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高二圆锥曲线最值教案


课题:圆锥曲线中的最值问题(一)
北京市八一中学
教学目标: 1、 知 识 与 技 能 : ( 1) 以 圆 锥 曲 线 中 椭 圆 为 例 使 学 生 初 步 掌 握 求 最 值 的 几 种 常 见 方 法,如均值定理、二次函数等 ( 2) 在 解 题 过 程 时 , 能 熟 练 将 几 何 条 件 进 行 代 数 转 化 , 并 利 用 相 关代数知识进行

计算 2、 方 法 与 过 程 : ( 1) 通 过 作 业 题 展 示 复 习 回 顾 求 最 值 的 常 见 方 法 , 并 做 分 析 对 比 ( 2 ) 对 于 求 面 积 最 大 值 问 题 ,能 够 较 为 熟 练 的 将 题 目 中 的 几 何 条 件 进 行代数转化,并选择恰当的形式,利用相关代数知识解决问题 ( 3) 对 于 分 式 求 解 最 值 , 注 意 式 子 的 结 构 特 征 , 通 过 合 理 换 元 , 转 化 为二次函数或利用均值定理 ( 4) 在 解 题 过 程 中 注 意 不 同 方 法 的 比 较 ,选 择 更 好 的 方 法 解 题 , 减 少 运算步骤,提高结果的准确度 ( 5 ) 类 比 椭 圆 中 最 值 问 题 的 处 理 方 法 ,通 过 作 业 题 对 其 他 圆 锥 曲 线 求 最值问题进行研究 3、情 感 、态 度 价 值 :培 养 学 生 研 究 问 题 、 分 析 问 题 的 意 识 ,在 解 决 数 学 问 题时自觉地使用学科基本思想方法, ( 数 形 结 合 、函 数 与 方 程 等) ,提高自身数学素养 教学重点: 1、 2、 在解决椭圆中求最值问题时,形数转化的思想方法 求最值时根据式子结构特征进行化简变形,从而顺利求解

刘扬

教学难点:求最值时如何将表达式化成可以利用二次函数或均值定理的形 式

教学过程:
教学 环节 例题:(课本 P48 习题 B 组第 5 题)已知P为椭圆 教学内容 设计意图

x2 ? y 2 ? 1 上任意一点, 以作业展 4
示的方式 进行复习 回顾,帮 助学生分 析变量间 的关系, 列出关系 式后对求 最值方法 进行总结 对比

F1 , F2 是椭圆的两个焦点,求: | PF1 | ? | PF2 | 的最大值.
【分析】 : 所求是两个变量的积, 这两个变量是否有相关性?因为是椭圆 上点到焦点的距离,所以 r1 ? r2 ? 2a ? 4 ,于是可以向两个方向转化, 第一:可以考虑均值定理,和为定值积有最大值;第二:可以考虑消去 变量转化为二次函数求最大值。
解:【方法一】:

| PF1 | ? | PF2 | 2 ) 因为 | PF1 | ? | PF2 |? 4 2 4 2 所以 | PF1 | ? | PF2 |? ( ) ? 4 当且仅当 | PF1 |?| PF2 | 时取到“=” 2 | PF1 | ? | PF2 |? (
【方法二】:因为 | PF1 | ? | PF2 |? 4

所以

| PF1 | ? | PF2 |?| PF1 | ( 4? | PF1 |) ? ? | PF1 |2 ?4 | PF1 | ? ?(| PF1 | ?2) 2 ? 4
3,2 ? 3 ] ,所以当 | PF1 |? 2 时, | PF1 | ? | PF2 | 取最

因为 | PF1 |? [2 ? 大值 4 .

还可以这样考虑,点P在椭圆上运动,使 | PF1 | ? | PF2 | 的值发生变化, 在 某 一 特 定 位 置 时 乘 积 取 到 最 大 值 , 因 此 可 设 P ( x0 , y 0 ) , 这 样

| PF1 | ? | PF2 | 的 值 与 x0 , y0 有 关 , 而 x0 , y0 满 足 椭 圆 方 程
x0 ? 4 y 0 ? 4 ,所以可消去变量转化为二次函数处理。
【方法三】:设点 P( x0 , y0 ) ,
2 2

y0 ?

