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等比数列PPT课件

时间:2014-12-13


等比数列
课件制作 徐厚营

小实验:
1.看清楚
折1次 厚度 2(21)

已知白纸的厚度为1,将白纸对折.

纸的厚度是怎样变化的.

折 2次

折3次

折4次 ... 折28次

4(22) 8(2

3) 16(24) ... 228

? 2.想一想

你能折到28次吗? (如果一页纸的厚度按0.04毫米计算)当折到第28次的 时候,请大家估计一下纸的总厚度. 0.04毫米= 0.04
-3 10 × 米

厚度 = 228×0.04 ×10-3=10737.41824 米

?哦

比珠穆郎玛峰还要高!!!

再观察这些数列
(1) (2) 2,10,50,250, ...... 1, 1/3, 1/9, 1/27 ......

(3) -3,9,-27,81 ...... 你能说出其中的规律吗?
an a2 a3 a4 ? ? ??? ?q a1 a2 a3 an ?1

an 即: ? q (n ? N , n ? 2) an ?1

(一) 定义
?

an a2 a3 a4 ? ? ??? ?q a1 a2 a3 an ?1

如果一个数列从 第2项起,每一项 与它的前一项的 比 等于 同一个常数, 这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比。通常用字母q表示。

注:(1)等比数列的所有项不为0;
(2)公比不为0.

概念辨析
1、指出下面数列哪些是等比数列哪些不是? (口答) 不是 1) 2,4,16,64 ,...... 2) 16,8,4,2,0 ,..... 不是 3) 2, -2, 2, -2...... 是 4) 1, 1, 1, 1 ...... 是 5) a, a, a, a, ...... 不一定

(二)通项公式
①归纳法
a1 ? a1 ? q a2 ? a1 ? q a3 ? a2 ? q ? a1 ? q 2 3 a4 ? a3 ? q ? a1 ? q a5 ? a4 ? q ? a1 ? q 4
0

an a2 a3 a4 ? ? ??? ? q (q不为0) 等比数列 {an }中,有: a1 a2 a3 an?1

由此可知,等比数列

?? ???a ?
n
的通项公式为

an ? a1 ? q n?1

n为正整数

(二)通项公式
叠乘法

an a2 a3 a4 ? ? ??? ?q a1 a2 a3 an ?1

? a2 ? a ?q ? 1 a3 ? ? ?q n ? 1个 ? a2 ? ? ?a ? n ?q ? ? an ?1

把这n-1个式子两边分别相乘得: n

a ? a1 ? q

n?1

(三)、新知应用

an ? a1 ? q

n ?1

①方程思想: 方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的

应用.
②一个等比数列知道其中两个条件,可以建立 两个方程,解出a1和q,从而可求其它项.

两个条件

确定一个等比数列 的项

例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它 的第1项与第2项. 解:用 ?an ?表示题中公比为q的等比数列

a3 ? 12, a4 ? 18,

?a1q 2 ? 12 即? 3 a q ? 1 ? 18 3 2 a1 ? , q ? 解得 16 3

an ? a1 ? q

n?1

3 2 a2 ? a1 ? q ? ? ? 8 16 3

16 与8. 答:这个数列的第1项与第2项分别是 3

例2 某种电讯产品自投放市场以来,经过三次降价,单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价的百 分率大约是多少(精确到1%)? n?1 解:设平均每次降价的百分率是x, n 1 那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.

a ? a ?q

若原价格 a1 ? 174 , a4 ? 58, n ? 4, q ?为 1 ?ax ,则降 58 ? 174? (1 ? x) 4?1. 因此, 价x后的价 3 整理后,得( 1 ? x) ? , 1 1 格应为 1? x ? ? 0.693 3 x ? 1 ? 0.693 ? 31 % a-ax=a(1-x)
由已知条件,有
3

将原单价与三次降价后的单价依次排列,就组成一个依 (1-x)为的公比等比数列 an ,

? ?

3

答:上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.

练一练:
1.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4,求a2的值.

2.每次用相同体积的水洗一件衣物,且每 次能洗去污垢的3/4,若洗n次后,存留的 污垢在1%以下,则n的最小值为多少?

解:设洗之前的污垢为1个单位.

洗1次 洗2次

剩下污垢为 (1-3/4)=1/4 剩下污垢为 (1/4)2

则每洗1次剩下是的污垢是前一次的1/4,构成一

个等比数列 {an } .

an=(1/4)n a4= (1/4)4=1/256<1% 而 n=3时, a3= (1/4)3=1/64>1% 答: n的最小值为4.
当n=4时,

等比数列的定义.

等比数列的通项公式推导过程.
等比数列的通项公式的应用.

作 业
⑴ 习题3.4:1,2,3 ⑵ 类比等差数列的性质 思考等比数列有何性质

求这些数列的通项公式? (快速口答)
(1) (2) 2,10,50,250, ......

an=2 × 5
(3)

n-1

an ? a1 ? q

n?1

1, 1/3,1/9, 1/27 ......

an=1 ×(1/3)

n-1

-3,9,-27,81 ......

an=(-3) ×(-3)

n-1

=(-3)

n

谢谢指导

小实验:
1.看清楚

已知白纸的厚度为1,面积为1,将白纸对折.

纸的厚度和面积是怎样变化的.

厚度 面积

折1次 折2次 折3次 折4次 ... 折28次 2(21) 4(22) 8(23) 16(24) ... 228 1/2 1/4 1/8 1/16 ...2-28

2、如果数列{an}是等比数列,那么{1/an} 是不是等比数列?{? an ? },{an }呢?
2

①函数观点;

?课后思考
纸的面积是怎样变化的