nbhkdz.com冰点文库

数学问题解答


2 0 1 5年  第 5 4卷  第 2期 

数 学通 报 

6 3  

数 学 问题 解 答 
同理 ( ( z   -a ) ( n   -b ) ( “   一c )  

2 0 1 5年 1月 号 问题 解 答 
( 解答 由问题 提供 人给 出)  


一( C   -a ) ( f   -b ) ( f   一f )  

( 2 )  

( 工) 当Ⅱ -a   ≥O时 ,  
因 a -c   ≥n 一6   ≥a 一“   ≥O ,   故 ( “ 一以   ) ( 口 一b   ) ( 以 一f   ) ≥O .  

2 2 2 1 有 一表 面积 为定 值 S的 长 方 体 , 其 所 有顶 

点 在 半径 为 定 值 R 的 球 面 上 移 动 。记 球 面上 的 
两个 定 点分 别 为 M 和 M  , 当长 方 体 的某 一 顶 点 
由 M 移 动 到 M  时, 长方体 的棱 长 随之 变化 , 其 中 

由等式 ①可 得 ( c —a   ) ( c —b   ) ( c —c   ) ≥O  
假设 ( 一 一c   <O , 则 c 一“   ≤f ~b   ≤C -f   <O ,  

③ 

从 而有 ( C -a   ) ( f —b   ) ( f —C   ) <0 , 这 与③ 矛盾 .   故 f —c   ≥0 , 此 时( 口 一d   ) ( f —f   ) ≥O .  

最 长棱 的 长度 由 n变 化 到 a   并 且 仍 为最 长 棱 , 最 
短棱 的 长 度 由 c变 化 到 c   并 且 仍 为 最 短 棱.求 
证 : ( n~ n   ) ( c —C   ) jo > .  

( I I ) 当a -a   <O即 a   -a  ̄ 0时 ,  

根据 等式 ② , 同理 可证 C   一c >0 ,   4 5 3 6 0 0 )  
即 f —c   <O , 此时 ( 。 ~口   ) ( f ~f   ) >O .  

( 河 南 省辉 县市 一 中  贺 基军

证 明  根据 题 意 , 设 长 方 体 中 从 同一 顶 点 出   发 的三条 棱对 应 于 M 的长 度 分 别 为 n, b , C , 对 应 

综合( 工) ( Ⅱ) , 命题 得 证.  
2 2 2 2 求证 : t a n   1 0 。 +t a n  5 0 。 +t a r t   7 O 。 一9 .  

于 M/ 的 长度 分 别 为 n   , b   , f  且 a > jb ≥f , a / ≥『 )  
j c >  
.  

( 江西南 昌大学 附 中  宋 证 明  令 t a n   1 0 。 =t , 则 
t a n   3 0 。 = = = t a n( 2 O 。 +】 0 。 )  



3 3 0 0 4 7)  

由题设 知 , “ 6 +6 f +f &: = = n ~ b +6   f   +f   a  


1   S

,  

l 一 
~  

~ 

f  一 3 f  

Ⅱ  + b  + c 。一 (   ) 。 +( 6   ) 。 + ( c   ) 。  
一 ( 2 R)  .  

2 £ 。  

3 t 0 ~ 1’  

因 ( a+ +f )   一a   +b 。 +f   +2 a b +2 b c +2 c a  
一4 R0 + S.  

t a n0   5 0 。 J _ t a n  7 0。  

一t a n 。 ( 6 0 。 一1 0 。 ) +t a n   ( 6 0 。 +1 O 。 )  


( a   +b   +c   )  = = = 4 R  + S,  

故 & +6 +f =口   +6   +f   .  
从 而 可 得 
( 口~ at )( Ⅱ一 b   ) ( “一 c   )  

一(  

)+(  

)  

1 +0 3 £  

1 —0 3  

一(  

+  

)   ~2 .  

. — j g   +t  

1 +√ 3 t  l 一√ 3 z  
1 2( t 。 +1 )   ( 3 t  一 1)  

1 +√ 3 t  1 一√ 3 t  

一a  ~ ( 口   +b   +f   ) a 。 + ( 口   6   +b   c   + f   a  ) 口  
一 a' b   c  


2 t 。 一6   6 t   +4 4 t 。 +6   3 t   一 1   ( 3 t 。 一1 )   ’  

r “  一 ( n+ 6 +f ) a 。 +( a b +b c +c a) 日]  
-a   b。 c  

t a n。l O 。 一 -t a n 0   5 0。 _ Lt an 。7 0 。  



厂 (   — n) ( 口一 6 ) ( 6 一 ) +“ 6 f ]- -a   b   f  
n 6 c — n   b   f  ,  

同理 ( f —n   ) ( c 一6   ) ( c —f   ) =a b c —d   b   c   ,  
故有 ( n —n   ) ( a —b   ) ( 口 一C   )   一( c ’ 一a   ) ( f 一  ) ( f —c   )   ① 

2 2 2 3 在 △AB C中, 求证 :  

6 4  

数 学通报 
一  
.  