2

4 ? x0 4

2

F1 ( ? 3,0), F2 ( 3,0)

| PF1 | ? | PF2 |? ( x0 ? 3 ) 2 ? y 0 ? ( x0 ? 3 ) 2 ? y 0 ? ( x0 ? 3 ) 2 ? ? ? x0
2

2

2

4 ? x0 4 ? x0 ? ( x0 ? 3 ) 2 ? 4 4
2

2

2

x x 2 ? 2 3 x0 ? 3 ? 1 ? 0 ? x0 ? 2 3 x0 ? 3 ? 1 ? 0 4 4
2 2

2

3x0 3x0 ? 2 3x0 ? 4 ? ? 2 3x0 ? 4 4 4 3x0 3x0 3x0 2 ? 2) 2 ? ( ? 2) 2 ? [( ) ? 2 2 ]2 2 2 2

? ( ?|

3 2 x0 ? 4 | 4
3 2 x0 4

因为 x0 ? [ ?2,2] ,所以 | PF1 | ? | PF2 |? 4 ?

当 x0 ? 0 时, | PF1 | ? | PF2 | 取最大值 4 另外还可设 P(2 cos? , sin? ) ,将 | PF1 | ? | PF2 | 转化为与参数 ? 相关的 函数,利用三角代换法解决问题。 【变式】 : 在上例中延长 PF1 交椭圆于点 Q ,连接 QF2 ,求 ?PQF2 面 积的最大值. 【分析】 :可以设直线 PQ 方程为 y ? k ( x ?
由面积公 式的选择 入手,分 析需要的 条件,再 列式计算

3 ) ,与椭圆方程联立,三

角 形 PQF2 的 面 积 可 用 | PQ | 与 F2 到 PQ 的 距 离 d 来 表 示 , 即

S ?PQF2 ?

1 | PQ | d ,再求最大值. 2

也 可 以 将 ?PQF2 的 面 积 分 成 两 个 小 三 角 形 面 积 之 和 , 即

S ?PQF2 ? S ?PF1F2 ? S ?QF1F2 ?
可设为 x ? ty ? 3 .

1 | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 | ,这时直线 PQ 的方程 2

【方法一】 :当直线 PQ 斜率不存在时, | PQ |? 1 , F2 到 PQ 的距离为

2 3 ,则 S ?PQF2 ?

1 1 | PQ | d ? ? 1 ? 2 3 ? 3 2 2
3) ,

当直线 PQ 斜率存在时,设直线 PQ 方程为 y ? k ( x ?

2 2 代入椭圆 x ? 4 y ? 4 中得 (1 ? 4k ) x ? 8 3k x ? 12 k ? 4 ? 0(1)

2

2

2

2

因为直线 PQ 过椭圆焦点,所以方程(1)必有两实根,设 P( x1 , y1 ) ,

Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

12 k 2 ? 4 ? 8 3k 2 , ,由弦长公式得 x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
? 8 3k 2 2 12 k 2 ? 4 4(1 ? k 2 ) ) ? 4 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
,所以

| PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 (

设 F2 到 PQ 距离为 d,则 d ?

| 2 3k | 1? k2

S ?PQF 2

1 1 4(1 ? k 2 ) | 2 3k | ? | PQ | d ? ? ? 2 2 1 ? 4k 2 1? k2

4 3 | k | (1 ? k 2 ) 4 3 k 2 (1 ? k 2 ) ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2


1 ? 4k 2 ? u, u ? [1,??)



k2 ?

u ?1 4











4 3 S ?PQF 2 ?

u ?1 u ?1 (1 ? ) 2 4 4 ? 3 ? u ? 2u ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 2 ? 1 u u2 u2 u

