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2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科) 2


2011 年深圳市高三年级第一次调研考试
一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要 求的.
1.已知 a,b ? R ,若 a ? bi ?(1 ? i)? i3 (其中 i 为虚数单位) ,则 A. a ? ?1,b ? 1 B. a ? ?1,b ? ?1 C. a ? 1,b ?

?1 D. a ? 1,b ? 1

2.已知 p: “a ? 2 ” , q: “直线 x ? y ? 0 与圆 x2 ?( y ? a)2 ? 1相切” .则 p 是 q 的 B.必要非充分条件 C.充要条件 S S 3.已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S1 ? 1 , 4 ? 4 ,则 6 的值为 S4 S2 A. A.充分非必要条件 D. 既非充分也非必要条件

9 4
2

B.

3 2

C.

5 4

D. 4

4. 如图, 圆 O :x 2 ? y

, ??2 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分)

y

随机往圆 O 内投一个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的概率是 A.

4 ?2

B.

4 ?3

2 C. 2 ?

2 D. 3 ?

??

?

?

x

5.在一条公路上每隔 10 公里有一个仓库,共有 5 个仓库.一号仓库存有 10 吨货物,二号 仓库存有 20 吨货物,五号仓库存有 40 吨货物,其余两个仓库是空的.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里,若 每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费,则最少需要的运费是

10
一号 A.450 元 B.500 元

20
二号

0
三号

0
四号

40
五号

C.550 元

D.600 元

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.2 B .1 C. D. 1 1 1 1 1

2 3

正(主)视图

侧(左)视图

1 3

俯视图 7.设平面区域 D 是由双曲线 x2 ?

y2 ? 1 的两条渐近 4

线和直线 6 x ? y ? 8 ? 0 所围成三

角形的边界及内部.当( x, y )? D 时, x2 ? y 2 ? 2x 的最大值为 A.24 B.25 C.4 D.7
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2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

5],部分对应值如下表. f ( x)的导函数 y ? f ? 8.已知函数 f ( x)的定义域为[?1, ( x) 的图象如图所示.

y x

-1

0 2

4

5

?1 o f ( x)

2 1

4

2

5

x 1

下列关于函数 f ( x)的命题:①函数 y ? f ( x)是周期函数;②函数 f ( x)在[0,2] 是减函数;
t ]时, f ( x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ③如果当 x ?[?1,

④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x)? a 有 4 个零点. 其中真命题的个数有 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

二、填空题:
9.已知全集 U ? R ,集合 A 为函数 f ( x) ? ln( x ? 1)的定义域,则 ?U A = 10.设随机变量 X ~ N(1, 32 ),且 P( X ? 0) ? P( X ? a ? 6) ,则实数 a 的值为 . .

11.在 ?ABC 中,已知 a,b,c 分别为 ?A ,?B ,? C 所对的边, S 为 ?ABC 的面积.若向量 p ?(4,a2 ? b2 ? c2 ) ,q ?(1,S ) 满足 p // q ,则 ? C = . .

12.已知命题“ ?x ? R , x ? a ? x ? 1 ? 2 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是

13.已知 a 为如图所示的程序框图中输出的结果,则二项式(a x ? 含 x2 项的系数是 .

1 x

)6 的展开式中

开始
a ? 2,i ? 1

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ← ”或 “:=” )

i < 2011




a?

1 1? a

输出 a 结束

a?

1 1? ?1a i?i

14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设 P 是直线 l : ?(cos? ? sin? )? 4 上任一点, Q 是圆 C : ? 2 ? 4? cos? ? 3 上任一点, 则 PQ 的最小值是 .
D

15. (几何证明选讲)如图,割线 PBC 经过圆心 O , OB ? PB ? 1 , OB 绕
120? 到 OD ,连 PD 交圆 O 于点 E ,则 PE ?

点 O 逆时针旋转
E P



C

O

B

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分)

x ? x ? 已知函数 f (x)? 2 3sin( ? )cos( ? )? sin( x ? ?) . 2 4 2 4
(1)求 f ( x)的最小正周期; (2)若将 f ( x)的图象向右平移

? 个单位,得到函数 g( x) 的图象,求函数 g( x) 在区间[0,?] 上的最大值和最小值. 6

17. (本小题满分 12 分) 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募 了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者.将这 30 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm) : 男 9 9 8 8 6 5 0 7 4 2 1 1 15 16 17 18 19 7 1 2 0 女 7 8 9 9 2 4 5 8 9 3 4 5 6 1

若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” ,且 只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高 个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 ? 的分布列, 并求 ? 的数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图, AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上, ?BAC ? 30? , BM ? AC 交 AC 于点 M , EA ? 平面 ABC , FC // EA ,
AC ? 4,EA ? 3,FC ? 1 .

