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北京市丰台区2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题

时间:2014-01-25


丰台区 2013-2014 学年度第一学期期末练习

高 三 数 学(理科)

2014.1

第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的 4 个选项中,选出符合题目要 求的一项。 1. 在复平面内,复数 (A)第一象限 2. 函数 y ? x ? (A)1<

br />
i ?1 对应的点位于 i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

1 ? 1 ( x ? 0) 的最小值为 x

(B)2

(C)3

(D)4

3. 已知命题 p: ? x2 ? x1 , 2 x2 > 2 x1 ,则 ? p 是 (A) ? x2 ? x1 , 2 x2 ≤ 2 x1 (C) ? x2 ? x1 , 2 x2 < 2 x1 (B) ? x2 ? x1 , 2 x2 ≤ 2 x1 (D) ? x2 ? x1 , 2 x2 < 2 x1

x2 y 2 = 1 的右焦点,且平行其渐近线的直线方程是 4. 过双曲线 9 16

3 (A) y ? ? ( x ? 5) 4

4 3 (B) y ? ? ( x ? 5) (C) y ? ? ( x ? 5) 3 4

3 (D) y ? ? ( x ? 5) 4

5.如图,已知曲边梯形 ABCD 的曲边 DC 所在的曲线方程 为y?
1 ( x ? 0) ,e 是自然对数的底,则曲边梯形的面积是 x

(A)1

(B)e

(C)

1 e

(D)

1 2

uuu r uu u r 6. 已知平行四边形 ABCD 中,AB=1,AD=2,∠DAB=60o,则 AC ? AB 等于

(A)1

(B) 3

(C)2

(D) 2 3

7.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示,那么 f ( x ) 的表达式为 (A) f ( x) ? 2sin(2 x ?
5? ) 6

(B) f ( x) ? 2sin(2 x ?

(C) f ( x ) ? 2sin(2 x ?

?

6

)

? (D) f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6

5? ) 6

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8. 如图,一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为 ? ( 00 ? ? ? 900 )的平面所截,截面 是一个椭圆.当 ? 为 30o 时,这个椭圆的离心率为
β

1 (A) 2

(B)

3 2

(C )

3 3

2 (D) 3
α

θ

第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 已知等差数列 {an } 满足 a3 ? a4 ? 12 , 3a2 ? a5 ,那么 an =___________. 10. 甲、乙两位同学近期参加了某学科的四次测试,右图为依据他
们的四次测试成绩绘制的折线图.由此可以判断:在甲、乙两位同学 中,成绩较稳定的是_______ 同学(填“甲”或“乙”).

1 11.二项式 (2 x + ) 6 展开式中的常数项为_________. x

12.已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱垂直于底面, 其正视图如图所示,则这个三棱柱的体积为____. 13.小明准备用积攒的 300 元零用钱买一些科普书和文具, 作为礼品送给山区的学生. 已知科普书每本 6 元, 文具每套 10 元, 并且买文具的钱不少于买科普书的钱.那么最多可以买的科普书与文具的总数是____. 14.若 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)( x ? a) ,其中 a ? b ? c 的,对于下列结论: ① f (b) ? 0 ; ②若 b ? ③若 b ?

a?c ,则 ?x ? R, f ( x) ? f (b) ; 2

a?c f (a) ? f (c) ;④ f (a) ? f (c) 成立充要条件为 b ? 0 . 2 ,则

其中正确的是_________.(请填写序号) 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题共 13 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,已知 a 2 ? b2 ? bc , sin C ? 2 sin B . (Ⅰ)若 b=2,求 c; (Ⅱ)求∠A 的大小. 16.(本小题共 14 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上不同于 A、B 的一点, ∠BAC=45° ,点 V 是圆 O 所在平面外一点,且 VA=VB=VC,E 是 AC 的中点. (Ⅰ)求证:OE∥平面 VBC;
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(Ⅱ)求证:VO ? 面 ABC; (Ⅲ)已知 ? 是平面 VBC 与平面 VOE 所形成的二面角的 ? ? ? 90° 平面角,且 0° ,若 OA=OV=1,求 cos ? 的值. 17. (本小题共 13 分) 某市采取“限价房”摇号制度, 中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号. 已 知甲、乙、丙三个友好家庭均已中签,并决定共同前往某小区抽取房号.目前该小区提供 的房源数量如下表所示: 单元号 一单元 二单元 三单元 房源数量(套) 3 3 4 (Ⅰ)求甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率; (Ⅱ)求甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率. 18. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)ln x , f ( x) 的导函数为 f '( x) . (Ⅰ)当 a =0 时,求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)设 g ( x ) ?
1 2 x +ax -f '( x )(a ? ?1) ,求函数 g ( x) 的单调区间. 2

19.(本小题共 13 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F(1,0) ,点 O 为坐标原点,A,B 是曲线 C 上 异于 O 的两点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程;
1 (Ⅱ)若直线 OA,OB 的斜率之积为 ? ,求证:直线 AB 过定点. 2

20. (本小题共 13 分) 已知数列 ?an ? 各项均不相等, 将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列称为数 列 ?an ? 的排序数列,例如:数列 a1, a2 , a3 满足 a2 ? a3 ? a1 ,则排序数列为 2,3,1. (Ⅰ)写出数列 2,4,3,1 的排序数列; (Ⅱ)求证:数列 ?an ? 的排序数列为等差数列的充要条件是数列 ?an ? 为单调数列; (Ⅲ)若数列 ?an ? 的排序数列仍为 ?an ? ,那么是否一定存在一项 ak ? k ,证明你的结论.

