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高二数学 2.4《等比数列》(2课时)教案(新人教A版必修5)


课题: §2.4 等比数列 授课类型:新授课 (第2课时) ●三维目标 知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列 的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并 应用于现实生活的,数学是丰富多

彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比中项的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) , 即:

an =q(q≠0) a n ?1
n ?1

2.等比数列的通项公式: a n ? a1 ? q 3. a n }成等比数列 ? { 的必要非充分条件

(a1 ? q ? 0) , a n ? a m ? q n ?m (a m ? q ? 0)

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) “ a n ≠0”是数列{ a n }成等比数列 an

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 Ⅱ.讲授新课 1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号)

如 果 在 a 与 b 中 间 插 入 一 个 数 G , 使 a,G , b 成 等 比 数 列 , 则

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab , a G
反之,若 G =ab,则 ≠0) [范例讲解] 课本 P58 例 4 证明:设数列 ?a n ?的首项是 a1 ,公比为 q1 ; ?bn ? 的首项为 b1 ,公比为 q 2 ,
2

G b ? ,即 a,G,b 成等比数列。∴a,G,b 成等比数列 ? G 2 =ab(a·b a G

-1-

那么数列 ?a n ? bn ?的第 n 项与第 n+1 项分别为:

a1 ? q1

n ?1

? b1 ? q 2

n ?1

与a1 ? q1 ? b1 ? q 2 即为a1b1 (q1q 2 ) n?1 与a1b1 (q1q 2 ) n
n n

a n ?1 ? bn ?1 a1b1 (q1 q 2 ) n ? ? ? q1 q 2 . a n ? bn a1b1 (q1 q 2 ) n ?1
它是一个与 n 无关的常数,所以 ?an ? bn ?是一个以 q1 q2 为公比的等比数列 拓展探究: 对于例 4 中的等比数列{ an }与{ bn },数列{

an }也一定是等比数列吗? bn an a ,则 cn ?1 ? n ?1 bn bn ?1

探究:设数列{ an }与{ bn }的公比分别为 q1和q2 ,令 cn ?

an ?1 a cn ?1 bn ?1 a b q ? ? ? ( n ?1 )? n ?1 ) ? 1 ,所以,数列{ n }也一定是等比数列。 ( an bn cn an bn q2 bn
课本 P59 的练习 4 已知数列{ an }是等比数列, (1) a5 ? a3a7 是否成立? a5 ? a1a9 成立吗?为什么?
2 2

(2) an ? an ?1an ?1 (n ? 1) 是否成立?你据此能得到什么结论?
2 2 an ? an ?k an ? k (n ? k ? 0) 是 否 成 立 ? 你 又 能 得 到 什 么 结

论? 结论:2.等比数列的性质:若 m+n=p+k,则 a m a n ? a p a k 在等比数列中,m+n=p+q, a m , a n , a p , a k 有什么关系呢? 由定义得: a m ? a1 q
m ?1

a n ? a1 q n ?1
2

a p ? a1 q p ?1
p ? k ?2

a k ? a1 ? q k ?1

a m ? a n ? a1 q m? n ? 2
2

, a p ? a k ? a1 q

则 am an ? a p ak

Ⅲ.课堂练习 课本 P59-60 的练习 3、5 Ⅳ.课时小结 1、若 m+n=p+q, a m ? a n ? a p ? a q 2、若 ?a n ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,则 ?an ? bn ?、{

an }也是等比数列 bn

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Ⅴ.课后作业 ●板书设计 ●授后记

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