(1)证明: EM ? BF ; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

E

F O ? M C

A

B

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19. (本小题满分 14 分) 已知点 F 是椭圆

x2 , ) 、N(0, n )分别是 x 轴、y 轴上的动点, 点 M(m0 且满足 MN ? NF ? 0 . 若 ? y2 ? 1 (a ? 0)的右焦点, 2 1? a

点 P 满足 OM ? 2ON ? PO . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹 C 交于 A 、 B 两点,直线 OA , OB 与直线 x ? ?a 分别交于点 S , T ( O 为坐 标原点) ,试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

20.(本小题满分 14 分)
2 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足 an ? S2 n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足

bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求 a1 , d 和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ?(?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x)? ln x ? (1)当 a ?

a (a ? R). x ?1

9 时,如果函数 g( x) ? f ( x)? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2

(2)当 a ? 2 时,试比较 f ( x)与 1 的大小;

1 1 1 (3)求证: ln(n ? 1)? ? ? ? 3 5 7

?

1 (n ? N* ). 2n ? 1

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2011 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订 相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给 分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9. (??, 1] . 10. 8 . 11.

? . 4

12. (??, ? 3)

(1, ? ?) .

13. ? 192 .

14.

2 ?1.

15.

3 7 . 7

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(

x ? x ? ? ) cos( ? ) ? sin( x ? ? ) . 2 4 2 4

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若将 f ( x) 的图象向右平移 解: (1) f ( x) ?

3 sin( x ?

?
2

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 [0, ? ] 上的最大值和最小值. 6

) ? sin x
???????????????????2 分

? 3 cos x ? sin x
1 3 ? 2( sin x ? cos x) 2 2
? 2 sin( x ?

?
3

).

???????????????????4 分 ???????????????????6 分
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所以 f ( x) 的最小正周期为 2? .

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

(2)? 将 f ( x) 的图象向右平移

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象, 6
? 6 3?

? ? ?? ? g ( x) ? f ( x ? ) ? 2 sin ? ?( x ? ) ? ?
6
? 2 sin( x ?

?

x ?[0, ? ] 时, x ?

?

?当 x ?
当x?

?
6 ?

?

?
2

? 7? ? [ , ] , ???????????????????9 分 6 6 6
?
3
时, sin( x ?

6

).

???????????????????8 分

,即 x ?

?

?
6

7? ? 1 ,即 x ? ? 时, sin( x ? ) ? ? , g ( x) 取得最小值 ?1 .???12 分 6 6 2

6

) ? 1 , g ( x) 取得最大值 2. ????10 分

【说明】 本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象,以及 图象变换等基础知识,考查了化归思想和数形结合思想,考查了运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募 了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者,调查发现,这 30 名志愿者的身高如下: (单位:cm ) 男 女 9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19 若身高在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子” ,身高在 175 cm 以下定义为“非高个子” ,且只有“女高个子” 才能担任“礼仪小姐” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,则至少有一人是“高个子” 的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 ? 的分布列,并 求 ? 的数学期望. 解: (1)根据茎叶图,有“高个子”12 人, “非高个子”18 人,??????????1 分 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中的“高个子”有 12 ?

5 1 ? , 30 6

??????????2 分

1 1 ? 2 人, “非高个子”有 18 ? ? 3 人.???????3 分 6 6

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中” ,则它的对立事件 A 表示“没有一名“高个子”被选中” , 则 P( A) ? 1 ?
2 3 7 C3 ?1? ? . 2 10 10 C5

????????????5 分

因此,至少有一人是“高个子”的概率是 (2)依题意, ? 的取值为 0,1, 2, 3 .
3 C8 14 P(? ? 0) ? 3 ? , C12 55

7 . 10

???????????6 分 ???????????7 分

2 C1 28 4 C8 , P(? ? 1) ? 3 ? C12 55

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P(? ? 2) ?

1 C2 12 4 C8 , ? 3 C12 55

P(? ? 3) ?

