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3.3.1指数函数的概念 3.3.3指数函数的图像和性质 第1课时 指数函数的图像与性质 课件(北师大版必修1)


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§ 3 指数函数 3.1 3.2 指数函数的概念
x

1x 指数函数 y=2 和 y=(2) 的图像和性质 3.3 第 1 课时 指数函数的图像

和性质 指数函数的图像与性质

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●三维目标 1.知识与技能 理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其 简单应用. 2.过程与方法 培养学生数形结合的意识,提高学生观察、分析、归纳 的思维能力.
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3.情感、态度与价值观 通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间 的关系,构建和谐的课堂氛围,培养学生勇于提问、善于探 索的思维品质.

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●重点难点 重点:指数函数的概念、图像和性质及其应用. 难点:指数函数性质的归纳、概括及其应用. 教学时,要让学生体会其中隐含的函数关系,引导学生 1x 通过 y=2 和 y=(2) 两个函数,感受到这两个函数中的指数
x

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幂具有的共性:可以写为 y=ax 的形式.

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在学习指数函数的性质时,建议尽可能地引导学生通过 观察图像,自己归纳概括出指数函数的性质.为了使学生能 够主动研究指数函数的图像和性质,教师可以充分利用信息 技术提供互动环境,先引导学生随意地取 a 的值,并在同一 个平面直角坐标系内画出它们的图像,然后再通过底数 a 的 连续动态变化展示函数图像的分布情况,这样就会使学生比 较容易地概括出指数函数的性质.

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●教学建议 为充分贯彻新课程理念,使教学过程真正成为学生学习 过程,让学生体验数学发现和创造的历程,本节课拟采用直 观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法.以多媒体 演示为载体,启发学生观察思考,分析讨论为主,教师适当 引导点拨,让学生始终处在教学活动的中心.

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●教学流程

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演示结束
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课 标 解 读

1.理解指数函数的概念. 2.通过具体指数函数的图像,体 会指数函数图像与底数a的关系.( 重点易混点) 3.掌握指数函数的图像与性质及 其简单应用.(难点)

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指数函数的定义
【问题导思】 1x 已知函数 y=2 ,y=(3) .
x

1.上面两个关系式是函数式吗?
【提示】 是. 2.这两个函数形式上有什么共同点? 【提示】 底数为常数,指数为自变量.
函数 y=ax 叫作指数函数, 自变量 x 在指数位置上, 底 数 a 是一个
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大于0



不等1

的常量.

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指数函数的图像与性质

【问题导思】 1x 1.试作出函数 y=2 (x∈R)和 y=(2) (x∈R)的图像 【提示】
x

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2.两函数图像有无交点? 【提示】 有交点,其坐标为(0,1). 3.两函数图像与 x 轴有交点吗? 【提示】 没有交点,图像在 x 轴上方. 4.两函数的定义域是什么,值域是什么? 【提示】 定义域是 R,值域是(0,+∞). 5.两函数的单调性如何?

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1x 【提示】 y=2 是增函数,y=( 2) 是减函数.
x

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a>1

0<a<1

图 象

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a>1

0<a<1 定义域: R 值域: (0,+∞)

性 质

过点 (0,1) ,即 x= 0 时,y= 1 x>0 时, y>1 ; x>0 时, 0<y<1 ; x<0 时, 0<y<1 是 R 上的 增函数 x<0 时, y>1 是 R 上的减函数

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指数函数的概念

指出下列函数哪些是指数函数. (1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=πx; 1 (6)y=4x ;(7)y=x ;(8)y=(2a-1) (a> ,且 a≠1). 2
2 x x

【思路探究】

紧扣指数函数的定义,能否转化为 y=

ax(a>0 且 a≠1)的形式.

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【自主解答】 (1)(5)(8)为指数函数,(2)是幂函数;(3) 是-1 与指数函数 y=4x 的乘积;(4)中底数-4<0,所以它不 是指数函数,(6)中指数不是 x,(7)中底数 x 不是常数.
一般地,函数 y=ax 叫作指数函数,其中 a 是一个大于 零且不等于 1 的常数,x 是自变量,正确完成例 1 需要准确 理解指数函数的定义.严格对比指数函数的定义是解决好本 题的关键.

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1 已知指数函数 f(x)=(a -8)a 的图像过点(-1,3).
2 x

(1)求函数 f(x)的解析式; 1 (2)求 f(-3)的值.
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【解】 (1)∵f(x)=(a2-8)ax 为指数函数, ∴a2-8=1. 1 1 又∵图像过点(-1, ),∴f(-1)= . 3 3 联立①②得 a=3, ∴f(x)=3x. 1 (2)f(- )= 3 9 = = . 3 3 3 1 3 ① ②

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指数函数的图像
1x 设 f(x)=3 ,g(x)=(3) .
x

(1)在同一坐标系中作出 f(x),g(x)的图像; (2)计算 f(1)与 g(-1), f(π)与 g(-π), f(m)与 g(-m)的值, 从中你能得到什么结论?

