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2014届安徽省高考必考点数列专题预测


2014 届安徽省高考必考点数列专题预测
题组一 高考题汇编
1 . (2013 福建理) 已知等比数列 {an } 的公比为 q,记 bn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m ,

cn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ...

? am ( n ?1) ? m (m, n ? N * ), 则以下结论一定正确的是(
A.数列 {bn } 为等差数列,公差为 q C.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q 解:等比数列 {an } 的公比为 q,?
m

)

B.数列 {bn } 为等比数列,公比为 q D.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q

2m

m2

mm

同理可得

a

2 m?2

? a2 ? a2 m ? 2 , a m ? m ? am ? a2 m ? m
2

c1 ? a1 ? a2 ? ... ? am , c2 ? am?1 ? am? 2 ? ... ? am? m ,

c3 ? a2 m?1 ? a2 m? 2 ? ... ? a2 m? m , ? c2 2 ? c1 ? c3 ?数列 {cn } 为等比数列,
?
2 c2 am?1 ? am? 2 ? ... ? am? m a1 ? a2 ? ... ? am ? q 2 m ? ? ? q 2 m ? q m 故选 C c1 a1 ? a2 ? ... ? am a1 ? a2 ? ... ? am

2. (2013 新课标Ⅱ卷理)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则

a1 ?
(A)

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

解:设等比数列{an}的公比为 q, 因为 S3=a2+10a1,5=9, a 所以



解得

.所以

.故选 C.

3 .2013 新课标 1 理) ( 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,则 m ? ( )A.3 B.4 C.5 D.6

解:am=Sm﹣Sm﹣1=2,am+1=Sm+1﹣Sm=3,所以公差 d=am+1﹣am=1, Sm= =0,得 a1=﹣2,所以 am=﹣2+(m﹣1)?1=2,解得 m=5,故选 C.

4. (2013 辽宁理)下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ? 是递增数列;

p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2 (B) p3 , p4

(C) p2 , p3

(D) p1 , p4

解:设 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? m ,所以 P 正确;如果 an ? 3n ? 12 则满足已知,但 1

nan ? 3n2 ? 12n 并非递增所以 P2 错;如果若 an ? n ? 1 ,则满足已知,但

an 1 ? 1 ? ,是 n n

递减数列,所以 P3 错; a n ?3nd ? 4dn ? m ,所以是递增数列, P4 正确,选 D. 9. (2013 江西卷(理) )等比数列 x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24 解:由 (3x ? 3) ? x(6 x ? 6) ,即 x ? 4 x ?3 ?0 ,解得 x ? ?1 或 x ? ?3 。当 x ? ?1 时,
2

2

前三项为 ?1,0,0 不成立,舍掉。当 x ? ?3 时,前三项为 ?3, ?6, ?12 ,公比为 2 ,所以 第四项为 ?24 ,选 A. 10 . (2013 大纲卷(文理) )已知数列 ? an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? 和等于( A. -6 1-3 )
-10

4 , 则 ?an ? 的前 10 项 3

?

?

B.

1 ?1-3-10 ? 9

C. 3 1-3

?

-10

?

D. 3 1+3

?

-10

?

解 : 由 3an ?1 ? an ? 0 , 所 以

an ?1 1 ?? , 所 以 a2 ? a1q , 所 以 an 3

1 4 a1 ? a2 ? ? ? ? (?3) ? 4 ,所以 S10 ? q 3

1 4[1 ? (? )10 ] 3 ? 3(1 ? 310 ) ,故选 C. 1 1? 3
( )

11. (2013 安徽(文) )设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 = A. ?6 解: S8 ? 4a3 ? B. ?4 C. ?2 D.2