2 0 1 5年  第 5 4卷  第 2期 
(* )  

■_ _   十■  _ _ B十 

由二 元均 值不 等式 得 

≥ f I {   . n  刚 A + ’ 建 .   “  “ B + 。 毒1 .   (   I 1   .  
≥2  

“一 “一—    厂 十  + 

+  十— 

+  十_

+ 十  

垒  ±   上— a + — b  
姜坤 


( 上 海市 宝 山区宝林 六 村 4 2号 1 0 1 室
崇  2 0 1 9 9 9 )  

[ L   [  
L 


“ 6  

+    ( 。 ?  

J 。L  

6 f  

+  “  一 ] +     。 J  

证 明令 s i n   一   . s i n 譬 一   ’ s i n  一 z  
c o  一   ,   c o t   譬 万 一, b     c o t C = =   c ( a , b ,   c   > o 0 ) ,  
c。t   一  ,
. 

fⅡ  

+  b  ] ≥  。   J   ~.  

即不 等式 ( *) 成立 , 从 而原不 等 式得证 .  
2 2 2 4   已知 两 圆 a 、 口相 切 于 D 点 , A 是 圆 a上任 




.   C 
n 

点, AG与 圆 口相 切 于 G 点 , 过 A 作 弦 AB 并延 

S1 n 

则 




长 交 圆  于 K、 C, E 是 AB 弧 上 的中点 ( E、 G都在 

~—■ ■  一 
刚 n 

直 线 AB 同侧 ) , ED 的延 长 线 交  口于 F, 连 接 
G F交 AC 于 H , 求证 : AG=AH.  

A 
。  口 

~—■ ■ 
cot  

十 cot  

~再   ’  
x 一 y一上  

同 理 可 得  型 : 

C+ a’z  

a+ 6’  

以上 三式相 乘得 
a b c  

一  
所以 j — xy z  
Yz  

: 干_ _ ‘  
( 江西 师大鹰 潭学 院 王 建荣 3 3 5 0 0 0 )   证 明  连接 E a , 则 E a J _ AB, 过I 9 作f l wJ _ KC  
ab e "   b+  

交 圆  于 W , 则p w 平 分 KC弧 且 E  ∥f l W; 连 接 
’   两圆圆 心 a ,  , 显 然 a 、 D、 J 9共 线 , 故 △a DE~ 

干 
所 以  一  (
C+ a)( a+ 6 )’  

‘  

Ap DW, 因此 E、 D、 w 共线, 故 F 和 w 重合 , 即F  
是 KC弧 上 的 中点. 分 别连 接 FC、 F K、 C G,所 以 
F C K一  FKC一  F GC, 故 △F G C   △F CH ,   所以   FHC一  FC G, 由 弦 切 角 可 知  F G A 一 
FC G, 因 此  FGA一  FHC, 即 AG—AH.  

所 以 s i “   A —   一 √  b c   ,   同 理 可 得s i n 导 一 √   干  干   ,  




厂—— 



 

n  一 ^ 、 /  
所证 不等 式可化 为 



’  

( b +C ) ( C + n) .( C+ a) ( a+ b)  

“一— —   厂

十— —   _

十  
F W 

堡 ±垒  垒 ±  

≥ 2 [ N /   a   b  

…  

+ N /  

2 2 2 5 若实 数 a , b , c ≥0 , 则 
b   c + 

/ ( a q - b ! ( b q - c ) ]  

学 ≥  



 

≥   平
≥  3   ≥ 

 

展 开 整 理 町得 

(   万 +、 / ,  +  ̄ /  )  
≥3 ( n  
一.  

+6   _ n+ c  

)  

±  

±  

≥ n 6 f  

≥ 

五  

( 天 津水 运 高级技 工 学校 黄 兆麟  3 0 0 4 5 6 )   证明 先证链 中 第 一 个 不 等 式 , 由二 三 元 均 值 
定理 , 立 得 

最后 证 链 中第 五 个 不 等 式. 由 三 元 均 值 定 理 ,  
立 得 
c 

n+ b+ C   ( n+ 6) + ( 6+ C )+ ( C + n)  
3   6  

≥3  

一3  

≥ 

√  

3  
2 0 1 5年 2月 号 问题 

接 下来 证 难度 较 大 的链 中第 二 个 不 等 式 , 注 意 剑  有 恒 等式 
( “+ 6) ( 6+ f ) ( f+ “)  


至此 不等 式链 全 部获证 .  

