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第三届全国数学奥林匹克命题比赛获奖题探源




 

第 三届 全 国数学 奥 林 匹克命题 比赛 

安 振平 ( 陕西 省咸 阳师 范学 院教 育 系)  

在第 三届 全 国数 学 奥林 匹 克命 题 中 , 共有 2 5道  题 获 奖  川, 其 中不等 式 问题就 有 1 3道 , 笔 者 选 择其 中  的 8道谈谈 其 编拟

的 可能背 景 , 供 读者 参 考 。  

x. y , z满 足 z   +y 2 +z 2 =l , 证明:  

x   +F y  干 

1 指 数 推 广 
问题 1 : ( 二 等 奖  安徽  邹 守 文) 设 a , b , c >0 ,   求证 : ( d 加  一日 ∞  +3 ) ( 6 z 0  — b   叽 。 +3 ) ( c   o 1 。 一C ∞  +3 )  
≥3 ( d4 - 6 +c )  。  

+ 。   z 。 (   +   ) +   。 +   。  。 +   (   十   寿南 ) +   。 + z 。   ≤ 旦 2 。  
注意到 a 。 +6 3 一( 。 +6 ) ( n   +b   一a b ) , 于是 , 所 证 

明 的 不 等 式 等 价 于   干   {  
_ - _  

+   干   {  

1  

/ 9  

事实 上 , ( n   一  。 +3 ) 一( n   4 - 2 ) 一( 以   一1 )  
?

v 。 + 。 + 。 一 

2’  

( n 。 一1 ) ≥0 ,  

即得 ( C r u x   Ma t h e ma t i c o r u m, P r o b l e m  3 0 3 2 ,  
Va s i l e   Ci r t o a j e ) :  

所以 a ∞  一a 。 ∞ 。 +3 ≥口 。 4 - 2。  

同理 , 再 得其余 二 式 。三式叠 乘 , 得 
( 口   。   。 一a   。   。 4 - 3) ( 6 。 。  一6 。 。   。 +3 )( f   叭  一 ( ?   。   。 4 - 3)  


问题 3 — 1   已知 非 负 实 数  、 Y、  满足z  +Y  

~   ≥ ( a   +2 )( b 。 +2 )( c   +2) 。  
于是 , 只 要证 明如 下不 等式 
( 口   +2 )( 6 。 4 - 2 )( c   4 - 2 ) ≥3 ( n 4 - b 4 - C )  。  

+ - z 2  矾  l — —  +   』 — — V  L +   — — Z   ≤ 导 。  
可参见 文 献[ 2 3 第 5 8页例 题 。  

这是 2 0 0 4年亚 太地 区数 学 奥林 匹克题 :   问题 1 — 1   对 于 任 意 正 实数 a 、 b 、 c , 均 有  ( 口   +2 ) ( 6 。 +2 ) ( c 。 +2 ) ≥9 ( a b +b c +C a ) , 而该 获 奖  题 其 实源 于 2 0 0 4年美 国数学 竞赛 题 :   问题 1 — 2 对 于任 意正 实 数 a 、 b 、 f , 均有( a   一n  
+3 ) ( 6   一b   +3 ) ( f   一f   +3 ) ≥( 口+ b +c ) 。 。  

4 弱化问题 
I 口 . ] 题 4: ( 三 等 奖  四 川  姚 先 伟 ) 设 X l , . z 2 , …,  

>0 , 且 ∑ 
≥  (  一 1 ) 。 。  

X i   一1 , i i E 明:∑  1  

令  一  , 则 ∑  一 n  X i  一1 变形为 ∑ 


2 减 少 字 母 个 数 
问题 2 : ( 三等 奖  湖北  甘 超 一 ) 已知 z、 Y为实 
j十 Y 

1 。于是 , 问题 变形 为 :  

数 , 证 明 : (   )   + (   )   + (   )   ≥   。  
令  一   , 得 x y z 一 一1 。于是 , 问 题 变 
形为:   已知 z、 Y、   为 实数, 且 x y z一 一 1 , 证 明:  

设  

z , …,   >o , 且 ∑ 

1 , 证明:  

∑ 1  ≥   ( n -1 ) 。 。  
其实 , 以上 不等 式 的一个加 强是 :  

问 题4 — 1  设  ,   z , …,   >0 , 且 ∑ 


1  

( 南 ) 。 + ( 南)   + ( 南) 。  
用 一z、 一Y 、 一 2分 别 替 换 z、 . y 、 z , 得 2 0 0 8年 
I M0 试 题 :  

1 , 证明: I I  t  ≥( n 一1 )   。  

问题 2 — 1   设 实 数  、 Y、   都 不等 于 l , 且 x y z  

这与第 一 届全 国数 学 奥 林 匹 克 命 题 比赛 的 如 下  题 目类似 :   问题 4 - 2  ( 二 等 奖  云 南   阿 家斌 ) 设  >0 ( i  


证 明 : ( 刍 )   + (   )   + ( 刍)  
3 等价变形 
问题 3 : ( 三 等 奖  四 川   刑 凯 慧) 已 知非 负 实 数 

1 , 2 , … ,   ) ,   ≥ 2 , 且   ∈ N , 并 满 足∑  T 二 古  
1 , 证明: I I   g l m   ≥( ” 一1 ) 詈 。  
这 是 四 川 蒋 明斌 先 生 早 先 指 出 的 。特 别 地 , 有 



2 0 0 2年 拉 托 维 亚数 学 竞 赛 题 :  

1   3   4   …  …  
§ 2 0l 4 { 漭

…  …  
1 — 2  ‘   0 

_ # ^蛳 、   矾   《 j n 譬 s h { } t   朝   问题 7 — 1   已知 “ , b , C >0 , “ +b +C = = = 1 , 证明:  