8(a1 ? a8 ) ? 4a3 ? a3 ? a6 ? a3 ? a ? 0 6 2

d ? ?2, a9 ? a7 ? 2d ? ?6 ,选 A.
12. (2013 课标Ⅰ卷(文 6) )设首项为 1 ,公比为

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 3



) B. S n ? 3an ? 2 C. S n ? 4 ? 3an D. S n ? 3 ? 2an

A. S n ? 2an ? 1

2 1 ? an a ? qan 2 3 ? 3 ? 2a ,选 D. 解:在等比数列中, an ? a1q n ?1 ? ( ) n ?1 , Sn ? 1 ? n 2 3 1? q 1? 3
13 . (2013 辽宁卷文)下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ? 是递增数列;

p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;
( )

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 A. p1 , p2 B. p3 , p4

C. p2 , p3

D. p1 , p4

解:设 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? m ,所以 P 正确;如果 an ? 3n ? 12 则满足已知,但 1

nan ? 3n2 ? 12n 并非递增所以 P2 错;如果若 an ? n ? 1 ,则满足已知,但
递减数列,所以 P3 错; a n ?3nd ? 4dn ? m ,所以是递增数列, P4 正确

an 1 ? 1 ? ,是 n n

14. (2013 年高考北京卷(理) )若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=_______; 前 n 项和 Sn=___________.2 设等比数列{an}的公比为 q, 因为 a2+a4=20,a3+a5=40,所以 ,解得 .

所以

=

=2n+1﹣2.

15. (2013 辽宁卷理)已知等比数列 ? an ? 是递增数列, S n 是 ? an ? 的前 n 项和,若 a1,a3 是方 程 x ? 5 x ? 4 ? 0 的两个根,则 S 6 ? ____________.
2

. 由题意知 a1 ? a3 ? 5, a1a3 ? 4 ,又 ? an ? 是递增数列 ,所以 a1 ? 1, a3 ? 4 ,所以

q2 ?

a3 ? 4 , q ? 2 代入等比求和公式得 S6 ? 63 。 a1

16. (2013 新课标 1 理)若数列{ an }的前 n 项和为 Sn=

2 1 an ? ,则数列{ an }的通项公式是 3 3

an =______.

an = (?2) n?1 .
17. (2013 年高考陕西卷(理) )观察下列等式:

12 ? 1 12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10
照此规律, 第 n 个等式可为___ 1 - 2 ? 3 - ? ? - 1 n ? ( )
2 2 2 n -1 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) ____. 2

( - 1) n ?1 12 - 2 2 ? 3 2 - ? ? - 1)-1 n 2 ? ( n n(n ? 1) 2
18. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 (理) (纯 WORD 版) 在等差数列 卷 ) 中,已知

? an ?

a3 ? a8 ? 10

,则

3a5 ? a7 ? _____. 20

2. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) )已知 ? an ? 是等差数 列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , S n 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? _____ 64 19. (2013 湖南卷理)设 S n 为数列 ?an 的前 n 项和, Sn ? (?1) an ?
n

?

1 , n ? N ?, 则 n 2

(1) a3 ? _____; (2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________.

1 1 1 1 , 即 a1 ? a2 ? a3 ? ? ,即 S3 ? ?a3 ? ? ? ,解 16 16 8 16 1 1 1 得: a3 ? ? .当 n 是偶数且 n ? 2 时 Sn ? an ? n ? Sn ?1 ? an ,? Sn ?1 ? ? n .又 16 2 2 1 1 1 1 Sn ?1 ? ?an ?1 ? n ?1 ,所以 an ?1 ? ? n .因此 S n?2 ? an?1 ? S n?2 ? (? n ) ? S n?1 ? ? n ,所以 2 2 2 2 S 4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a4 ?
S n ? 2 ? 0 ,即偶数项的和为零,所以

S1 ? S2 ? ??? ? S100

1? ?1? ? ?1 ? ? ? 4? ?4? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ? S1 ? S3 ? ??? ? S99 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 ? ? 1 ? 4 ? ? 16 ? ? 2 ? 1? 4

50

? ? ? ?

