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2012年高考真题汇编——理科数学:10:圆锥曲线4

时间:2014-01-08


2012 高考真题分类汇编:圆锥曲线 三、解答题部分 19.【2012 高考江苏 19】 分) (16 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

? 3? 右焦点分别为 F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1, ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中

e 为椭圆的离心 0) e 0) ? 2 ? ? ?
率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

【答案】解: (1)由题设知,

a 2 =b2 ? c2,e=

c e a ,由点 (1 ,) 在椭圆上,得
2 2 ,∴ c =a ? 1 。

12 a2

?

e2 b2

?1?

1 a2

?

c2 a 2b 2

=1 ? b2 ? c 2 =a 2b2 ? a 2 =a 2b2 ? b 2 =1

? 3? ?e, ? ? 2 ? ? 在椭圆上,得 由点 ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 e ? 2 ? ? 1 ? c ? ? 2 ? ? 1 ? a ? 1 ? 3 ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 ? 1 4 a2 b2 a4 a4

2

2

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆的方程为 2 。
0) 0) (2)由(1)得 F1 (?1 , , F2 (1, ,又∵ AF1 ∥ BF2 ,
∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 ,

A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0



-1-



? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m 2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ? 2 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?





AF1 = ? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0 ? = ? my1 ? ? y12 = m 2 ? 1 ?
2 2 2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m 2 ? 2 ? m2 ? 2 m2 ? 2 。①

同理,

BF2 =

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m2 ? 2
。②

(i)由①②得,

AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = 2 2 2 m ? 2 。解 m ? 2 2 得 m =2。

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。

1 2 = ∴直线 AF1 的斜率为 m 2 。
BF PB ? PF BF ? AF PB BF2 PB 1 1 ? ?1 ? 2 ?1? ? 2 AF PF AF AF1 ∥ BF2 ,∴ PF1 AF1 ,即 PF1 1 1 1 (ii)证明:∵ 。 PF1 =


AF1 BF1 AF1 ? BF2 。 PF1 = AF1 2 2 ? BF2 AF1 ? BF2 。

由点 B 在椭圆上知, BF1 ? BF2 ? 2 2 ,∴

?

?

PF2 =
同理。

BF2 2 2 ? AF1 AF1 ? BF2 。

?

?

PF1 +PF2 =


AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2
2 2 m 2 ?1 m2 ? 2

?

?

?

?

由①②得,

AF1 ? BF =

?

?


AF ?BF =

m2 ? 1 m2 ? 2 ,



PF1 +PF2 =2 2 ?

2 3 = 2 2 2 。

∴ PF1 ? PF2 是定值。

x2 y 2 + 2 ?1 2 20.【2012 高考真题浙江理 21】(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C: a b (a>b>0)的离心率

1 为 2 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段

-2-

AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思 想方法和运算求解能力。
e? c 1 ? a 2 ; (1)

【答案】(Ⅰ)由题:

2 2 左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c) ? 1 ? 10 . (2)

2 2 2 由(1) (2)可解得: a ? 4,b ? 3,c ? 1 .

x2 y 2 + ?1 ∴所求椭圆 C 的方程为: 4 3 .

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= 2 x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= 2 x0.

∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? 4 3 ? 2 2 ? xB + yB ? 1 ? 3 ∴? 4 y A ? yB 3 x ? xB 3 2x 3 ?? ? A ?? ? 0 ?? xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?



3 x?m 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ 2 (m≠0),
? x2 y 2 ?1 ? + ?4 3 ? ? y=- 3 x ? m ? 2 代入椭圆: ?

?

3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0

. .

2 2 )2 0 显然 ? ? (3m) ? 4 ?3( m ?3) ?3(12 ? m ?

∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0.
m2 ? 3 由上又有: xA ? xB =m, yA ? yB = 3 .

-3-

∴|AB|=

1 ? k AB

| xA ? xB |=

1 ? k AB

( x A ? xB ) ? 4 x A xB
2



1 ? k AB

4?

m2 3 .

d?

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m? 2 1 ? k AB

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离表示为:
m 1 1 4? 3 , ∴S ? ABP= 2 d|AB|= 2 |m+2| 4?
2



当|m+2|=

m2 1 3 ,即 m=﹣3 或 m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= 2 .

