 单调递减; f ? ? x ? ? 0 可得 x ? e ? ?e 4 , e ? , ? ?

当 e ? x ? e 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增. ? f ? x ?min ? f

? e ? ? 2e ,又

? 1? f ? e 4 ? ? 4 e , f ? e ? ? e2 , 且 e2 ? 4 e ,所以函数 f ( x) 的最小值为 2e ,最大值为 e 2 . ? ?
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2


2









x ? 4m ? 4mx ? x ? 2m ? g ( x) ? ? ln x ln x
2 2

,

g?? x? ?

? x ? 2m ? ? ? 2 ln x ?
? ln 2 x

2m ? ? 1? x ?

, 令

h ? x ? ? 2 ln x ?


2m 2 x ? 2m ? 1 ,有 h? ? x ? ? ,所以函数 h ? x ? 在 ? 0, m? 上单调递减, x x2

? m, ???

上 单 调 递 增 . 因 为 函 数 g ( x ) 有 三 个 极 值 点 a , b, c 从 而

hm i (n x)? h( m ? )
当0 ? m ?

2 lm n ?

1 ? 1 ?0m ,? e

1 时, h(2m) ? 2ln m ? 0, h(1) ? 2m ? 1 ? 0 ,从而 3 个极值点中,有一个 2

为 2 m ,有一个小于 m ,有一个大于 1 .又 a ? b ? c ,? 0 ? a ? m, b ? 2m, c ? 1 即

0?a?

b , b ? 2m ? 1 ? c ,故 0 ? 2a ? b ? 1 ? c . 2

【考点】1、导数在研究函数的单调性中的应用;2、导数在研究函数的极值或最值中的 应用.

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