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福建省晋江市第二中学2015高中数学 初高中衔接教材 第二讲 因式分解

时间:2016-12-10


第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及 各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法 (平方差公式和完全平方公式 ) 外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等. 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里,我

们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方和公式) (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和). 运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解. 【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 ? x
3

(2) 0.125 ? 27b
3

3

分析: (1)中, 8 ? 2 ,(2)中 0.125 ? 0.53 , 27b3 ? (3b)3 . 解:(1) 8 ? x ? 2 ? x ? (2 ? x)(4 ? 2 x ? x )
3 3 3 2

(2) 0.125 ? 27b3 ? 0.53 ? (3b)3 ? (0.5 ? 3b)[0.52 ? 0.5 ? 3b ? (3b)2 ]

? (0.5 ? 3b)(0.25 ? 1.5b ? 9b2 )
说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如 8a b ? (2ab) ,这里
3 3 3

逆用了法则 (ab)n ? an bn ;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看准因式中各项的符号. 【例 2】分解因式: (1) 3a b ? 81b
3 4

(2) a ? ab
7

6

分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现 a ? b ,可看着是
6 6

(a3 )2 ? (b3 )2 或 (a 2 )3 ? (b2 )3 .
解:(1) 3a b ? 81b ? 3b(a ? 27b ) ? 3b(a ? 3b)(a ? 3ab ? 9b ) .
3 4 3 3 2 2

(2) a ? ab ? a(a ? b ) ? a(a ? b )(a ? b )
7 6 6 6 3 3 3 3

1

? a(a ? b)(a 2 ? ab ? b2 )(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a(a ? b)(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )(a 2 ? ab ? b2 )
二、分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多 项式, 如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用, 也没有公因式可以提取. 因此, 可以先将多项式分组处理. 这 种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组. 1.分组后能提取公因式 【例 3】把 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 分解因式. 分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降幂排列,然后从两组分别 提出公因式 2 a 与 ?b ,这时另一个因式正好都是 x ? 5 y ,这样可以继续提取公因式. 解: 2ax ? 10ay ? 5by ? bx ? 2a( x ? 5 y) ? b( x ? 5 y) ? ( x ? 5 y)(2a ? b) 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也 可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试. 【例 4】把 ab(c2 ? d 2 ) ? (a2 ? b2 )cd 分解因式. 分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式. 解: ab(c2 ? d 2 ) ? (a2 ? b2 )cd ? abc2 ? abd 2 ? a2 cd ? b2 cd

? (abc2 ? a2 cd ) ? (b2 cd ? abd 2 )
? ac(bc ? ad ) ? bd (bc ? ad ) ? (bc ? ad )(ac ? bd )
说明:由例 3、例 4 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律, 分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用. 2.分组后能直接运用公式 【例 5】把 x2 ? y 2 ? ax ? ay 分解因式. 分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因式,其中一个因 式是 x ? y ;把第三、四项作为另一组,在提出公因式 a 后,另一个因式也是 x ? y . 解: x ? y ? ax ? ay ? ( x ? y)( x ? y) ? a( x ? y) ? ( x ? y)( x ? y ? a)
2 2

【例 6】把 2x ? 4xy ? 2 y ? 8z 分解因式.
2 2 2

分析:先将系数 2 提出后,得到 x ? 2 xy ? y ? 4 z ,其中前三项作为一组,它是一个完全平方式,
2 2 2

再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式. 解: 2x ? 4xy ? 2 y ? 8z ? 2( x ? 2 xy ? y ? 4z )
2 2 2 2 2 2

? 2[( x ? y)2 ? (2z)2 ] ? 2( x ? y ? 2z)( x ? y ? 2z)
2

说明:从例 5、例 6 可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公因式进 行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分 解因式. 三、十字相乘法 1. x2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是: (1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.

x2 ? ( p ? q) x ? pq ? x2 ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q)
因此, x2 ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q) 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式. 【例 7】把下列各式因式分解: (1) x ? 7 x ? 6
2

(2) x ? 13x ? 36
2

解:(1) ? 6 ? (?1) ? (?6),(?1) ? (?6) ? ?7

? x2 ? 7 x ? 6 ? [ x ? (?1)][ x ? (?6)] ? ( x ? 1)( x ? 6) .
(2) ? 36 ? 4 ? 9, 4 ? 9 ? 13

? x2 ? 13x ? 36 ? ( x ? 4)( x ? 9)
说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相 同. 【例 8】把下列各式因式分解: (1) x ? 5 x ? 24
2

(2) x ? 2 x ? 15
2

解:(1) ? ? 24 ? (?3) ? 8,(?3) ? 8 ? 5

? x2 ? 5x ? 24 ? [ x ? (?3)]( x ? 8) ? ( x ? 3)( x ? 8)
(2) ? ? 15 ? (?5) ? 3,(?5) ? 3 ? ?2

