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高中数学椭圆练习

时间:2012-11-13


椭圆练习题 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.椭圆 2 x ? 3 y ? 6 的焦距是
2 2



) ) )

A.2 B. 2( 3 ? 2 ) C. 2 5 D. 2( 3 ? 2 ) 2.F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是 ( A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 5 3 3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 ( 2 2 2 2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 A. ? B. C. D. x ? y ? 1 ? ?1 ? ?1 ?1 10 6 4 8 8 4 10 6 2 2 4.方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 ( A. (0,??)
2 2



B. (0,2) )

C. (1,+∞)

D. (0,1)

5. 过椭圆 4 x ? 2 y ? 1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 与椭圆的另一焦点 F2 构成

?ABF2 ,那么 ?ABF2 的周长是(

A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1 6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为 2 2 1 1 A. B. C. D. 2 4 4 2





x2 y2 x2 y2 7. 已知 k <4,则曲线 ? ? 1 有( ? ? 1和 9?k 4?k 9 4
A. 相同的准线 B. 相同的焦点
2



D. 相同的长轴 x y 17 8.已知 P 是椭圆 ? ? 1 上的一点,若 P 到椭圆右准线的距离是 ,则点 P 到左焦点的距离是 100 36 2 ( ) 66 77 16 75 A. B. C. D. 5 5 8 8
2

C. 相同的离心率

x2 ? y 2 ? 1 上, F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90 ? ,则 ?F1 PF2 的面积是( 2 3 1 A. 2 B. 1 C. D. 2 2 2 2 10.椭圆 4 x ? 9 y ? 144 内有一点 P(3,2)过点 P 的弦恰好以 P 为中点,那么这弦所在直线的方程为
9.若点 P 在椭圆 ( A. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 C. 4 x ? 9 y ? 144 ? 0
2 2



) B. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D. 9 x ? 4 y ? 144 ? 0 ( D. 10 )

11.椭圆 x ? y ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是
16 4

A.3
2 2

B. 11

C. 2 2

12.在椭圆

y x ,F ? ? 1内有一点 P(1,-1) 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M,使|MP|+2|MF|的值最小,则 4 3

这一最小值是





5 A. 2

7 B. 2

C.3

D.4

一、 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.)

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? 13.椭圆 。 4 m 2 x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 PF2 的最大值为 14.设 P 是椭圆 4
为 。

;最小值

15.直线 y=x- 1 被椭圆 x +4y =4 截得的弦长为
2 2

2



16.已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 25及点A(1,0), Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M,则点 M 的轨迹方程 为 。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知三角形 ABC 的两顶点为 B(?2,0), C(2,0) ,它的周长为 10 ,求顶点 A 轨迹方程. 18、椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.
2 2

19、中心在原点,一焦点为 F1(0,5

2

)的椭圆被直线 y=3x-2 截得的弦的中点横坐标是 1 ,求此椭圆的方程。
2

20、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e= 求这个椭圆方程。 21、椭圆

3 2

,已知点 P(0, 3 2

)到椭圆上的点的最远距离是

7



9 X2 Y2 ? ? 1 上不同三点 A( x1 , y 1 ) , B(4, ) , C(x 2 , y 2 ) 与焦点 5 25 9
; 的垂直平分线与 轴的交点为 ,求直线 的斜率 .

F(4,0)的距离成等差数列. (1)求证 (2)若线段

2 2 22、椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0 ? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两点,且 OP ? OQ ,其中 O 为坐标原点. a2 b2

(1)求

1 1 ? 2 的值; 2 a b

(2)若椭圆的离心率 e 满足 3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 3 2

椭圆练习题参考答案 一、 选择题: ACDD ADBD BBDC 二、 填空题 13、3 或

16 3

14、

4

, 1

15、

2 38 5

16、 4 x ? 4 y ? 1
25 21

2

2

三、 解答题 17、

x2 y2 ? ? 1 (x ? ?3) 9 5
为长轴端点时, ; , , , ,

18、解:(1)当

椭圆的标准方程为: (2)当 为短轴端点时, ;

椭圆的标准方程为: 19、设椭圆:
x
2

a2

?

y

2

b2

,则 ? 1 (a>b>0)
3 2 1 2

a +b =50…①

2

2

又设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,弦 AB 中点(x0,y0) ∵x0= ,∴y0= -2=-
1 2

2

? y2 x2 ? 1 ? 1 ?1 2 2 2 2 2 2 2 由 ? a 2 b 2 ? y1 ?2 y2 ? ? x1 ? x2 ? k AB ? y1 ? y2 ? ? a 2 ? x0 ? 3 ? a 2 ? 3b 2 …② ? 2 x1 ? x2 y0 a b b ? y 2 ? x2 ? 1 ? 2 b2 ?a

解①,②得:a 75,b =25,椭圆为: 20、 ∵e == a
2

2=

2

y 2 x2 ? 75 25

=1

2

? b2 a2

b 3 ? 1 ? ( ) 2 ? ? a ? 2b a 4 x2 4b
2

∴椭圆方程可设为:

?

y2 b2

? 1(b ? 0)
2 2 2 2 2

设 A(x,y)是椭圆上任一点,则:│PA│ =x +(y- 3 ) =-3y -3y+4b +
2

9 4

?

f(y) (-b≤y≤b)
2

讨论:1°、-b>- 1

2

? 0<b<

1 2

时,│PA│ 2 = f(-b)=(b+ 3 ) max
2

=( 但 b> ,矛盾。不合条件。 2°、-b≤-
1 2 1 ? 2
2

7 )2 ? b ? 7 ?

3 2

b≥ 时,│PA│ 2 = f(- )=4b +3=7 ? b =1 max

1 2

1 2

2

2

∴所求椭圆为: x

4

? y2 ? 1

21、证明:(1)由椭圆方程知







由圆锥曲线的统一定义知: ∴ 同理 ∵ ∴ 即 (2)因为线段 . 的中点为 . ,且 , , .



,所以它的垂直平分线方程为

又∵点



轴上,设其坐标为

,代入上式,得

又∵点 ∴



都在椭圆上,

3

∴ 将此式代入①,并利用

. 的结论得

22、[解析]:设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ ? x
2 2

1

x

2

+ y1 y

2

= 0

? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代入上式得: 1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 2x

① 又将 y ? 1 ? x代入

y x 2a 2 , ? 2 ? 1 ? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ,? ? ? 0,? x1 ? x 2 ? 2 a ? b2 a2 b a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 . x1 x 2 ? 2 a ? b2 a2 b2
c2 b2 1 b2 ? 1? 2 ? ? 1? 2 ? 3 a2 a a 1 1 2 5 3 5 ? ? 2 ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2a ? 1 3 4 2 2

(2) ? e 2 ?

a2 1 1 b2 2 ? ? 2 ? , 又由(1)知 b 2 ? 2 2 a 3 2a 2 ? 1 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5 , 6 ]. 2

4


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