3 1 x? 2 2. 此时直线 l 的方程 y=﹣

21.【2012 高考真题辽宁理 20】(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0 2 C C : x 2 ? y 2 ? t12 b ? t1 ? a b 如图,椭圆 0 : a ,a,b 为常数),动圆 1 , 。


A1 , A2

分别为

C0

的左,右顶点, 与直线

C1



C0

相交于 A,B,C,D 四点。

(Ⅰ)求直线 (Ⅱ)设动圆

AA1

A2 B

交点 M 的轨迹方程; 与

2 C2 : x 2 ? y 2 ? t2

C0

/ / / / b ? t2 ? a 相交于 A , B , C , D 四点,其中 ,
2 2

t1 ? t2

/ / / / t ? t2 。若矩形 ABCD 与矩形 A B C D 的面积相等,证明: 1 为定值。

【答案】

-4-

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭 圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强,运算量较大。在求解点 M 的 轨迹方程时,要注意首先写出直线 AA1 和直线 A2 B 的方程,然后求解。属于中档题,难度适中。 22.【2012 高考真题湖北理】 (本小题满分 13 分)
2 2 设 A 是单位圆 x ? y ? 1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 轴的交点,

点 M 在直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为 曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P ,Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为 点 N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH ?若存 在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)如图 1,设 M (x, y ) , A( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) , 可得 x ? x0 , | y |? m | y0 | ,所以 x0 ? x ,
| y0 |? 1 | y| m .

① ②

2 2 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x0 ? y0 ? 1 .

将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为
) 因为 m? (0, 1) ?(1, ? ? ,所以

x2 ?

y2 ? 1 (m ? 0, 且m ? 1) m2 .

-5-

当 0 ? m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,
2 2 两焦点坐标分别为 (? 1 ? m , 0) , ( 1 ? m , 0) ;

当 m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,
2 两焦点坐标分别为 (0, ? m ?1) , (0,

m 2 ? 1) .

(Ⅱ)解法 1:如图 2、3, ?k ? 0 ,设 P( x1 , kx1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? kx1 ) , N (0, kx1 ) , 直线 QN 的方程为 y ? 2kx ? kx1 ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
(m2 ? 4k 2 ) x2 ? 4k 2 x1 x ? k 2 x12 ? m2 ? 0 .

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x2 ,于是由韦达定理可得
? x1 ? x2 ? ? 4k 2 x1 m2 x x2 ? 2 1 2 m2 ? 4k 2 ,即 m ? 4k .

因为点 H 在直线 QN 上,所以

y2 ? kx1 ? 2kx2 ?

2km2 x1 m 2 ? 4k 2 .

???? 4k 2 x 2km2 x1 ??? ? PH ? ( x2 ? x1 , y2 ? kx1 ) ? (? 2 1 2 , 2 ) m ? 4k m ? 4k 2 . 于是 PQ ? (?2 x1 , ? 2kx1 ) ,
??? ???? 4(2 ? m2 )k 2 x12 ? PQ ? PH ? ?0 m 2 ? 4k 2 而 PQ ? PH 等价于 ,
2 即 2 ? m ? 0 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 ,

故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 y A

x2 ?

y2 ?1 2 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH .

y H
N

y H
N

M O D x
Q

P
O

P
O

x
Q

x

图1

图 2 (0 ? m ? 1) 第 21 题解答图

图 3 (m ? 1)

解法 2:如图 2、3, ?x1 ? (0, 1) ,设 P( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? y1 ) , N (0, y1 ) ,
? m 2 x12 ? y12 ? m 2 , ? ? 2 2 2 2 ? m x2 ? y2 ? m , 两式相减可得 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ?

-6-

m2 ( x12 ? x22 ) ? ( y12 ? y22 ) ? 0 .



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 . 于是由③式可得
( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?m2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) .



2y1 y1 ? y2 ? Q , N , H 三点共线,所以 kQN ? kQH ,即 x1 x1 ? x2 . 又
kPQ ? kPH ? y1 y1 ? y2 1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) m2 ? ? ? ?? x1 x1 ? x2 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2 .

于是由④式可得

而 PQ ? PH 等价于

kPQ ? kPH

m2 ??1 ? ?1 ,即 2 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , ?