C3 1 4 . ? 3 C12 55

??????????9 分

因此, ? 的分布列如下:

?
p

0

1

2

3

14 55 ? E? ? 0 ?

28 55

12 55

1 55
??????10 分 ??????????12 分

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 1. 55 55 55 55

【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知 识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数 据处理能力和应用意识. 18.(本小题满分 14 分) 如图, AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上, ?BAC ? 30? , BM ? AC 交 AC 于点 M , EA ? 平面 ABC , FC // EA , AC ? 4,EA ? 3,FC ? 1 . (1)证明: EM ? BF ; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 解: (法一) (1)? EA ? 平面 ABC , BM ? 平面 ABC , ? EA ? BM .?????1 分 又? BM ? AC , EA ? AC ? A , ? BM ? 平面 ACFE , E 而 EM ? 平面 ACFE , ? BM ? EM . ???????????????3 分

AC 是圆 O 的直径,??ABC ? 90 . 又? ?BAC ? 30?, AC ? 4 ,

? AB ? 2 3,BC ? 2, AM ? 3, CM ? 1. ? EA ? 平面 ABC , FC // EA , FC ? 1 , M O C ? A ? FC ? 平面 ABCD . ? ?EAM 与 ?FCM 都是等腰直角三角形. ? ?EMA ? ?FMC ? 45? . B ? ?EMF ? 90? ,即 EM ? MF (也可由勾股定理证得) .????????????5 分 ? MF ? BM ? M , ? EM ? 平面 MBF . 而 BF ? 平面 MBF , ? EM ? BF . ??????????????????????????????6 分 (2)延长 EF 交 AC 于 G ,连 BG ,过 C 作 CH ? BG ,连结 FH . 由(1)知 FC ? 平面 ABC , BG ? 平面 ABC , ? FC ? BG . 而 FC ? CH ? C ,? BG ? 平面 FCH . FH ? 平面 FCH , ? FH ? BG , ??FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的
二面角的平面角. ????????8 分 在 Rt ?ABC 中,? ?BAC ? 30? , AC ? 4 , E

F

? BM ? AB ? sin 30? ? 3 .
2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题 第 7 页 共 13 页

F

A

O
?

M

C

G



FC GC 1 ? ? ,得 GC ? 2 . EA GA 3

? BG ? BM 2 ? MG2 ? 2 3 .
又? ?GCH ~ ?GBM ,

?

GC CH GC ? BM 2 ? 3 ? ,则 CH ? ? ?1. BG BM BG 2 3

????????????11 分

? ?FCH 是等腰直角三角形, ?FHC ? 45? .

? 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为
(法二) (1)同法一,得 AM ? 3,BM ? 3 .

2 . 2

?????????12 分

?????????3 分

如图,以 A 为坐标原点,垂直于 AC 、 AC 、 AE 所在的直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系. 由已知条件得 A(0,0,0), M (0, 3, 0), E(0, 0, 3), B( 3, 3, 0), F (0, 4,1) , z E ? ME ? (0, ? 3, 3), BF ? (? 3,1,1) . ???4 分 由 ME ? BF ? (0, ? 3, 3) ? (? 3,1,1) ? 0 , 得 MF ? BF , ? EM ? BF . ?????6 分 A x , O
?

F M C y

(2)由(1)知 BE ? (? 3, ? 3, 3), BF ? (? 3,1,1) . 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 由 n ? BE ? 0, n ? BF ? 0, 得 ? 令x ?

B

? ?? 3x ? 3 y ? 3z ? 0 ? ?? 3x ? y ? z ? 0

3 得 y ? 1, z ? 2 ,? n ?

?

3, 1, 2 ,

?

??????????9 分

由已知 EA ? 平面 ABC ,所以取面 ABC 的法向量为 AE ? (0, 0, 3) , 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? , 则 cos ? ? cos ? n, AE ? ?
?

3 ? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 3 2 , ??????????11 分 ? 2 3? 2 2
2 . ????????12 分 2

? 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,考查应用向量知识解决数学问题的能力,考查空间 想象能力、运算能力和推理论证能力. 19.(本小题满分 14 分) 已 知点 F 是 椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右 焦点, 点 M (m, 0) 、 N (0, n) 分 别是 x 轴、 y 轴 上的 动点, 且满足 1 ? a2
2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题 第 8 页 共 13 页

MN ? NF ? 0 .若点 P 满足 OM ? 2ON ? PO .
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A 、 B 两点,直线 OA 、 OB 与直线 x ? ?a 分别交于点 S 、 T ( O 为坐 标原点) ,试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 解: (1)? 椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 右焦点 F 的坐标为 (a, 0) ,??????1 分 1 ? a2

? NF ? (a, ? n) . MN ? (?m, n) ,

? 由 MN ? NF ? 0 ,得 n2 ? am ? 0 .