? x2 ? 2x ? 15 ? [ x ? (?5)]( x ? 3) ? ( x ? 5)( x ? 3)
说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项 系数的符号相同. 练: (1) x ? 6 x ? 5
2

(2) x2 ? 4 x ? 21

(3) x ? 11x ? 30
2

(4) x ? x ? 12
2

【例 9】把下列各式因式分解: (1) x ? xy ? 6 y
2 2

(2) ( x ? x) ? 8( x ? x) ? 12
2 2 2

3

分析:(1) 把 x2 ? xy ? 6 y 2 看成 x 的二次三项式,这时常数项是 ?6 y 2 ,一次项系数是 y ,把 ?6 y 2 分 解成 3 y 与 ?2 y 的积,而 3 y ? (?2 y) ? y ,正好是一次项系数. (2) 由换元思想,只要把 x ? x 整体看作一个字母 a ,可不必写出,只当作分解二次三项式
2

a 2 ? 8a ? 12 .
解:(1) x2 ? xy ? 6 y 2 ? x2 ? yx ? 62 ? ( x ? 3 y)( x ? 2 y) (2) ( x2 ? x)2 ? 8( x2 ? x) ? 12 ? ( x2 ? x ? 6)( x2 ? x ? 2)

? ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 1)
练:(1) x ? 7 x ? 18
4 2

(2) a ? a ? 12
6 3

2.一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解
2

大家知道, (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ? a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 . 反过来,就得到: a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 我们发现,二次项系数 a 分解成 a1a2 ,常数项 c 分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写成
2

a1 a2

c1 ,这里按斜 ?c 2
2

线交叉相乘, 再相加, 就得到 a1c2 ? a2 c1 , 如果它正好等于 ax ? bx ? c 的一次项系数 b , 那么 ax ? bx ? c 就可以分解成 (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ,其中 a1 , c1 位于上一行, a2 , c2 位于下一行. 这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三 项式能否用十字相乘法分解. 【例 10】把下列各式因式分解: (1) 12 x ? 5x ? 2
2

(2) 5x ? 6 xy ? 8 y
2

2

解:(1) 12 x ? 5x ? 2 ? (3x ? 2)(4 x ? 1)
2

3 4

??12

(2) 5x ? 6xy ? 8 y ? ( x ? 2 y)(5x ? 4 y)
2 2

1 2y 5 ?4 y

?

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时,为提高速 度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则 用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号. 练:(1) 12 x ? 5x ? 2
2

(2) ?4 x ? 5x ? 1
2

(3) 3x ? 10 x ? 3
2

(4) ? x ? 3x ? 18
2

【例 11】因式分解:
4

(1) ( x2 ? 2 x)2 ? 7( x2 ? 2 x) ? 8

(2) x ? 2 x ? 15 ? ax ? 5a
2

分析:用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底,有时可能会多次使用十字相乘法,并且对于项数较 多的多项式,应合理使用分组分解法,找公因式,如五项可以三、二组合. 解:(1)原式 ? ( x 2 ? 2x ? 1)(x 2 ? 2x ? 8) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 2)(x ? 4) . (2)原式 ? ( x 2 ? 2x ? 15) ? (ax ? 5a) ? ( x ? 3)(x ? 5) ? a( x ? 5) ? ( x ? 5)(x ? 3 ? a) . 练: (1) 12m ? 7m n ? n
4 2 2 4

(2)

2 x 2 ? ax ? a ? 2

四、其它因式分解的方法 1.配方法 【例 12】分解因式 x ? 6 x ? 16
2

解: x2 ? 6x ? 16 ? x2 ? 2 ? x ? 3 ? 32 ? 32 ? 16 ? ( x ? 3)2 ? 52

? ( x ? 3 ? 5)( x ? 3 ? 5) ? ( x ? 8)( x ? 2)
说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用 平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验. 2.拆、添项法 【例 13】分解因式 x ? 3x ? 4
3 2

分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一次项,如果它 能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为 0 了,可考虑通过添项或拆项解 决. 解: x3 ? 3x2 ? 4 ? ( x3 ? 1) ? (3x2 ? 3)

? ( x ? 1)( x2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 1)[( x2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)] ? ( x ? 1)( x2 ? 4x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)2
说明:本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成可以用公
2 2 3 2 式法及提取公因式的条件.本题还可以将 ?3 x 拆成 x ? 4 y ,将多项式分成两组 ( x ? x ) 和 ?4 x ? 4 .
2 2

一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; (2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.




A 组
5

1.把下列各式分解因式: (1) a ? 27
3

(2) 8 ? m
3

3

(3) ?27 x ? 8
3

(4) ?