( Ⅱ+ b4 - C) ( 2b ( -b 4 c -f 4 “)一 ( 2b e,  

( 来 稿 请注 明 出处—— 编 者 )  

且有 “ -b 4 - f一  ̄ 4 / ( “ -b 4 -f 4 ) 。  
≥ ̄ / 3 ( d 6 -b 4 c -C 4 2 ( )  
== = 

2 2 2 6 已知函数 y 一/ ’ (  ) 与y 一2 ÷的图像关 
于直 线 Y—   对 称 .数 列 {   } 满 足  } 。一 
, ’ ( &  ) (   ∈ N ) .  

丽丽 ≤ √ (  
( “ 6 +  4 -C 2 ( )  

)  

( I) 若 n 。 一3 , 求讧 E : 存 在 正 整数 。 , 使得 当 ≥ 
时有 “  1 >“  

那 么  ( “ +6 ) ( 6 +c ) ( c - n) 4  


( n4 - b4 -(   ) ( 2b ( -b 4 c -( 4 ’ “) 一d 6 (  

≥、 / /  

( Ⅱ) 设 1   -  <“ 4 . < 

, 其 中 Ⅲ 为常数 , Ⅲ∈  

==

8  

平 事
. 

   
c +( 2 >/ 2 ( b +b c + c 2 (  

N  且 m≠ 1 . 求 最小 的正 整数 p, 使得 当 n ≥ p时 ,  
恒有 O (a   < 1成 立 .  

( 四川 省 资 阳 市 外 国 语 实 验 学 校  蔡 勇 全 
6 4l 3 O 0)  

2 2 2 7   在 三角 形 AB C中, E、 G分 别 为 AB 和 B C  
的中点 , D 为 AC 上 ( 除 C点 外 ) 任一点 , F 为 DC  

再证 链 中第 i个 不 等式 .注意 到有 

(  ̄ /   一 ̄ /  )  4 -(  ̄ /  一 ̄ /  ) 。+ (、 / ,   一 
)   ≥0  

中点 , 求证 :  
L J △ AB( ’  

≤  .  
J 

( 江西 师 大鹰潭 学 院
1 , 求证:  

王建荣

3 3 5 0 0 0 )  

展 开 整 理 可 得 

2 2 2 8   已 知  , Y, z > 0, 目.   4 -y 。 -  4 4 -2 x y z一 

3 ( Ⅱ 6 +6 f -c 4 Ⅱ ) ≥(  ̄ /  +、 / /  +  ̄ /  )  
≥  .  

/   二 二 _  /   二 二 兰   ( 1   -  4  ) ( 1 +  y)  一 。   ( 1 +  y) ( 1 +  )   + 
再证 链 中第 四个 不 等式.注 意 到有 

(  ̄ /  一  
) 。 ≥o  

) 。 - ( 4  ̄ /  一、 / ,  )  4 - ( ̄ /   一 

( 陕 西省 成 阳师 范学 院基 础 教 育 课 程 研 究 中  
心 安振 平 7 1 2 0 0 0 )  

9 0 0 2 8 X  
2  2 0 1   5 54,00


的 内角分 别 为 A, B, C, 求证 :  
CD


DE


EF 
一  



 

‘  

( 河南 省辉 县市 一 中  贺基 军
c os A    l C O S B  l  

4 5 3 6 0 0 )  

2 2 3 0 已知△ABC为锐角 三角 形 , 求证 :  
C O S C  C OS BC O S C ’C OS Cc os A ’c os AC OS B 

2 2 2 9 如图, 设 0为 △AB C 的外 心 , G, D 分 别 为  两边 AB, AC的中点 , E为直 线 C O 与线段 GD 的  交点 , F为直 线 D0 与线 段 G B 的 交点 , 记△ABC  

≥ 3   1  
宿 晓 阳  6 1 0 0 3 1 )  

1  

1  )   ( 1 )  

( 四川 I 成 都金 牛 西 林 巷 1 8号 华 鑫 园 A6 0 1  

( 上接 第 6 2 页)  

D a r l i n g t o n在研 究 这组数 据 时注 意到 , 当他 除掉 3  
个 岛屿 的数 据之 后 , 剩 下 的数 据 近 似 地 有一 定 的  规律 , 见表 4 . 为方便探索 , 表 中增 加 了一 组 虚 拟  的数据 ( 用括 号标 出 ) .  
表 4  

综上, 隔板之 间 的宽度 应取√ 2 c .  
这表 明 , 在 满足 不会 出现 并排 重 叠和侧 翻 、 或 

水平旋 转 的 条 件 下 , 隔板 宽度 为√ 2   c 。 + 2的储 药  
格 内 可 以 存 放 的 药 盒 厚 度 f的 范 围 是 f 。 ≤C ≤ 

近 似 面积 mi  
c  .  