??????????3 分

设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由 OM ? 2ON ? PO ,有 (m, 0) ? 2(0, n) ? (? x, ? y) ,

?m ? ? x, ? 2 2 ? y 代入 n ? am ? 0 ,得 y ? 4ax . n? . ? 2 ?

??????????5 分

y12 y2 2 , y1 ) 、 B( , y2 ) , (2)(法一)设直线 AB 的方程为 x ? ty ? a , A( 4a 4a
则 lOA : y ?

4a 4a x , lOB : y ? x. y1 y2

????????????6 分

4a ? x, 4a 2 4a 2 ?y ? y1 ,得 S (?a, ? 由? ) , 同理得 T (?a, ? ) .??????????8 分 y1 y2 ? x ? ?a ?
? FS ? (?2a, ? 4a 2 4a 2 16a 4 . ???9 分 ) , FT ? (?2a, ? ) ,则 FS ? FT ? 4a 2 ? y1 y2 y1 y2
????????11 分

由?

? x ? ty ? a, ? y ? 4ax
2

,得 y 2 ? 4aty ? 4a 2 ? 0 ,? y1 y2 ? ?4a2 .

则 FS ? FT ? 4a ?
2

16a 4 ? 4a 2 ? 4a 2 ? 0 . 2 (?4a )

??????????13 分

因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 . ?????????????14 分 (法二)①当 AB ? x 时, A(a, 2a) 、 B(a, ? 2a) ,则 lOA : y ? 2 x , lOB : y ? ?2 x .

? y ? 2 x, 得点 S 的坐标为 S (?a, ? 2a) ,则 FS ? (?2a, ? 2a) . ? x ? ?a ? y ? ?2 x, 由? 得点 T 的坐标为 T (?a, 2a) ,则 FT ? (?2a, 2a) . ? x ? ?a
由?

? FS ? FT ? (?2a) ? (?2a) ? (?2a) ? 2a ? 0 . ???????????????7 分

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

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y y ② 当 AB 不 垂 直 x 轴 时 , 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? k ( x ? a)(k ? 0) , A( 1 , y1 ) 、 B ( 2 , y2 ) , 同 解 法 一 , 得 4a 4a

2

2

FS ? FT ? 4a 2 ?

16a 4 . y1 y2

?????????????10 分

由?

? y ? k ( x ? a), ? y ? 4ax
2
2

,得 ky 2 ? 4ay ? 4ka2 ? 0 ,? y1 y2 ? ?4a2 .????????11 分

16a 4 则 FS ? FT ? 4a ? ? 4a 2 ? 4a 2 ? 0 . 2 (?4a )

??????????13 分

因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 . ?????????????14 分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以 及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想.

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an ? S2n?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求 a1 、 d 和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有

m, n 的值;若不存在,请说明理由.
2 解: (1) (法一)在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

得?

2 ? ?a1 ? S1 , 2 ? ?a 2 ? S 3 ,

即?

2 ? ?a1 ? a1 , 2 ? ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d ,

??????????????2 分

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,

???????????????3 分

? an ? 2n ? 1 .
bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
? 1 1 n ? )? . 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
????????5 分

1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5

(法二)? ?an ? 是等差数列, ?

a1 ? a 2 n ?1 ? an 2
??????????2 分
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? S 2 n ?1 ?

a1 ? a 2 n ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)an . 2

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

2 由 an ? S2n?1 ,得 an ? (2n ? 1)an ,

2



an ? 0 ,? an ? 2n ? 1,则 a1 ? 1, d ? 2 .

?????????3 分

( Tn 求法同法一) (2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式 ? ? 立. ?????????????6 分

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成 n n

2n ?

8 ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n
????????????????7 分

? 此时 ? 需满足 ? ? 25 .

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式 ? ? 立. ?????????????8 分

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成 n n

8 8 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2 n ? 取得最小值 ?6 . n n

? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 .
综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 . (3) T1 ?