1 1 ? ( 100 ? 1) . 3 2
20. (2013 重庆卷文)若 2、 a 、 b 、 c 、9 成等差数列,则 c ? a ? ____________. 【答案】

7 2

21. 2013 北京卷文) ( 若等比数列 ? an ? 满足 a2 ? a4 ? 20, a3 ? a5 ? 40 ,则公比 q =__________; 前 n 项 S n =_____.【答案】2, 2n?1 ? 2 22 . 2013 广 东 卷 文 ) 设 数 列 {an } 是 首 项 为 1 , 公 比 为 ?2 的 等 比 数 列 , 则 (

a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? ________【答案】 15
23. (2013 上海卷文)在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 ,则 a2 ? a3 ? _________ 【答案】15 3 24. 安徽卷】 【12· 公比为 2的等比数列{an}的各项都是正数, a3a11=16, log2a16=( 且 则 ) A.4 B.5 C.6 D.7 B [解析] 本题考查等比数列,等比中项的性质,对数运算等. 2 (解法一)由等比中项的性质得 a3a11=a7=16,又数列{an}各项为正,所以 a7=4.所以 a16 =a7×q9=32.所以 log2a16=5. a16 1 2 (解法二)设等比数列的公比为 q,由题意,an>0,则 a3 · 11 = a2 = ? q9 ?2 = 6a16 a 7 ? ? 2 2 = 24,所以 a16 = 210,解得 a16=25.故 log2a16=5. 25. 【12· 福建卷】等差数列 {an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ?a1+a1+4d=10, ?2a1+4d=10, ? ? [解析] 根据已知条件得:? 即? 解得 2d=4,所以 d= ? ? ?a1+3d=7, ?a1+3d=7, 2.所以选择 B. 26. 【12· 辽宁卷】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( ) A.12 B.16 C.20 D.24 [解析] 本小题主要考查等差数列性质的应用.解题的突破口为正确识记性质,应用性质. 由等差数列的性质 m+n=i+j,m,n,i,j∈N*,则 am+an=ai+aj,故而 a4+a8=a2 +a10=16,答案应该选 B. 27. 【12· 辽宁卷】 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 [解析] 本小题主要考查等差数列的性质和求和公式.解题的突破口为等差数列性质的正 11×?a1+a11? 确应用.由等差数列性质可知,a4+a8=a1+a11=16,S11= =88. 2 28. 【12· 重庆卷】在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5=( ) A.7 B.15 C.20 D.25 5?a1+a5? 5×6 [解析] 因为{an}是等差数列,所以 a2+a4=a1+a5=1+5=6,所以 S5= = = 2 2 15,选 B. ? 1 ? 29. 【12· 全国卷】 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 ? n n+1?

101 D. 100 1 1 1 1 1 1 由 S5=5a3 得 a3=3, a5=5, 又 所以 an=n.∴ = = - , ∴ + +… a1a2 a2a3 anan+1 n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 + = - + - +…+ - =1- = ,故选 A. a100a101 1 2 2 3 100 101 101 101 nπ 30. 【12· 福建卷】 数列{an}的通项公式 an=ncos ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 012 等于( ) 2 A.1 006 B.2 012 C.503 D.0 [解析] 本题考查数列求和以及三角函数求值、数列的周期性等,突破点是找到该数列的周 期性的规律,再求和. π 3π 5π a1=1cos =0,a2=2cosπ=-2,a3=3cos =0,a4=4cos2π=4;a5=5cos =0, 2 2 2 7π 8π a6=6cos3π=-6,a7=7cos =0,a8=8cos =8. 2 2 该数列每四项的和为 2,2 012 ÷ 4=503,所以 S2 012=2×503=1 006. 31. 【12· 江西卷】设数列{an},{bn}都是等差数列.若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5= ________. 32. 【12· 浙江卷】设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3a2+2,S4=3a4 +2,则 q=________. [解析] 本题主要考查等比数列的求和以及二元方程组的求解.当 q=1 时,由 S2=3a2 + 2 得 a2 = - 2 , 由 S4 = 3a4 + 2 得 a4 = 2 , 两 者 矛 盾 , 舍 去 , 则 q≠1 , 联 立 方 程

