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1.1 集合的概念与运算


§ 1.1

集合的概念与运算

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 例:单词 book 中的英文字母组成的集合为{b,o,k} (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或?表示. 例:b ? {b,o,k};a ? {b,o,k} (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. 例:A= {x |

x ? 0} (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N*(或 N+) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R B= {( x, y) | x ? y ? 1 ? 0}

2.集合间的基本关系 关系 自然语言 集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即 若 x∈A,则 x∈B) 集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中 集合 A,B 中元素相同或集合 A,B 互为子集 符号语言 Venn 图

子集

A?B(或 B?A)

真子集

A B(或 B A)

集合相等

A=B

注:空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集 例:A= {x | 0 ? x ? 2} ,B=(0,1) ,C= {x | 0 ? x ? a} 问 A,B 的关系;若 A?B,求 a 的范围 3.集合的运算 集合的并集 图形 符号 A∪B={x|x∈A 或 x∈B} A∩B={x|x∈A 且 x∈B} ?UA={x|x∈U,且 x?A} 集合的交集 集合的补集

4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集个数为 2n 个,非空子集个数为 2n-1 个,真子集 有 2n-1 个.

(2)A?B?A∩B=A?A∪B=B. 例:若 A∩B=B,则 课后练习 b ? ? 1.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=________.2
? ?

:若 A∪B=A,则

2.设集合 A={1,2,3,4,5,6}, B={4,5,6,7,8}, 则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是( A.57 B.56 C.49 D.8 答案 B 3.已知集合 A={x|-1<x<0},B={x|x≤a},若 A?B,则 a 的取值范围为( A.(-∞,0] C.(-∞,0) 答案 B 4.设全集 U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B=________. 答案 {7,9} B.[0,+∞) D.(0,+∞) )

)

5.已知集合 A={(0,1), (1,1), (-1, 2)}, B={(x, y)|x+y-1=0, x, y∈Z}, 则 A∩B=__________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 6.已知集合 A={x|1≤x<5}, C={x|-a<x≤a+3}. 若 C∩A=C, 则 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-1] 7.设集合 A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若 B?A,则实数 a 的取值 范围是________. 解析 因为 A={0,-4},所以 B?A 分以下三种情况: ①当 B=A 时,B={0,-4},由此知 0 和-4 是方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的两个根,由 根与系数的关系,得 Δ=4?a+1? -4?a -1?>0, ? ? ?-2?a+1?=-4, ? ?a2-1=0,
2 2

解得 a=1;

②当 B≠?且 B A 时,B={0}或 B={-4},并且 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得 a=-1,此时 B={0}满足题意; ③当 B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 a≤-1 或 a=1. 答案 (-∞,-1]∪{1} 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓

住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合 B,若已知 A?B 或 A∩B=?,则考生很 容易忽视 A=?而造成漏解.在解题过程中应根据集合 A 分三种情况进行讨论.


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