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2013-2014 学年度丰台区高三第一学期期末
一、选择题 A C B B 二、填空题 9. 2n-1 A C D A 10.乙 11. 160 12. 8 3

数学(理科)试题答案

13. 40

14.①②③

注:14 题给出一个正确得 1 分,给出两个正确得 3 分,给出三个正确得 5 分.若给出④均不得分. 12 题解答: 如图底面正三角形的边长为 4, 体积 V ? 三.解答题 15.解: (Ⅰ)在△ABC 中

1 g4g( 4 sin 600 )g2 ? 8 3 2

c b sin C b ,∴ ? ? .--------------------2 分 sin C sin B sin B c sin C C ? 2 sB in ∵ sin ,∴ ? 2 ,-----------------------------------2 分 sin B ∴ c ? 2b ,--------------------------------------------------------5 分 ∴c=4 .---------------------------------------------------6 分

(Ⅱ)在△ABC 中, cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ,--------------------------------8 分 2bc c 2 ? bc .-------------------------------10 分 2bc



a 2 ? b2 ? bc ,∴ cos A ?



4b2 ? 2b2 1 c ? 2b ,∴ cos A ? ? .-------------------------------12 分 4b2 2
o

∴ A ? 60 .-------------------------------------------------------13 分 16. (Ⅰ)证明:

? O,E 分别是 AB 和 AC 的中点, ?OE∥BC .--------------2 分 又? OE ? 面 VBC, BC ? 面 VBC.----------------------------3 分 ? OE / / 面 VBC. -----------------------------------------4 分 (Ⅱ)证明: ? VA=VB,∵ △ABC 为等腰三角形, 又? O 为 AB 中点,∴ VO⊥AB;--------------------------------------5 分 在△VOA 和△VOC 中,OA =OC, VO=VO,VA=VC, △VOA≌△VOC;-----------6 分
∴ ∠V0A=∠VOC=90o. ∴ VO⊥OC;--------------------------------------7 分

? AB∩OC=O, AB ? 平面 ABC, OC ? 平面 ABC, ---------------------8 分
∴ VO⊥平面 ABC. ---------------------------------------------------9 分

(Ⅲ)解:在圆 O 内,OA=OC,∠CAO=45o,所以 CO⊥AO. 由(Ⅱ)VO⊥平面 ABC,如图, 建立空间直角坐标系.-------------------------10 分 ? OA=OB=OC=OV=1, 1 1 ∴ C(1,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E( , ,0). -----------11 分 2 2 ??? ? ??? ? CB =(-1,-1,0), CV =(-1,0,1) uur u r ? ?? ?CB ? m ? 0, 设 m ? ( x, y, z) 为平面 VBC 的法向量,则 ? uuu , r u r CV ? m ? 0. ? ?

z

V

B C x

O E A y

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u r ? x ? y ? 0, 所以 ? 令 x ? 1 ,解得 m ? (1, ?1,1) .----------------------12 分 ? x ? z ? 0. r 同理,求得平面 VOE 的法向量为 n ? (1, ?1,0) .--------------------13 分

? ? ? ? u?v cos ? u, v ?? ? ? |u |?| v |
=
1?1 6 , ? 3 3? 2
6 .----------------------------------------------14 分 3

所以 cos ? ?
17.解:

(Ⅰ)设甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元为事件 A.------------------ ---1 分
3 3 3 C3 ? C3 ? C4 1 则 P( A) ? ? 3 C10 20

答:甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率为 (没有答,不扣分)

1 .-------------------6 分 20

(Ⅱ)设甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元为事件 B.----------7 分 则 P ( B) ?
1 1 1 2 2C32C3 ? 2C32C4 ? 2C3 C4 13 ? 3 C10 20

1 1 1 C3C4 13 1 C3 或 P ( B) ? 1 ? ? ? 3 20 C10 20

答:甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率为

13 .--------13 分 20

(没有答,不扣分) 18.解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为 (0, ??) . 当 a =0 时, f ( x) ? x ln x , f '( x) ? ln x ? 1 .-----------------------1 分
1 令 f '( x) ? 0 得 x ? .------------------------------------------2 分 e

.

x
f '( x) f ( x)

? 1? ? 0, ? ? e?

1 e

?1 ? ? , ?? ? ?e ?