1 3 1 3 p ? q 8 64

(5) 8 x y ?
3

1 125

(6)

1 3 3 1 3 x y ? c 216 27

2.把下列各式分解因式: (1) xy3 ? x4 (3) a 2 (m ? n)3 ? a 2 b3 3.把下列各式分解因式: (1) x ? 3x ? 2
2

(2) xn?3 ? xn y3 (4) y 2 ( x2 ? 2 x)3 ? y 2

(2) x ? 37 x ? 36
2

(3) x ? 11x ? 26
2 2

(4) x ? 6 x ? 27
2

(5) m ? 4mn ? 5n
2

(6) (a ? b) ? 11(a ? b) ? 28
2

4.把下列各式分解因式: (1) ax ? 10ax ? 16ax
5 4 3

(2) a

n?2

? a n?1b ? 6a n b2 (3) ( x2 ? 2 x)2 ? 9
2

(4) x ? 7 x ? 18
4 2

(5) 6 x ? 7 x ? 3

(6) 8x2 ? 26xy ? 15 y 2

(7) 7(a ? b)2 ? 5(a ? b) ? 2 5.把下列各式分解因式: (1) 3ax ? 3ay ? xy ? y 2 (4) 4a ? 20ab ? 25b ? 36
2 2

(8) (6 x2 ? 7 x)2 ? 25

(2) 8 x ? 4 x ? 2 x ? 1 (3) 5x2 ? 15x ? 2 xy ? 6 y
3 2

(5) 4 xy ? 1 ? 4 x ? y
2

2

(6) a b ? a b ? a b ? ab
4 3 2 2 2

4

(7) x6 ? y 6 ? 2x3 ? 1 1.把下列各式分解因式:

(8) x2 ( x ? 1) ? y( xy ? x) B 组 (2) x ? 4mx ? 8mn ? 4n
2 2 2

(1) ab(c2 ? d 2 ) ? cd (a2 ? b2 ) (3) x ? 64
4

(4) x ? 11x ? 31x ? 21
3

(5) x ? 4 xy ? 2 x y ? 8 y
3 2 2

3

2.已知 a ? b ?

2 , ab ? 2 ,求代数式 a 2 b ? 2a 2 b2 ? ab2 的值. 3
5 3

3.证明:当 n 为大于 2 的整数时, n ? 5n ? 4n 能被 120 整除.
3 2 2 3 4.已知 a ? b ? c ? 0 ,求证: a ? a c ? b c ? abc ? b ? 0 .

第二讲 因式分解答案 A组 1. (a ? 3)(a ? 3a ? 9),(2 ? m)(4 ? 2m ? m ),(2 ? 3x)(4 ? 6x ? 9x ),
2 2 2

6

?

1 1 2 1 1 (2 p ? q)(4 p 2 ? 2 pq ? q 2 ), (2 xy ? )(4 x 2 y 2 ? xy ? ), ( xy ? 2c)( x 2 y 2 ? 2 xyc ? 4c 2 ) 64 5 5 25 216

2. x( x ? y)( y 2 ? xy ? x2 ), xn ( x ? y)( x2 ? xy ? y 2 ),

a2 (m ? n ? b)[(m ? n)2 ? b(m ? n) ? b2 ], y 2 ( x ? 1)2 ( x4 ? 4x3 ? 3x2 ? 2x ? 1)
3. ( x ? 2)( x ? 1),( x ? 36)( x ? 1),( x ? 13)( x ? 2),( x ? 9)( x ? 3)

( x ? 9)( x ? 3),(m ? 5n)(m ? n),(a ? b ? 4)(a ? b ? 7)
4 .

ax3 ( x ? 2)( x ? 8), an (a ? 3b)(a ? 2b),( x ? 3)( x ? 1)( x2 ? 2x ? 3),( x ? 3)( x ? 3)( x2 ? 2)
5 .

(2x ? 3)(3x ? 1),(2x ? y)(4x ? 15 y),(7a ? 7b ? 2)(a ? b ? 1),(2x ? 1)(3x ? 5)(6 x2 ? 7 x ? 5) ( x ? y)(3a ? y),(2x ? 1)2 (2x ? 1),( x ? 3)(5x ? 2 y),(2a ? 5b ? 6)(2a ? 5b ? 6) (1 ? 2x ? y)(1 ? 2x ? y), ab(a ? b)2 (a ? b),( x3 ? 1 ? y3 )( x3 ? 1 ? y3 ), x( x ? y)( x ? y ? 1) .
B组 1. (bc ? ad )(ac ? bd ),( x ? 4m ? 2n)( x ? 2n),( x2 ? 4 x ? 8)( x2 ? 4 x ? 8),

( x ? 1)( x ? 3)( x ? 7),( x ? 2 y)2 ( x ? 2 y) .
2.

28 3
5 3

3. n ? 5n ? 4n ? (n ? 2)(n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2) 4. a ? a c ? b c ? abc ? b ? (a ? ab ? b )(a ? b ? c)
3 2 2 3 2 2

7


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