100 项和为( 100 A. 101

) 99 B. 101 99 C. 100

?a1+a1q=3a1q+2, ?a1=-1, ? ? 3 4 可解得? 3 故应填 . ?a1?1-q ? 3 2 ?q=2, ? 1-q =3a1q +2, ? ?
33. 【11 天津卷理】已知 ? an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,

S n 为 ?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的值为 D
A.-110 B.-90 C.90 D.110

34.【11 全国卷理科】设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,

S A? 2 ? Sn ? 24 ,则 k ? (A)8

(B)7

(C)6

(D)5

【解析】 Sk ? 2 ? Sk ? ak ? 2 ? ak ?1 ? a1 ? (k ? 2 ? 1)d ? a1 ? (k ? 1 ? 1)d

? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 2 ?1 ? (2k ? 1) ? 2 ? 4k ? 4 ? 24 ? k ? 5 故选 D。
35.【10 全国卷 2 理】如果等差数列 ? an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

36.【10 重庆文】在等差数列 ? an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为 A (A)5 (B)6 (C)8 (D)10

37.【10 浙江理数】设 S n 为等比数列 ? an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ?11

S5 ? D S2

38.【10 辽宁文数】设 S n 为等比数列 ? an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 , 则公比 q ? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

【解析】两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ?

a4 ?4. a3

39. 【10 辽宁理数】 n}是有正数组成的等比数列,S n 为其前 n 项和。 设{a 已知 a2a4=1, S3 ? 7 , 则 S5 ? (A)

15 2
2 4

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

【解析】由 a2a4=1 可得 a1 q ? 1 ,因此 a1 ?

1 2 ,又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q ) ? 7 ,联力两 2 q

1 1 1 式有 ( ? 3)( ? 2) ? 0 ,所以 q= ,所以 S5 ? q q 2

4 ? (1 ?

1 ) 25 ? 31 ,故选 B。 1 4 1? 2
S5 ? S2

40. 【10 浙江文数】设 sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11

41. 【10 重庆理数】在等比数列 ? an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为( ) A. 2 【答案】A B. 3 C. 4 D. 8

a 2010 ?q 3 ? 8 a 2007

?q ? 2
C )

a 42. 10 北京理数】 【 在等比数列 ? an ? 中, 1 ? 1 , 公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 , m= 则 (
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

43. 【10 天津理数】已知 ? an ? 是首项为 1 的等比数列,sn 是 ? an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 , 则数列 ?

?1? 15 31 31 (A) 或 5 (B) 或 5 (C) ? 的前 5 项和为( ) 8 16 16 ? an ?

(D)

15 8

q ? 1,所以

9(1 ? q 3 ) 1-q 6 1 1 = ? 1 ? q 3 ? q ? 2 ,所以 { } 是首项为 1,公比为 的等 1-q 1? q an 2

1 1 ? ( )5 2 ? 31 . 比数列, 前 5 项和 T5 ? 1 16 1? 2
44. 【10 广东理数】 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为

5 ,则 S 5 =( )C 4

A.35

B.33

C.31

D.29 =

a 45. 10 全国卷 1 文数】 【 已知各项均为正数的等比数列{ an }, 1a2 a3 =5, 7 a8 a9 =10, aaa6 则 45 a
( ) (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2
3

a a 【解析】由等比数列的性质知 a1a2 a3 ? (a1a3 )? 2 ? a2 ? 5 , a7 a8 a9 ? (a7 a9 )? 8 ? a8 ? 10,
3

所以 a2 a8 ? 50 3 , 所以 a4 a5 a6 ? (a4 a6 )? 5 ? a ? ( a2 a8 ) ? (50 ) ? 5 2 a
3 5 3 1 6 3

1

46.【10 湖北文数】已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , a3 , 2a2 成等差数列,则

1 2

a9 ? a10 ? a7 ? a8

A. 1 ? 2

B. 1 ? 2

C. 3 ? 2 2

D3? 2 2

48. 【10 安徽理数】设 ? an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别 为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是( )D A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

49.【09 安徽卷文】已知 ? an ? 为等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】 a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ ∵ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。

50. 09 江西卷文】 【 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若 a4 是 a3与a7 的等比中项,

S8 ? 32 ,则 S10 等于
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.