故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆

x2 ?

y2 ?1 2 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH .

23.【2012 高考真题北京理 19】 (本小题共 14 分)

x2 y2 ? ?1 8 8 【答案】解: (1)原曲线方程可化简得: 5 ? m m ? 2
8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? ? 8 ?0 ? ?5 ? m ? 8 7 ?m?5 ?m ? 2 ? 0 ? 由题意可得: ,解得: 2
2 2 (2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k ? 1) x ? 16kx ? 24 ? 0 ,

?=32(2k 2 ? 3) ,解得:

k2 ?

3 2

由韦达定理得:

xM ? xN ?

16k 24 xM xN ? 2 2 2k ? 1 ①, 2k ? 1 ,②

1) 设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G( xG ,

y?

MB 方程为:

? 3xM ? kxM ? 6 G? ,? 1 x?2 kx ? 6 ? xM ,则 ? M ,

-7-

???? ? 3xM ? AG ? ? ,? 1? ???? ? xM k ? 6 ? , AN ? ? xN ,xN k ? 2 ? , ?

G N 欲证 A , , 三点共线,只需证 AG , AN 共线
3xM ( xN k ? 2) ? ? xN xM k ? 6 即 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN )

????

????

G 将①②代入易知等式成立,则 A , ,N 三点共线得证。

24.【2012 高考真题广东理 20】 (本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: a 的离心率 e= 3 ,且椭圆 C 上
的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l :mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说 明理由. 【答案】本题是一道综合性的题目,考查直线、圆与圆锥曲线的问题,涉及到最值与探索性问题, 意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。

-8-

25.【2012 高考真题重庆理 20】 (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 的中点 分别为 B1 , B2 ,且△ AB1 B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程

【答案】 【命题立意】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的基本运算,直线的一般式方程以及直线 与圆锥曲线的综合问题.

-9-

26.【2012 高考真题四川理 21】(本小题满分 12 分)

B ?A 如图, 动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、B(2,0) 构成 ?MAB , ?M A ? 2M B 且
的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

, 设动点 M

R (Ⅱ) 设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P , 与轨迹 C 相交于点 Q、R , | P || ? | 且 Q P

| PR | , | PQ | 求

- 10 -

y

M

A
的取值范围。

O

B x

【答案】本题主要考查轨迹方程的求法,圆锥曲线的定义等基础知识,考查基本运算能力,逻辑推 理能力,考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想

27.【2012 高考真题新课标理 20】 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,
2

- 11 -

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值. 【答案】 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 点 A 到准线 l 的距离

BD ? 2p

d ? FA ? FB ?

2p

1 S?ABD ? 4 2 ? ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2
圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8
2 2

2 x0 p A( x0 , )( x0 ? 0) F (0, ) 2p 2 (2)由对称性设 ,则

点 A, B 关于点 F 对称得:

B(? x0 , p ?

2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p 2 2p 2p 2

3p p ? p 3p 3p m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3y ? ?0 A( 3 p, ) 2 2 3p 2 ,直线 得:
x 2 ? 2 py ? y ? x2 x 3 3 3p p ? y? ? ? ?x? p? P( , ) 2p p 3 3 3 6 切点

n: y?
直线

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x? 3y? p ?0 6 3 3 6

3p 3p : ?3 6 坐标原点到 m, n 距离的比值为 2 .
28.【2012 高考真题福建理 19】如图,椭圆 E: 离心率 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,

.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8.

- 12 -

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相较于点 Q.试探究:在 坐标平面内是否存在定点 M, 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在, 求出点 M 的坐标; 若不存在, 说明理由. 【答案】本题主要考查椭圆的简单几何性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量的 应用等基础知识,考查推理论证能力、基本运算能力,以及函数与方程的思想、数形结合思想、化 归与转化思想.

- 13 -

29.【2012 高考真题上海理 22】 (4+6+6=16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 :

2x 2 ? y 2 ? 1 .
(1) C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线, 过 求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的 面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求证: OP ? OQ ;
2 2

(3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1 ,若 M 、 N 分别是 C1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON ,求证:
2 2

O 到直线 MN 的距离是定值.
【答案】

? 2? y ? 2?x? ? , 即y ? 2 x ? 1. ? 2 ? y ? 2 x 平行的直线方程为 ? ? 过点 A 与渐近线

- 14 -

ON ? 1

OM ?