递减

0 极小值

+ 递增 ------------5 分

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1 1 ∴ f ( x) 的最小值为 f ( ) ? ? .--------------------------------6 分 e e (Ⅱ) x?a ∵ f '( x) ? ln x ? x 1 x?a ) .-----------------------------7 分 ∴ g ( x ) ? x 2 ? ax ? (ln x ? 2 x 1 a g '( x ) ? x ? a ? ( ? 2 ) ,--------------------------------------8 分 x x 1 ? ( x ? a )(1 ? 2 ) , x ( x ? 1) ? ( x ? a )( x ? 1) .------------------------------------9 分 x2

(1)当 ?1 ? a ? 0 时,在 (0, ?a ) , (1, ??) 内 g '( x) ? 0 ;在 ( ?a,1) 内 g '( x) ? 0 . ∴

? ?a,1? 为递减区间, ? 0, ?a? , ?1, ??? 递增区间.----------------11 分

(2)当 a ? 0 时,在 (0,1) 内, g '( x) ? 0 ;在 ?1, ?? ? 内, g '( x) ? 0 . ∴ ? 0,1? 递减区间, ?1, ?? ? 递增区间.---------------------------13 分 综上所述,当 ?1 ? a ? 0 时, g ( x ) 单调递增区间为 ? 0, ?a ? , ?1, ??? ,递减区 间为 ? ?a,1? ;当 a ? 0 时, g ( x ) 单调递增区间为 ?1, ?? ? ,减区间 为 ? 0,1? .-----------------------------------------------------14 分 19. 解: (Ⅰ)∵焦点为 F(1,0) ,∴ p ? 2 ,∴抛物线方程为 y 2 ? 4x .-----3 分 (Ⅱ)方法一:∵直线 OA、OB 的斜率之积为 ?
1 2 1 x .------5 分 2k

∴设直线 OA 的方程为 y ? kx ;直线 OB 的方程为 y ? ?

? y ? kx 4 4 联立 ? 2 得 A( 2 , ) ,同理 B(16k 2 , ?8k ) .-----------------9 分 k k ? y ? 4x
由抛物线关于 x 轴对称可知定点在 x 轴上, 那么当 A, B 横坐标相同时的横坐标即 为定点的横坐标.-------------------------------11 分 4 1 4 令 2 ? 16k 2 ,解得 k 2 ? ,则 2 ? 16k 2 =8,点 M(8,0)为直线 AB 过的定点. 2 k k ----------------------------------------------------------12 分 下面证明直线 AB 过 M 点 ???? uuu r 4 4 ∵ MA ? ( 2 ? 8, ) , MB ? (16k 2 ? 8, ?8k ) k k r uuu r uuu 4 4 由 ( 2 ? 8) ? (?8k ) ? (16k 2 ? 8) ? 可知向量 MA 与 MB 共线. k k ∴直线 AB 过定点 M.----------------------------------------13 分
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方法二:设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? . (1)若直线 AB 斜率存在,设其方程为 y ? kx ? b .---------------4 分

? y ? kx ? b 即 k 2 x2 ? (2kb ? 4) x ? b2 ? 0 .----------------------7 分 ? 2 y ? 4 x ?
∴ x1 x2 ?
4b b2 , y1 y2 ? .----------------------------------9 分 2 k k

1 y y 1 ∵直线 OA、OB 的斜率之积为 ? ,即 1 ? 2 ? ? , 2 x1 x2 2 4k 1 ? ? ,即 b ? ?8k ,带入直线方程,得直线 AB 方程为 y ? kx ? 8k . b 2 ∴即直线 AB 过定点(8,0).-------------------------------11 分



(2)若直线 AB 斜率不存在,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由
y1 y2 1 ? ? ? 可得 x1 ? x2 ? 8 , x1 x2 2

∴直线 AB 方程为 x ? 8 ,过定点(8,0).-------------------12 分 综上,直线 AB 过定点.---------------------------------13 分 20.解: (Ⅰ)排序数列为 4,1,3,2.--------------------------------3 分 (Ⅱ)证明:充分性: 当数列 ?an ? 单调增时,∵ a1 ? a2 ? … ? an , ∴排序数列为 1,2,3,…,n. ∴排序数列为等差数列.----------------------------------4 分 当数列 ?an ? 单调减时,∵ an ? an?1 ? … ? a1 , ∴排序数列为 n,n-1,n-2,…,1 . ∴排序数列为等差数列. 综上,数列 ?an ? 为单调数列时,排序数列为等差数列. ---------5 分 必要性: ∵排序数列为等差数列 ∴排序数列为 1,2,3,…,n 或 n,n-1,n-2,…,1.--------------7 分 ∴ a1 ? a2 ? … ? an 或 an ? an?1 ? … ? a1 ∴数列 ?an ? 为单调数列.-------------------------------------8 分 (Ⅲ)∵数列 ?an ? 的排序数列仍为 ?an ? ∴数列 ?an ? 是 1,2,3,…,n 的某一个排序,----------------9 分
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假设不存在一项 ak ? k ,即 ai ? j , (i ? j, i ? 1, 2,3,……, j ? 1, 2,3,……) 则在各项从小到大排列后 ai 排在第 j 位--------------------11 分 ∴排序数列 ?an ? 中 a j ? i ,∴n 为偶数 12 分. ∴当 n 为奇数时,一定存在一项 ak ? k , 当 n 为偶数时,不一定存在一项 ak ? k .-------------------13 分

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