18

B.

24

C.

60

D.

90

【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由
2
2

56 d ? 32 得 2 90 S1 0? 10a ?1 d ? 60 ,.故选 C 2 S8 ? 8a1 ?

2a1 ? d ? 7

则 d ? 2, a1 ? ?3 , 所 以 8

a 51. 【09 湖南卷文】 S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和, 设 已知 a2 ? 3 , 6 ? 11 , S 7 等于 C 】 则 【
A.13 解: S7 ? B.35 C.49 D. 63

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2 52.【09 福建卷理】等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
A.1 [解析]∵ S3 ? 6 ? B

5 3

C.- 2

D3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

53.【09 辽宁卷文】已知 ? an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-

1 2

(C)

1 2

(D)2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=-

1 2
2

54.【09 宁夏海南卷文】等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,

S2 m?1 ? 38 ,则 m ? (A)38

(B)20

(C)10

(D)9 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】因为 ? an ? 是等差数列,所以, am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:
2

2 a m - a m =0,所以, a m =2,又 S2 m?1 ? 38 ,即
2

(2m ? 1)( a1 ? a 2 m ?1 ) =38,即(2m 2

-1)×2=38,解得 m=10,故选.C。

a 55. 【09 重庆卷文】 ? an ? 是公差不为 0 的等差数列, 1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, ? an ? 设 则
的前 n 项和 S n =( ) A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n n 2 3n 2 ? ? C. D. n ? n 3 3 2 4

解析设数列 {an } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2? (2? 5 ),解得 d ? d ,所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? d ? 0 (舍去)

1 或 2

n(n ? 1) 1 n 2 7 n ? ? ? 2 2 4 4

56. 09 安徽卷理】 【 已知 ? an ? 为等差数列,a1 + a3 + a5 =105,a2 ? a4 ? a6 =99, S n 表示 ? an ? 以 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 [解析]:由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a 4 ? a 6 =99 得 3a4 ? 99 即

? an ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? ? an ?1 ? 0
57.【09 四川卷文】等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a 2 是 a1 和 a 5 的等比中项, 则 数 列 的 前 10 项 之 和 是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2

A. 90

B. 100

C. 145

D. 190

【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100 58.【08 全国Ⅰ卷】已知等差数列 ? an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的 和 S10 ? ( C )A.138 B.135 C.95 D.23

59.【08 天津卷】若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? B (A)12 (B)13 (C)14 (D)15

60. 【08 陕西卷】 已知 {an } 是等差数列,a1 ? a2 ? 4 ,a7 ? a8 ? 28 , 则该数列前 10 项和 S10 等于( B )A.64 B.100 C.110 D.120

61. 【08 广东卷】 记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 若 A.16 B.24 C.36 D.48

1 ,S 4 ? 20 , S 6 ? ( D ) 则 2
B )

62.【07 安徽文】等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S x 若 a 2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 B.10 C.8 D.6

63.【08 辽宁卷】设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( B ) A.63 B.45 C.36 D.27

64.【07 湖北理 8】 已知 两个 等差 数列 {an } 和 {bn } 的 前 n 项 和分 别为 A n 和 Bn , 且

An 7n ? 45 a ? ,则使得 n 为整数的正整数 n 的个数是( D ) Bn n?3 bn

A.2

B.3

C.4

D.5 )

a 65. 【07 辽宁理】 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S3 ? 9 , 6 ? 36 , 7 ? a8 ? a9 ? 若 ( S
A.63 B.45 C.36 D.27