2 3 2 ,则 O 到直线 MN 的距离为 3 .

设 O 到直线 MN 的距离为 d .

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准 方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲 线,它的离心率为 2 ,它的渐近线为 y ? ? x ,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解 题时间,本题属于中档题 . 30.【2012 高考真题陕西理 19】本小题满分 12 分)

已知椭圆

C1 :

x2 ? y2 ? 1 C C C 4 ,椭圆 2 以 1 的长轴为短轴,且与 1 有相同的离心率。
的方程;

(1)求椭圆

C2

(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 【答案】

C1



C2

??? ? ??? ? OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。 上,

- 15 -

31.【2012 高考真题山东理 21】 (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一
2

3 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 4 . 象限内的任意一点,过
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不 存在,说明理由;

(Ⅲ) 若点 M 的横坐标为 2 , 直线

l : y ? kx ?

1 4 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ,l 与圆 Q

1 2 2 ?k?2 AB ? DE D, E ,求当 2 有两个不同的交点 时, 的最小值.
【答案】

- 16 -

32.【2012 高考真题江西理 21】 (本题满分 13 分) 已知三点 O(0,0) ,A(-2,1) ,B(2,1) ,曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足

???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? MA ? MB ? OM ? (OA ? OB) ? 2 .
求曲线 C 的方程; 动点 Q(x0,y0) (-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存在定点 P(0,
- 17 -

t) (t<0) ,使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若 存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。 【答案】

【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数 学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基 本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛 物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公 式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结
- 18 -

合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容. 33.【2012 高考真题全国卷理 21】 (本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效)

y?
已知抛物线 C:y=(x+1)2 与圆 M: (x-1)2+( 切线为同一直线 l. (Ⅰ)求 r;

1 2 )2=r2(r>0)有一个公共点,且在 A 处两曲线的

(Ⅱ)设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m、n 的交点为 D,求 D 到 l 的距离. 【答案】

- 19 -

34.【2012 高考真题天津理 19】 (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 设椭圆 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点,O 为坐
标原点.

1 (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 2 ,求椭圆的离心率; ?
(Ⅱ)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足

k ? 3.

【答案】

- 20 -

- 21 -

35.【2012 高考真题湖南理 21】 (本小题满分 13 分)[www.z%zstep.co*~&m^] 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值. 【答案】 (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得

x ? 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 3
易知圆



C2

上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以 .
2

( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5
化简得曲线

C1

的方程为 y ? 20 x .

解法 2 : 由题设知, 曲线 此,曲线

C1

上任意一点 M 到圆心

C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的距离, 因
2

C1

是以 (5,0) 为焦点,直线 x ? ?5 为准线的抛物线,故其方程为 y ? 20 x .

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时,P 的坐标为

(?4, y0 )

,又

y0 ? ?3

,则过 P 且与圆

C2

相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 .于是

y ? y0 ? k ( x ? 4),即kx-y+y0 +4k=0
5 k ? y0 ? 4 k k 2 ?1
整理得
2 72k 2 ? 18 y0 k ? y0 ? 9 ? 0.

? 3.



- 22 -

设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为

k1 , k 2

,则

k1 , k 2

是方程①的两个实根,故

k1 ? k2 ? ?

18 y0 y ?? 0. 72 4



?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, ? k y 2 ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. y 2 ? 20 x, 由? 得 1
设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为



y1 , y2 , y3 , y4

,则是方程③的两个实根,所以

y1 ? y2 ?
同理可得

20( y0 ? 4k1 ) . k1



y3 ? y4 ?

20( y0 ? 4k2 ) . k2



于是由②,④,⑤三式得

y1 y2 y3 y4 ?
?

400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) k1k2

2 400 ? y0 ? 4(k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k 2 ? ? ?

k1k2
2 2 400 ? y0 ? y0 ? 16k1k2 ? ? ?

?

k1k2

6400
.

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. 【解析】 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数 与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把 直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到 A, B, C, D 四点纵坐标之积为定值,体 现“设而不求”思想.

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