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高二数学(理)曲线单元测试卷

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高二数学(理)曲线单元测试卷
一、选择题:
1.双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 ( ) 2 5 6 A.( ,0) B.( ,0) C.( ,0) D.( 3,0) 2 2 2 2 2 2.双曲线 8kx -ky =8 的一个焦点是(0,3),则 k 的值是 ( ) 65 6 A.1 B.-1 C. D.- 3 3 3.抛物线 y=2x2

的准线方程为 ( ) 1 1 1 A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-1 8 4 2 2 4. 抛物线 y =ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) |a| |a| a A. B. C.|a| D.- 4 2 2 x2 y2 5.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的 a b 圆的半径是 ( ) A.a B.B C. ab D. a2+b2 x2 y2 6. 已知双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离 a b 5 为 c(c 为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为 ( ) 3 5 3 3 5 2 A. B. C. D. 2 2 5 3 → → 7. 已知双曲线的两个焦点 F1(- 10, 0), F2( 10, 0), M 是此双曲线上的一点, 且MF1· MF2 → → =0,|MF1|· |MF2|=2,则该双曲线的方程是 ( ) 2 2 2 x2 2 y x y x2 y2 A. -y =1 B.x2- =1 C. - =1 D. - =1 9 9 9 7 7 3 2 2 8. 已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2= ( ) 1 3 3 4 A. B. C. D. 4 5 4 5 2 9.已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点, 点 P 到准线的距离为 d, 且点 P 在 y 轴上的射影 7 是 M,点 A( ,4),则|PA|+|PM|的最小值是( ) 2 7 9 A. B.4 C. D.5 2 2 x2 y2 10. 点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的 a b 交点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:
x2 y2 11. 已知圆 C 过双曲线 - =1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆 9 16

心到双曲线中心的距离是______.

x2 y2 12. 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的值为 m m +4 ________. 13. 双曲线 C:x2-y2=1 的渐近线方程为_______;若双曲线 C 的右顶点为 A,过 A 的 → → 直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线交于 P,Q 两点,且PA=2AQ,则直线 l 的斜率为_______. 14. 边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点,且过 A、B 的抛 物线方程是________. 15. 已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥ PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.

三、解答题:
4 16. 已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,并且焦点都在圆 x2+y2=100 上,求双曲线方 3 程.

8 3 17. 求两条渐近线为 x+2y=0 和 x-2y=0 且截直线 x-y-3=0 所得的弦长为 的双 3 曲线的方程.

18. 设椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、 B 两点, 点 C 是 AB 的中点, 若|AB| 2 =2 2,OC 的斜率为 ,求椭圆的方程. 2

x2 y2 19.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)与抛物线 y2=4x 有共同的焦点 F,且两曲线在第一象 a b 5 限的交点为 M,满足|MF|= . 3 (1)求椭圆 C 的方程; → 1→ → 2→ (2)设直线 y=kx-2 与椭圆 C 交于 A,B 两点,OP= OA,ON= OB,若原点 O 在以 3 3 PN 为直径的圆外,求实数 k 的取值范围.

20. 直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求 出 k 的值;若不存在,说明理由.

x2 21. 如图,动圆 C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆 C2: +y2=1 相交于 A,B,C,D 四点,点 9 A1,A2 分别为 C2 的左,右顶点. (1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.

部分参考答案
2 2 ?ax +by =1, 18 解析 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 那么 A、 B 的坐标是方程组? ?x+y-1=0 2 2 2 2 的解.由 ax1+by1=1,ax2+by2=1,两式相减,得 y1-y2 y1+y2 a a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.因为 =-1,所以 = , x1-x2 x1+x2 b 2yC a yC a 2 即2x =b,x =b= 2 ,所以 b= 2a.① C C 再由方程组消去 y,得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 由|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 2?x1-x2?2= 2[?x1+x2?2-4x1x2]=2 2, b-1 ? 2b ? 得(x1+x2)2-4x1x2=4,即?a+b?2-4· =4.② a+b ? ?

x2 2y2 1 2 由①、②解得 a=3,b= 3 .故所求的椭圆方程为 + = 1. 3 3
(1)由题意知,抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 F(1,0),准线方程为 x 5 =-1.设 M(xM,yN)(xM>0,yM>0),因为点 M 在抛物线上,且|MF|=3,所以点 M 5 2 8 2 的横坐标 xM=3-1=3,从而 yM =4xM=3. 4 8 ? 2 2 ? 9 3 x y 又点 M 也在椭圆 C:a2+b2=1 上,故有?a2+b2=1, 解得 a2=4, ? ?c2=a2-b2=1, x2 y2 b2=3.所以所求椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. y=kx-2, ? ? (2)由?x2 y2 消去 y,得(4k2+3)x2-16kx+4=0. + =1, ? ?4 3 因为直线与椭圆 C 有两个交点 A,B,所以 Δ=(-16k)2-16(4k2+3)>0,即 1 16k 4 k2>4.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x x = . 4k +3 1 2 4k2+3 因为原点 O 在以 PN 为直径的圆外,所以∠PON 为锐角. → 1→ → 2→ → → 又因为OP=3OA,ON=3OB,所以∠PON 为锐角,所以OA· OB>0, → → 即OA· OB =x1x2 + y1y2 = x1x2 + (kx1 - 2)(kx2 - 2) = (k2 + 1)· x1x2 -2k(x1 + x2)+4 2 -12k +16 4 16k =(k2+1)· 2 -2k· 2 +4= >0. 4k +3 4k +3 4k2+3 4 1 1 4 2 3 1 1 2 3 解得 k2<3.又 k2>4,所以4<k2<3,即- 3 <k<-2或2<k< 3 . 2 3 1 1 2 3 故实数 k 的取值范围是(- 3 ,-2)∪(2, 3 ) 19 解析

20. 解析 (1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后, 整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,

?Δ=?2k? -8?k -2?>0, ? 2k 故?- >0, k -2 ? 2 >0, ?k -2
2 2 2 2

k2-2≠0,

解得 k 的取值范围为-2<k<- 2.

(2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 2k ? x1+x2= , ? 2-k2 则由①式得? .② 2 x2= 2 ? ?x1· k -2 假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0), 则由 FA⊥FB 得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③ 6 把②式及 c= 2 代入③式化简得 5k2+2 6k-6=0. 6+ 6 6- 6 解得 k=- 5 或 k= 5 ?(-2,- 2)(舍去). 6+ 6 可知 k=- 5 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 21. 解析 (1)设 A(x0,y0),则矩形 ABCD 的面积 S=4|x0||y0|. x2 x2 x2 1 92 9 0 0 0 2 2 2 2 2 由 9 +y0=1,得 y0=1- 9 ,从而 x0y0=x0(1- 9 )=-9(x2 0- ) + . 2 4 1 2 9 当 x0 =2,y2 0= 时,Smax=6.从而 t= 5时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面 2 积为 6. y0 (2)由 A(x0, y0), B(x0, -y0), A1(-3,0), A2(3,0)知直线 AA1 的方程为 y= x0+3 2 -y0 -y0 2 (x+3),①直线 A2B 的方程为 y= (x-3).②由①②得 y2= 2 (x -9).③ x0-3 x0-9 x2 0 2 又点 A(x0,y0)在椭圆 C2 上,故 y0 =1- 9 .④ x2 将④代入③得 9 -y2=1(x<-3,y<0). x2 2 因此点 M 的轨迹方程为 9 -y =1(x<-3,y<0).


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