66.【07 宁夏理】已知 ? an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 ,则其公差 d ? ( D ) A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

67.【07 陕西文】等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2 ? 2, S4 ? 10, 则S6等于 ( C ) A.12 B.18 C.24 D.42 )

68.【07 四川文】等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( B A.9 B.10 C.11 D.12

69.【07 天津理】设等差数列 ? an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, 则 k ? ( B )A.2 B.4 C.6 D.8

70.【05 全国卷 II】如果 a1 , a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则(B) (A) a1a8 ? a4 a5 (B) a1a8 ? a4 a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4 a5 71.【07 江西卷】在各项均不为零的等差数列 ? an ? 中,若 an ?1 ? an ? an ?1 ? 0(n ≥ 2) ,则
2

S2 n ?1 ? 4n ? A

A. ?2

B. 0

C. 1

D. 2

72. 【06 江西 10】已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 OB ? a1 OA? a OC,且 200 ,则 A B C 三点共线(该直线不过点 O ) S200 等于( , , )

??? ?

??? ?

????

A.100 B.101 C.200 D.201 73.【06 广东卷】已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其 公差为 C A.5 B.4 C.3 D.2

?5a1 ? 20 d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ? ?5a1 ? 25 d ? 30
S3 1 S6 74.【06 全国卷 II】设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若S =3,则S = (A) 6 12 3 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 10 3 8 9 75.【06 天津卷】已知数列 {a n } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,
* * a 且 a1 ? b1 ? 5 , 1 , b1 ? N . c n ? a bn n ? N )则数列 {c n } 的前 10 项和等于 C ) 设 ( , (

A.55 B.70 C.85 D.100 76.【06 湖北卷】若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列,且 A.4 B.2 C.-2 D.-4 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a =(D)

?a ? c ? 2b, ? a ? ?4, ? ? 2 依题意有 ?bc ? a , ?b ? 2, ?a ? 3b ? c ? 10. ?c ? 8. ? ? 77.【06 全国卷 I】设 ? an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,
则 a11 ? a12 ? a13 ? A. 120 B. 105 C. 90 D. 75

a a1 ? a2 ? a3 ? 15 ? 3a2 ? 15 ? a2 ? 5 , 1a2 a3 ? 80 ? ? a2 ? d ? a2 ? a2 ? d ? ? 80 , a2 ? 5 代 将
入,得 d ? 3 ,从而 a11 ? a12 ? a13 ? 3a12 ? 3 ? a2 ? 10d ? ? 3 ? ? 5 ? 30 ? ? 105 。选 B。 78.【01 北京、内蒙古、安徽春季卷】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 S n (万件)近似地满足 S n ?

n (21n ? n 2 ? 5)( n ? 1,2,??,12) 90

按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是 ( C ) (A)5 月、6 月 (B)6 月、7 月 (C)7 月、8 月 (D)8 月、9 月 79.【08 浙江卷】已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ?

1 ,则 a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 =C 4 32 32 (A)16( 1 ? 4 ? n ) (B)16( 1 ? 2 ? n ) (C) (1 ? 4 ?n ) (D) (1 ? 2 ?n ) 3 3
,若

80.【09 辽宁卷理】设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n

S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

(A) 2

(B)

7 3

(C)

8 3

(D)3

【解析】设公比为 q ,则

S6 (1 ? q 3 ) S3 ? =1+q3=3 ? q3=2 S3 S3

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? 于是 S6 1 ? q3 1? 2 3
81.【09 宁夏海南卷理】等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。 若 a1 =1,则 s4 = 解 析 : (A)7 4 (B)8 , 2 (C)15 (D)16 ,

?

a1

a2

a3













? 4a1 ? a3 ? 4a2 ,即4a1 ? a1q 2 ? 4a1q,? q 2 ? 4q ? 4 ? 0,? q ? 2,S4 ? 15 ,选 C.
82.【09 广东卷文】已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 =
2

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

2 8 4 【解析】 设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q

?