【思路探究】

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【自主解答】 (1)函数 f(x)与 g(x)的图像如图所示:

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1 -1 (2)f(1)=3 =3,g(-1)=(3) =3;
1

1 -π f(π)=3 ,g(-π)=(3) =3π;
π

1 -m m f(m)=3 ,g(-m)=( ) =3 . 3
m

从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反 数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它 们的图像关于 y 轴对称.

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1.指数函数的图像根据底数不同分为两类: (1)当 0<a<1 时, 指数函数 y=ax 是定义域 R 上的减函数; (2)当 a>1 时,指数函数 y=ax 是定义域 R 上的增函数. 2.不论底数取何值,指数函数的图像恒过点(0,1).即要 求指数型函数过定点,只需让指数位置等于 0 即可.

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(1)指数函数 y=ax 与 y=bx 的图像如图 3-3-1 所示, 则 ( )

图 3-3-1 A.a<0,b<0 C.0<a<1,b>1 B.a<0,b>0 D.0<a<1,0<b<1

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(2)函数 y=15x 的图像是(

)

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【解析】 (1)结合图像易知 0<a<1,b>1. (2)因为指数函数 y=15x 的底数 15>1,所以函数 y=15x 是 R 上的增函数,排除 A、C;又因为当 x=0 时,y=1,即 图像过点(0,1),故选 B.
【答案】 (1)C (2)B

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指数函数性质的简单应用
比较下列各题中两个值的大小: (1)1.72.5,1.73; (2)2.3-0.28,0.67-3.1.
【思路探究】 (1)构造指数函数,利用其单调性比较大 小;(2)利用中间量 1 比较大小.

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【自主解答】 (1)(单调性法)由于 1.72.5 与 1.73 的底数是 1.7, 故构造函数 y=1.7 , 则函数 y=1.7x 在 R 上是增函数. 又 2.5<3,所以 1.72.5<1.73. (2)(中间量法)由指数函数的性质,知 2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1, 所以 2.3
-0.28

x

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<0.67

-3.1

.

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比较指数式大小的方法 1.单调性法:比较同底数幂的大小,可构造指数函数, 利用指数函数的单调性比较大小. 2 .中间量法:比较不同底且不同指数幂的大小,常借 助于中间值 1 进行比较.利用口诀“同大异小”,判断指数 幂和 1 的大小.
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(2)(2013· 长沙高一检测)设 y1=4 , y2=8 则( ) A.y3>y1>y2 C.y1>y3>y2
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0.9

0.48

1 -1.5 , y3=(2) ,

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B.y2>y1>y3 D.y1>y2>y3

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1x 1 2 【解析】 (1)∵函数 y=(2) 在 R 上是减函数, 而 0<3<3,

(2)从形式上看,三个幂式的底数和指数各不相同,但 根据指数的运算性质可得,y1=40.9=(22)0.9=21.8,y2=80.48= (2 )
3 0.48

=2

1.44

1 -1.5 ,y3=(2) =(2-1)-1.5=21.5.

因为指数函数 y=2x(x∈R)是增函数, 所以 21.8>21.5>21.44, 即 y1>y3>y2.
【答案】 (1)D (2)C
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忽略对指数函数底数 a 的讨论致误 求函数 y= ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域.

【错解】 要使函数式有意义,则 ax-1≥0,即 ax≥1, 解得 x≥0,故函数 y= ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域为[0, +∞).
【错因分析】 解不等式 a ≥1 时需用到指数函数的单
x

调性,故需对底数 a 分类讨论,错解默认了 a>1.
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【防范措施】

对涉及到含参数的不等式问题,需注意

是否对参数进行讨论.
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【正解】 要使函数式有意义,则 ax-1≥0,即 ax≥1. 易得:当 a>1 时,有 x≥0;当 0<a<1 时,有 x≤0. 故当 a>1 时,函数的定义域为[0,+∞); 当 0<a<1 时,函数的定义域为(-∞,0].

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3.比较幂的大小的常用方法: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较, 可以利用指数函数的单调性来判断; (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较, 可以利用指数函数图像的变化规律来判断; (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较, 可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.

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1.函数 y=(a2-a-5)ax 是指数函数,则有( A. a=-2 或 a=3 C.a=3 B.a=-2 D.a>0 且 a≠1

)

【解析】 因为“一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠ 1)叫做 指数函数”,所以函数 y=(a2-a-5)ax 是指数函数的条件是 ?a2-a-5=1, ? ?a>0, ?a≠1, ?
【答案】 C
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解得 a=3,故选 C.

