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人教版中数学职8.4直线与圆的位置关系



直线

直线 圆
8.4 直线与圆的位置关系

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1.点到直线的距离公式.

2.怎样利用直线的方程来判断两条直线的位置关系?

3.直线与圆的位置关系有哪几种? 每种关系中直线与圆的交点个数各是多少?

/> 例1 判断直线 l:y=x+2 和圆 O:x2+y2=2 的位置关系. 解:将直线和圆的方程联立,得

? y ? x?2 ? 2 2 x ? y ?2 ?
将①式代入②式,整理得 x2+2x+1=0, 解得:x=-1.

① ②

将 x=-1 代入①式得 y=1. 所以直线 l 和圆 O 有且只有一个公共点(-1,1), 即直线 l 和圆 O 相切.

如果圆的半径为r,圆心到直线的距离为d. (1)当 d>r 时,直线与圆有几个交点?直线与 圆的位置关系是怎样的? (2)当 d=r 时,直线与圆有几个交点?直线与 圆的位置关系是怎样的? (3)当 d<r 时,直线与圆有几个交点?直线与 圆的位置关系是怎样的?
相离 相切 相交

d>r
r
d

d=r

d<r

d=r

r

d

例2

已知直线 l:x+y+C=0 和圆M:(x-1)2+(y+1)2=4, 问 C 为何值时,直线 l 与圆 M 相离、相切、相交? 解:显然,圆 M 的圆心为 M(1,-1),半径 r=2.
| 1 ? (?1) ? C | 1 ?1
2 2

圆心 M 到直线 l 的距离 d =
1.当 d>r 时,即
|C | 2

?

|C | 2



>2, C ? ?2 2或C ? 2 2 时, 直线 l 和圆 M 相离;

2.当 d=r 时,即

=2, C ? ?2 2或C ? 2 2 时, 直线 l 和圆 M 相切;
2

|C |

3.当 d<r 时,即

<2,? 2 2 ? C ? 2 2 时, 直线 l 和圆 M 相交.
2

|C |

已知圆 x2+y2-2 x+4 y=0 与直线 y=k x+4,
问 k 为何值时,直线与圆相交、相切、相离?

例3

写出过圆O:x2+y2=10上一点M(2, 6 ), 且与圆相切的直线 l 的方程.

解:显然,直线 l 与直线 OM 是垂直的,而直线 OM 的斜 率为
6 ?0 6 ? . 2?0 2

y
M

l O
x

例3

写出过圆O:x2+y2=10上一点M(2, 6 ), 且与圆相切的直线 l 的方程.

由此可知直线 l 的斜率为
(?1) ? 6 6 ?? . 2 3

y
M

由直线的点斜式方程可知 直线 l 的方程为
6 y? 6 ?? ( x ? 2) . 3

l O
x

即 6x ? 3y ? 5 6 ? 0 .

求过圆 x2+y2=4 上一点(-1,

3 )的切线方程.

1.直线与圆的位置关系的代数解法: 解方程组 2.直线与圆的位置关系的几何解法: 比较 d 与 r 的关系
相离 相切 相交

d>r
r
d

d=r

d<r

d=r

r

d

必做题:P 100 练习 A 组题. 选做题:P100 练习 B 组题第 2 题.


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