? ,即 q
2

2

? 2 ,又因为等比数列 {a n } 的公比

为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ? ? ,选 B q 2 2

83.【08 海南卷】设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则

S4 ?( C ) a2

17 2 2 84. 07 海南、 【 宁夏】 已知 a,b,c,d 成等比数列, 且曲线 y ? x ? 2 x ? 3 的顶点是 (b,c) , 则 ad 等于( )B A.3 B.2 C.1 D. ?2
A. 2 B. 4 C. D. 85.【08 四川卷】已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是(D ) (A) ? ??, ?1? (B) ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ? (C) ?3, ?? ? (D) ? ??, ?1? ? ?3, ?? ? 86.【06 辽宁理】在等比数列 ? an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?an ? 1? 也是等比数列, 则 S n 等于 ( C ) (A) 2n?1 ? 2 (B)

15 2

3n

(C) 2n

(D) 3 ? 1
n

87.【2011· 安徽卷若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 A 【解析】 a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10· (3×10-2)=(-1+4)+(- 7+10)+…+[(-1)9· 9-2)+(-1)10· 10-2)]=3×5=15. (3× (3× 88. 2011· 【 江西卷】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: n+Sm=Sn+m, a1=1.那么 a10=( S 且 ) A.1 B.9 C.10 D.55 【解析】 方法一:由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10,∴a10=S10-S9=S1=a1=1,故选 A. 方法二:∵S2=a1+a2=2S1,∴a2=1,∵S3=S1+S2=3,∴a3=1,∵S4=S1+S3=4, ∴a4=1,由此归纳 a10=1,故选 A. 89. 【11 江西卷理科】 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? S m ? S n? m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 ? ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55

解析:? S2 ? a1 ? a2 ? 2S1 ,? a2 ? 1

? S3 ? S1 ? S2 ? 3,? a3 ? 1 ,? S4 ? S1 ? S3 ? 4,? a4 ? 1 , ? a10 ? 1
90. 【2011 四川理 8】数列 ? an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an ?1 ? an (n ? N *) . 若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? (A)0 解 析 (B)3 : 由 已 (C)8 知 知 (D)11

bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8,









(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3
91.【2010 安徽文】设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ,则 a8 的值为 A
2

(A) 15

(B) 16

(C)

49

(D)64

92.【08 江西卷】在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A ) A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D.1 ? n ? ln n

1 n

1 n 解析:选 A.因为 an+1=an+ln(1+ ),从而有 an=an-1+ln n n-1 n-1 an-1=an-2+ln n-2 ? ? a2=a1+ln2 n+1 n n-1 2 累加得 an+1=a1+ln( · · · )=2+ln(n+1),∴an=2+lnn,故应选 A. …· n n-1 n-2 1
* 93.【08 北京卷】已知数列 ? an ? 对任意的 p,q ? N 满足 a p ? q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那

么 a10 等于( C ) A. ?165 B. ?33 C. ?30 D. ?21

94 . 2013 广 东 卷 ( 文 ) 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 满 足 ( )
2 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, ? N ? 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列. n ,

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2
4a1 ? 5

2 2 【答案】(1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ?

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

?当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,? a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1
2

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.

(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? 2 ?

100. (2013 山东卷(文) )设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4S 2 , a 2 n ? 2a n ? 1 (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 【答案】

b b1 b2 1 ? ? ? ?? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? a1 a2 an 2

103. (2013 山东卷理)设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S4 ? 4S 2 , a2 n ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn .

