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4.空间中的垂直关系


空间中的垂直关系

一、线线垂直的判定方法
1.两直线所成的角为90°.

2.直线与平面垂直的概念: l ? ?, a ? ? ? l ? a .
3.三垂线定理:

PO ? ? , PA ? ? A, a ? ? , a ? AO ? a ? PA
P

4.三垂

线定理的逆定理:

PO ? ? ? PA ? ? A? ? ? ? a ? AO a ?? ? ? a ? PA ? 5. a ? b ? 0 ? a ? b

?

A

O a

二、线面垂直的判定方法
1.直线与平面垂直的判定定理:

l ? a, l ? b, a ? ? , b ? ? , a b ? A ? l ? ?
2. a // b, a ? ? ? b ? ? 3.平面与平面垂直的性质定理:
?

l

?

a

? ? ? , ? ? ? a, l ? ? , l ? a ? l ? ? 4.已知平面 ? , ? ,直线a, ? ? ? , ? ? ? AB , a//? , a ? AB ,则 a ? ? 5.若平面? , ? , ? 满足? ? ? , ? ? ? , ? ? ? l ,则 l ? ?
6.直线的方向向量与平面的法向量共线.

三、面面垂直的判定方法
1.若二个平面所成的二面角为90°,则两平面垂直. 2 .平面与平面垂直的判定定理:

a ? ?, a ? ? ? ? ? ? 3.已知平面? , ? , ? ,且 ? ? ? , ? // ? ,则 ? ? ? .
4.证明两个平面的法向量互相垂直.

例题
例. 如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的动点, 过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面,D,E分 别是VB,VC的中点.试找出此题中的垂直关系;
V V

求证:
①平面ADE⊥平面VBC
D

E D C B · O A A C E

②平面ADE⊥平面VAB

· O

B

例题
变2:如图,VA=AB,∠ABC=60°,DE//BC,

(1)当D为VB的中点时,
①求AD与平面VAC所成的角; ②求AD与平面VBC所成角的正弦 值. (2)是否存在一点E,使得二面 角A-DE-V为直二面角?并说 明理由.
A C
V

D E · O

B

例题
例1:如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧 棱的长都是底面边长的 2 倍,P为侧棱SD上的点. (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:EC的值;若不存 在,试说明理由. S
P A B C D

例题
例2:如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其 对角线AC=2,BD= 2,AE、CF都与平面ABCD垂直, AE=1,CF=2,求二面角B-AF-D的大小.


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