????????????????9 分 ????????????????10 分

1 m n , Tm ? , Tn ? , 3 2m ? 1 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 (

m2 n m 2 1 n ) ? ( ) ,即 ? .?11 分 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
可得

(法一)由

m2 n ? , 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? ? 0, n m2
?????????????12 分

2 即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 ,

? 1?

6 6 . ? m ? 1? 2 2

??????????????13 分

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, 数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.????14 分

(法二)因为

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n
????????????????13 分

? 1?

6 6 , (以下同上) . ? m ? 1? 2 2

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识;考查了学生的函 数思想方法,及其推理论证和探究的能力. 21.(本小题满分 14 分)

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

第 11 页 共 13 页

已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ?

a (a ? R ) . x ?1

9 时,如果函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2

(2)当 a ? 2 时,试比较 f ( x) 与 1 的大小; (3)求证: ln( n ? 1) ? 解: (1)当 a ?

1 1 1 1 ? ? ??? ( n ? N* ) . 3 5 7 2n ? 1

9 9 时, f ( x) ? ln x ? ,定义域是 (0,??) , 2 2( x ? 1)

f ?( x) ?

1 1 9 (2 x ? 1)(x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 . ?2 分 ? ? 2 2 2 x 2( x ? 1) 2 x( x ? 1)

1 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 2 2 1 1 ? 函数 f ( x) 在 (0, ) 、 (2,??) 上单调递增,在 ( , 2) 上单调递减. ?????4 分 2 2 1 3 ? f ( x) 的极大值是 f ( ) ? 3 ? ln 2 ,极小值是 f (2) ? ? ln 2 . 2 2

?当 0 ? x ?

? 当 x ? ?0 时, f ( x) ? ?? ; 当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? , ? 当 g ( x) 仅有一个零点时, k 的取值范围是 k ? 3 ? ln 2 或 k ?
(2)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ?

3 ? ln 2 .?????5 分 2

2 ,定义域为 (0,??) . x ?1 2 ? 1, 令 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ln x ? x ?1

1 2 x2 ? 1 ? h?( x) ? ? ? ? 0, x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
? h( x) 在 (0,??) 上是增函数.
①当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ; ②当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ; ③当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 . (3) (法一)根据(2)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x ? ?????????????9 分 ?????????????7 分

2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? . x ?1 x ?1

k ?1 k ?1 1 ? ,则有 ln , k k 2k ? 1
n

? ? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 . ?????12 分 ?? k k ?1 2k ? 1

? ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

k ?1 , k
??????????????14 分
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? ln( n ? 1) ?

1 1 1 ? ??? . 3 5 2n ? 1

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .

1 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. ????????????10 分 3 1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln( k ? 1) ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1 k ?2 1 1 1 k ?2 ? n ? k ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) ? ln ? ? ? ? ? ln . k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? 根据(2)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? . x ?1 x ?1 k ?2 k ?2 1 ? 令x? ,则有 ln , k ?1 k ? 1 2k ? 3 1 1 1 1 ? 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立.?????13 分 3 5 2k ? 1 2k ? 3
因此,由数学归纳法可知不等式成立. (法三)如图,根据定积分的定义, 得 ???????????? 14 分 y

n 1 1 1 1 ?1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? dx .??11 分 1 2x ? 1 5 7 2n ? 1 n 1 1 n 1 ?? dx ? ? d (2 x ? 1) 1 2x ? 1 2 1 2x ? 1 o 1 2 3 4 5 6 ? n-1 n x 1 1 n ? ln( 2 x ? 1) 1 ? [ln( 2n ? 1) ? ln 3] , 2 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ?? ? )? ?? dx ? ? ? ?? ? 3 5 7 2n ? 1 3 5 2n ? 1 3 1 2 x ? 1 1 1 ? ? [ln( 2n ? 1) ? ln 3] . ????????????12 分 3 2 1 1 2 ? 3ln 3 1 ? [ln(2n ? 1) ? ln 3] ? ln(n ? 1) ? ? [ln(2n ? 1) ? ln(n 2 ? 2n ? 1)] , 3 2 6 2

又? 2 ? 3 ? 3 ln 3 , ln(2n ? 1) ? ln(n2 ? 2n ? 1) ,

1 1 ? ? [ln( 2n ? 1) ? ln 3] ? ln( n ? 1) . 3 2 1 1 1 ? ? ??? ? ln( n ? 1) . 3 5 2n ? 1

?????????????14 分

【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识,考查分类讨论思想和数形结 合思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识.

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

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