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2.函数 y= 1-2x的定义域是( A.(-∞,0) C.(0,+∞)

)

B.(-∞,0] D.[0,+∞)

【解析】 由题意得 1-2x≥0,即 2x≤1,所以 x≤0. 【答案】 B

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3.指数函数 y=(2-a)x 在定义域内是减函数,则 a 的取 值范围是________.
【解析】 由题意知,0<2-a<1,即 1<a<2. 【答案】 (1,2)

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4.已知指数函数的图像过点 M(3,8),求 f(4),f(-4)的 值.

【解】 设指数函数是 y=ax(a>0,a≠1),则有 8=a3,∴a=2,∴y=2x. 1 从而 f(4)=2 =16,f(-4)=2 =16.
4
-4

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课时作业(十四)

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右图是指数函数(1)y=ax; (2)y=bx; (3)y=cx;(4)y=dx 的图像,则 a,b,c, d 与 1 的大小关系是( A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 【思路探究】 利用指数增长的快慢进行比较,取特殊
值验证.
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)

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【自主解答】

根据图像的直观性可先分两类,(1)(2)

的底数小于 1,(3)(4)的底数大于 1,即 a<1,b<1,c>1,d>1, 由此可排除 C.因为指数函数 y=m (m>1)的底数越大,当 x>0 时,其函数值增长的就越快,所以,由图像(3)(4)可知 c>d; 因为指数函数 y=mx(0<m<1)的底数越小,当 x<0 时,其函数 值减少的就越快,所以,由图像 (1)(2) 可知 b<a. 综上可得 b<a<1<d<c. 【答案】 B
x

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1 . 不同底数的指数函数的图像在同一平面直角坐标系 中的相对位置关系是:在 y 轴右侧,图像从下到上相应的底 数由小到大;在 y 轴左侧,图像从下到上相应的底数由大到 小. 2 .熟记指数函数的大致图像,了解底数的变化对指数 函数图像的影响,从图像的变化情况指出函数的某些特征是 识图、用图的基础.

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函数 y1=0.13x 和 y2=0.31x 的大致图像是(

)

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【解析】 因为函数 y=0.13x 和 y=0.31 x 在 R 上都是减 函数,所以可排除选项 A 和 D;又根据底数对指数函数图像 的影响规律知,“在第一象限内,指数函数的底数从下向上 依次增大”,故选 C.
【答案】 C

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3.3指数函数的图像和性质(1)

3.3 指数函数的图像和性质(1) 学习目标 掌握指数函数的图像和性质. 互动研讨 1.比较大小. (1) 3 0 .6 和3 1 .6 (2) 2? 3 和 3 1.6 1 ? 1 3...

3.3.1“指数函数的图像和性质”导学案

3、 通过练习使学生掌握指数函数图像和性质的简单应用,培养学生应用函数的图像和性质解 决问题的能力。 二、 重点难点: 1、 学习重点:指数函数的图像和性质。 2...

3 指数函数的概念及图像和性质

3 指数函数的概念图像和性质_数学_高中教育_教育专区。由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 §3 指数函数的概念图像和性质(共 3 课时)...

指数函数的图像与性质(第1课时)

指数函数的图像与性质(第 1 课时) (南汇中学,刘飞燕) 、教材分析 ()教材的地位和作用 “指数函数”的教学共分两个课时完成,第 1 课时指数函数的概念、...

2016年新高一数学参考教学案:3.3.3 指数函数的图像和性质(北师大版必修1)

2016年新高一数学参考教学案:3.3.3 指数函数的图像和性质(北师大版必修1)_...“指数函数”的教学共分三个课时完成,第 1 课时指数函数的概念,具体指数函数...

3.3.3指数函数的图像和性质2(教学设计)

3.3.3 指数函数的图像和性质 (第 2 课时) 说课稿 一、 教学内容分析 1、...教案《指数函数图像与性... 暂无评价 3页 免费 §3.3.1指数函数的概念§...

3.3指数函数的图像和性质

3.3.3 指数函数的图像和性质学科 学习 目标 数学 年级 一年级 主笔人 审核人 1.掌握指数函数的概念、图像、性质。 2.了解函数图像的变换,能运用指数函数的图...

3.3.2《指数函数的图像和性质》学案

3.3.2《指数函数的图像和性质》学案_数学_高中教育_教育专区。普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修 1 第三指数函数与对数函数 [学习目标] 1、...

指数函数的图像与性质 导学案

的教学共分个课时完成,第 1 课时指数函数的概念,具 体指数函数的图像和性质;第 2 课时为指数函数的图像和性质及简单应用;第 三课时指数函数的性质应用。...