1 1 4 ? 3 ? ? 3( ? ) 2 ? u 3 3
因为 u ?[1,??) ,所以 最大值为 2 ? 3 综上所述三角形 PQF2 的面积最大值为 2

2 1 1 1 时 S ?PQF 2 取 ? (0,1] ,当 ? 时,即 k ? ? 2 u u 3

另外对

4 3 k 2 (1 ? k 2 ) 也可以用均值定理: 1 ? 4k 2

4 3 k 2 (1 ? k 2 ) 4 3k 2 (1 ? k 2 ) 3k 2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2 ? ?2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

当且仅当 3k 2 ? 1 ? k 2 时,即 k ? ?

2 时 S ?PQF 2 取最大值 2 2

【方法二】 :设直线 PQ 方程为 x ? ty ? 3 代入椭圆 x ? 4 y ? 4 中得
2 2

( 4 ? t 2 ) y 2 ? 2 3ty ? 1 ? 0 ,因为直线 PQ 过椭圆焦点,所以上述方程
必有两实根,设 P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y 2 ) 则 y1 ? y 2 ? 所以 | y1 ? y 2 |? (

?1 2 3t , y1 ? y 2 ? 4 ? t2 4 ? t2

2 3t 2 4 t2 ?1 , ) ? ? 4 4 ? t2 4 ? t2 (4 ? t 2 ) 2

提倡学生 使用第二 种直线设 法,这样 计算更简 便,更容 易提高准 确率

S ?PQF 2 ? S ?PF1F2 ? S ?QF1F2

1 t2 ? 1 ? | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 |? 4 3 (1) 2 (4 ? t 2 ) 2

令 4 ? t 2 ? u, u ? [4,??) 则 t 2 ? u ? 4 代入上式

S ?PQF2 ? 4 3

u?3 1 1 1 ? 4 3 ? 3( ? ) 2 ? 2 u u 6 12
1 1 1 1 ? (0, ] ,当 ? 时,即 t ? ? 2 时 S ?PQF 2 取 u 4 u 6

因为 u ? [4,??) ,所以 最大值为 2

另外, 若对( 1)式令 1 ? t 2 ? u, u ? [1,??) 则 t 2 ? u ? 1 则( 1)式可变为

S ?PQF 2 ? 4 3

t2 ? 1 u 1 ?4 3 ?4 3 2 2 2 2 u ? 6u ? 9 (4 ? t ) (u ? 3) u

?4 3

1 9 u? ?6 u

u?

9 ? 6 当且仅当 u ? 3 时,即 t ? ? 2 时 S ?PQF 2 取最大值为 2 u

课堂小结: 本节课通过对椭圆中相关最值问题的讨论, 复习了求最值的几种常见方 法: 二次函数、 均值定理, 三角代换等等; 并再次强调处理解析几何问题时, 要将已知的几何条件作代数转化, 并利用代数知识解决几何问题, 实现几何

? 代数 ? 几何的转化;认真观察函数式结构,利用换元法将式子变形,并
求出最大值; 今天只是对椭圆中最值问题进行了初步的研究, 课后请同学们 按照相同的研究方法,试着对双曲线和抛物线最值问题进行研究, 完成以 下作业题。

课后作业:

6, 3 直线 y ? t 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆P圆
1.已知椭圆 C 的左右焦点坐标分别是 ( ? 2 ,0), ( ? 2 ,0) ,离心率是

心为P. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若圆P与 x 轴相切,求圆心P的坐标; (Ⅲ)设 Q ( x, y ) 是圆P上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值.
2.已知P为双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上任意一点, F1 , F2 是双曲线的两个 a 2 b2

焦点,求: | PF1 | 的最小值. 3.已知抛物线 C: y 2 ? 4 x ,过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1 , l2 , 分别交抛物线 C 于 A,B 和 M,N.设线段 AB,MN 的中点分别为 P,Q 求证:直线 PQ 恒过一个定点;并求 ?FPQ 面积的最小值.


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