物种 ( 近似 )   物种 ( 实际)   指标 k  
5   1 0   5   9   O   1  

由表 2 可 知 , 药盒 的厚 度 分布在 l O mm 至 
5 6 mm 之 间 , 于是 , 最 少需要 五种 间 隔 , 见表 ( 2 ) .  
表3  

4   4 0  

( 40 0)  

( 2 O)  
4 O   39  

2  
3  

岛屿  雷 东 达 岛 

面积( mi )   l  

物 种  3  

4 000  

4 00 00  

8 O  

76— 84  

4  

萨 巴 岛 
蒙 特 塞 拉特 岛  特 立 尼 达 岛  波 多 黎各 岛  牙 买 加 岛 
海 地 岛 

4  
4 O   2 O O O   3 4 O 0   4 5 O O  
3 0 0 0 0  

5  
9   8 0   4 0   3 9  
8 4  

请你 使用 这些 数 据分析 安 的列斯 群 岛各 岛 的 
生 物种 的数 量随 这个 岛屿 面积 而变 化 的规律 .  

解  如 果 用 A 表 示岛屿 的 面积 , 用 s表 示物  种 的数 量 , 则 岛屿 的面 积就 可记 作 A一4 ×1 0   , 类 
似的, 相 应 的 物 种 的 数 量 为 S= = = 5×2   .   为 了寻 找 S与 A 的 关 系 , 先 将 A一 4× 1 0  变 
形 为 A  一1 0   , 两边取 对数 , 得 矗一 l g   A


古 巴 岛 

4 0 0 0 0  

7 6  



2 — 

1 0  , 于 是 S一 5× 2  = = = 5 ( 1 0   g 。 )   一5 ( 1 0   )   g 。 = 

五、 ( 满分 2 o分 )为 了 研 究 岛 屿 上 生 物 种 数 

量 与 岛屿 覆盖 面 积 的大 小 的关 系. 生 物学 家 Da r —  
l i n g t o n   1 9 5 7年调 查 了位 于加 勒 比海 的安 的 列斯  群 岛各 岛屿 的面 积和 岛上 的两栖 动 物和爬 行 动 物 

5 (   一 ( 嘉  _ 3 . 2 9 A l g   _ 3 _ 2 9  .  
即物种 的数 量 是 岛屿 的 面 积 的 函数 , 其 表 达 
式 是  S一 3 . 2 9 A  .  

的种数 , 见表 3 ( 表 中 的面 积 的单 位 为 平方 英 里 ) .  
刊号 :   I S S   N 订0 = 5   8 3   -7 1 4   5 8  

全 国各地 邮局订购 

代号 2 —5 o 1  


全年定价 : 7 2 . o o  

每期 定 价 : 6 . o o 元 


数学疑难问题解答

数学疑难问题解答_三年级数学_数学_小学教育_教育专区。一年级上册疑难问题解答一、 “数一数”单元教学目标过于单一,内容单调,能否将其与“比一比”单元合并为一...

小学数学题目解答

小学数学题目解答_数学_小学教育_教育专区。题目:我军从敌方截获了10组数据 ...备注:此题的分析解答过程相对比较繁琐,但是给出了一直通用 的求解方法,类似题目...

有趣的数学问题

有趣的数学问题_小学作文_小学教育_教育专区。篇七:迷惑人的数学题 昨天,我...这题的解答如下: (1)相向:400-(60+70)*3=10(米) 答:3 分钟后两人相距...

小学数学难题讲解及答案

小学数学难题讲解及答案_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。小学数学难题讲解及...分析与解答第 9 页共 48 页 方法 1:要求第 8 项,必须知道首项和公差. ...

趣味数学题目及答案

趣味数学题目及答案_理学_高等教育_教育专区。1.6 根相同的火柴最多可以拼成几...一天,外 地来的游客来到这里, 见到两个人, 分别向他们提出关于日期的问题, ...

三年级上册数学解决问题练习题

三年级上册数学解决问题练习题_三年级数学_数学_小学教育_教育专区。姓名: 班级: 第一部分 万以内的加减法 【基础部分】 1、小明爸爸身高 183 厘米,小明比他矮...

行测数学问题集锦

行测数学问题集锦_公务员考试_资格考试/认证_教育专区。行测当中精选的数学问题解答本人收集的数算问题大全 排列组合中出现一些 显示不了的东西...请大家谅解 但是基...

小学二年级数学解决问题

小学二年级数学解决问题_数学_小学教育_教育专区。小学二年级数学书中的解决问题...(4)你还能提出其他数学问题解答吗? 11、一辆玩具汽车有 4 个车轮,5 辆...

四年级数学解决问题

(6 分)先根据下面的问题列表整理,再解答。 (1)四、五年级一共有多少人? (...四年级数学(解决问题五) 姓名: 1. 王老师带领 40 名学生去公园游玩,公园规定...