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共性映射的概念


6.1 共形映射的概念
? 6.1.1

导数的几何意义 ? 6.1.2 共形映射的概念

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1

6.1.1 导数的几何意义

? ? f ( z) ,在区域D内解析, z0 ? D, f ?( z0 ) ? 0 ,又设为平面内通
设函数
的一条有向光滑

曲线,它的参数方程是:

z ? z(t ),

? ?t ? ?
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它的正向相应于参数t增大的方向,且

z0 ? z (t0 ), z?(t0 ) ? 0,? ? t0 ? ?

z (t ) 在 t 0 的切线与实轴的夹角为 Argz?(t0 ) , f ( z ) ,把曲线C映为过点 ?0 ? f ( z0 ) 的光滑曲线(图1):

3

?

图(一)
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方程为 ? (t ) ?

f [ z (t )] ,于是在点的切线与

实轴的夹角为:

Arg? ?(t0 ) ? Argf ?( z0 ) ? Argz?(t0 )
即为 Arg? ?(t0 ) ? Argz?(t0 ) ? Argf ?( z0 ) 即? (t ) 在点 ?0 处切向量的辐角与 z (t ) 在点

z0处切向量的辐角之差总是 Argf ?( z0 )与

z (t ) 无关。因此,过点 z0 的任意2条曲线,
在映射 ?

? f ( z)
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映射之下,在点 f ?( z0 ) ? 0 的点处,夹角的 大小和旋转方向是保持不变的,这就是映射

? ? f ( z) 在 z0 处的保角性。
导数模 | f ?( z0 ) | 的几何意义
f ( z ) ? f ( z0 ) 由于 f ?( z0 ) ? lim z ? z0 z ? z0

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任取过

z0 的曲线 C : z ? z(t ) 在映射

? ? f ( z)下成为? : ? (t ) ? f [ z (t )] ,那么
| f ( z ) ? f ( z0 ) | | ? ? ?0 | lim ? lim ?| f ?( z0 ) | z ? z0 z ? z0 | z ? z | | z ? z | 0 0 z?C z?C
即像点之间的距离与原来两点的距离之比的极
限与曲线无关,这个极限值 | 在

f ?( z0 ) | 为曲线C

z0 的伸缩率,这就是映射 ? ? f ( z)
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具有伸缩率的不变性。

总结上述,有: 定理1:设函数 ? ? f ( z ) 在区域内D解析,

? ? f ( z) 在 z0 具有下述两个性质:
(1) 保角性,即通过

z0 ? D

,且

f ?( z0 ) ? 0 那么映射

z0

两条曲线间的夹角

跟经过映射后所得两条曲线间的夹角在大小
和方向上保持不变;
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(2) 伸缩率的不变性,即通过 曲线的伸缩率均为 |

z0 的任何一条
,而与其形

f ?( z0 ) |

状和方向无关。

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6.1.2共形映射的概念 定义 设函数 ?

? f ( z) 在 z0 具有保角性和

伸缩率的不变性,则称映射

? 在z0是共形映射。

若映射在区域D内的每一点都是共形的,则 称映射 是D内的共形映射。 且 定理2 如果函数 ? ? f ( z ) 在 z0 是解析,

?

f ?( z0 ) ? 0,则映射 ? ? f ( z) 在区域D内 处处有 f ?( z0 ) ? 0,则映射 ? ? f ( z )
是D内的共形映射。
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定理3 (黎曼映射定理) 若B为单连通区域,

z0 为B中任意一点,则 其边界多于一点,
在上存在唯一的一个把一一对应地映射成 单位圆内部的共形映射

? ? f ( z) ,且

f ?( z0 ) ? 0 。 f ( z0 ) ? 0 ,

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