' i n - ] i   4 — 3设  
+   =1 , 求证 :  

> 0 , l 十 1   4 _   + 南 
≥3 。  

+   +   ≥ 导 。  
道类 似 的 题 目是 2 0 1 1年 克 罗 地 亚 数 学 竞  赛题 :  


5 变 更 经 典 问 题 
槛 问题 5 : ( 三 等 奖  四 川   宿 晓 阳) 在△ AB C中,     +  十   c o s Z A  _
十  。  

问题 7 — 2 设 n , b , f >0 , 且 n 十b +C 一3 . 求证 :  
n   .   b 。   f   、 3  

口+ b 。。 6 +f 。   c +a  

2。  

不址 : — s i n — 2 A  十 

若 AAB C的 三边 长 为 a、 b 、 c , 面 积 为 △, 则 该 不 

8 换元变形 
问题 8 : ( 一 等奖  河 南   武 爱 民) 已知 a , b , c >0 ,  

等 式等 价于 ∑ 

≥ 1 ,  

又 等 价于∑ 
因为 ∑  垒 :   ±   02  


 ̄J > 6 a   。  
厶  

且   +   +   一 号 , 求 证 : 丢 +   +   >   。  
令Ⅱ = = =  t a n   z, 6 一  a n   Y, c 一  t a n   z , 变形 为 :  

± 垒   鱼 :   :   n2  

问 题 8 — 1  已 知 O < x ,   , z < 号 , 且c 。 s 。   + C O S z . ) ,  
0 

[ ∑( c   + a   一 6  2 一( ∑n 。 ) 。  
∑  a   2   ∑a   2  
≥1 6 △ 。 , 即 有 

+c o s  一告, 求证: c o t   x +c o t   y +c o t   z >  。  
令 C O S 2 3 2 一 
C0 S。  

2 p  

,c os Z y 一 

2   q  
,  

即只要证 明  

2 r  

∑ 
问题 5 — 1   设 △ ABC 的 三 边 长 和 面 积 分 别 为 a、  

3 ( 户十 q +r )’  
i n z y 一 3 p+ q+ 3   r 则 s i n 2 z一  p+  3 q +  3 r,s
,  

b 、 C 、 A , 求 证 : “ 。 十 6   + C   ≥ 4 △   霸 z   b z   c 2  
这是 笔者 1 9 9 4年发 表在 文献 C 3 - I 中的一个 结论 。  

s i n 2   z 一  3 p   +3   q +  r
。 

于是 , 如上 不等 式等价 于 


6 串联题 目  
问题 6 : ( 二 等 奖  广 东   杨 志 明) 已知 a , b , C  

/ p   2 p  +   2 q  +  

>  。  

>o , “  F   b   +r   +a   一4 , 求证 :  

+ 

+ 

不妨设 p +q +r 一1 , 便 知如上 不等 式等 价于 :   问题 8 — 2   已知 P, g , r >O , P +q +r 一1 , 求证:  

≥÷+÷ ̄ / 3 ( “   +b 。 +c   ) 。  
在文 献[ 4 ] 中, 我 们得 到 :  
问题 6 — 1   已 知 a, b , c >O , a   +b 。 +c 。 +a b c 一4 ,  

√   3   一  。 2 P 一 +   √   3   一  ‘ 2 q +   √   3   一 2 r > /   1 。  
这是 2 0 1 1 年 笔 者 在 网络 上讨 论 过 的题 目, 见 文  献[ 5 ] 。   探究 其 上界 , 便 有 不等式 :   问题 8 — 3   已知 a , b , c > 0 , 且  +  1  

求证 : n   +6   +C 。 ≥3 。   由此 , 可 以建 立较 问题 6更 强 的不 等式 :  

问题 6 — 2   设 

, r >0 , 求证:  

+ 

+  ≥ 丢  
求证 : & +b 十f ≤3 。  

_ f  。  

+ 蕊 1   = : = { , 求 证 : 1 <   1 十   1 十 了 1  3 。  
请有 兴趣 的读 者探讨 其 简单 的证法 。  
参考文献 :  

值 得 指 出 的是 , 问题 6的条件 背 景 是 第 2 0届 伊  朗数学 奥林 匹 克题 :  
问题 6— 3 设 a, b, c > 0, 且 n   +b 。 +C 。 +a b c 一4 ,  

[ 1 ] 《 中等数学 》 编辑部. 全国数学 奥林 匹克命题 比赛获 奖题 
目[ M] . 天津 : 天 津 教 育 出版 社 , 2 0 1 3 .   E 2 ] 韩京俊. 初 等 不 等 式 的 证 明方 法 [ M] . 哈尔滨 : 哈 尔 滨 工 
业 大 学 出版 社 , 2 0 1 1 .  

7 加 强 结 论 
问题 7 : ( 二等 奖  陕西  樊益 武) 已知 “ , b , c >0 , a  


i t i N 志 + 志 + 志 ≥ 号 。  

该 题 目是如 下常 见不等 式 的加强 :  

[ 3 ]   安振平. 再论一个重要三角形 “ 母” 不 等式 [ J ] . 中学 数 学  教学参考 , 1 9 9 4 ( 5 ) : 1 5 - 1 6 .   [ 4 ] 安振平. 一 道 竞赛 题 的 证 明 与 思 维 拓 展 [ J ] . 中 学 数 学 教  学参考 : 上旬 , 2 0 0 9 ( 7 ) : 2 1 — 2 2 .   [ 5 ] 安振 平. 一个 不等式 猜想  ̄ E B / OL ] . [ 2 O l 1 — 1 0 — 1 8 ] . h t t p :   f f   k k k k u i n g g g g . 5 d 6 d . n e t / t h r e a d - 1   1 0   1 — 1   h t m1 .  


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