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2 n (n ? N * ) .求数 2n

解:(Ⅰ)设等差数列

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? a ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2( n ? 1) d ? 1 S ? 4S2 a2 n ? 2an ? 1 由 4 , 得 ? 1 ,
解得,

a1 ? 1 d ? 2 a ? 2n ? 1 ( n ? N * ) , 因此 n

(Ⅱ)由题意知:

Tn ? ? ?

n n n ?1 bn ? Tn ? Tn ?1 ? ? n ?1 ? n ?2 n ?1 2 2 2 所以 n ? 2 时,
(n ? N * )

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( )n?1 2 n ?1 2 4

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? (n ? 1) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( )2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? (n ? 2) ? ( ) n?1 ? (n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( )2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 4 4 ? (n ? 1)( 1 ) n ? 1 3n ? 1 1 4 Rn ? (4 ? n ?1 ) 1? 9 4 4 整理得

Rn ? (4 ? ?c ? 9 所以数列数列 n 的前 n 项和

1

3n ? 1 ) 4n ?1

114. (2013 浙江卷文)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数 列. (Ⅰ)求 d,an; (Ⅱ) 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| . 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
; (Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,
n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? ?? an ? ? ?
②当12 ? n 时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ? (a12 ? a13 ? ? ?? an ) ? ? ? ? 2(a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ?? ?? an ) ? 2 ? ? ? 11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? ? 2 2 2

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ? | an |? ? ; ?? 2 ? n ? 21n ? 220 ,(n ? 12) ? ? 2
155.(07 湖南卷)已知 An (an,bn )( n?N* ) 是曲线 y ? e 上的点,a1 ? a ,S n 是数列 {an }
x

的前 n 项和,且满足 S n ? 3n an ? S n ?1 , an ? 0 , n ? 2,4, 3, ….
2 2 2

(I)证明:数列 ?

? bn ? 2 ? ? ( n ≤ 2 )是常数数列; ? bn ?

(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ? M 时,数列 {an } 是单调递增数列; 解: (I)当 n≥ 2 时,由已知得 S n ? S n ?1 ? 3n an .
2 2 2

因为 an ? Sn ? Sn ?1 ? 0 ,所以 Sn ? S n ?1 ? 3n 于是 Sn ?1 ? Sn ? 3(n ? 1)
2

2

…… ①

……② 由②-①得 an ?1 ? an ? 6n ? 3 … ③

于是 an ? 2 ? an ?1 ? 6n ? 9 .…… ④ 由④-③得 an ? 2 ? an ? 6 , …… ⑤

?b ? bn ? 2 e an?2 ? an ? e an?2 ? an ? e6 ,即数列 ? n ? 2 ? ( n ≥ 2) 是常数数列. 所以 bn e ? bn ?
(II)由①有 S2 ? S1 ? 12 ,所以 a2 ? 12 ? 2a .由③有 a3 ? a2 ? 15 , a4 ? a3 ? 21 ,所以

a3 ? 3 ? 2a , a4 ? 18 ? 2a .
而 ⑤表明:数列 {a2 k } 和 {a2 k ?1} 分别是以 a2 , a3 为首项,6 为公差的等差数列, 所以 a2 k ? a2 ? 6(k ? 1) , a2 k ?1 ? a3 ? 6(k ? 1) , a2 k ? 2 ? a4 ? 6(k ? 1)(k ? N*) , 数列 {an } 是单调递增数列 ? a1 ? a2 且 a2 k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 2 对任意的 k ?N* 成立.

? a1 ? a2 且 a2 ? 6(k ? 1) ? a3 ? 6(k ? 1) ? a4 ? 6(k ? 1)
? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a ? 12 ? 2a ? 3 ? 2a ? 18 ? 2a ?
即所求 a 的取值集合是 M ? ? a 165.(09 全国卷Ⅱ理) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, S n ?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

9 15 ?a? . 4 4

? 9 15 ? ? a ? ?. 4? ? 4

4 , 解: 由 a1 ? 1, 及 S n ?1 ? 4an ? 2 , a1 ?a2 ? a1 ? 2 (I) 有
由 S n ?1 ? 4an ? 2 ,. ..①

a2 ? 3 1 ? 2? 5? b1 a? 2a? 3 a , ? 2 1

则当 n ? 2 时,有 S n ? 4an ?1 ? 2 ...② ..

②-①得 an ?1 ? 4an ? 4an ?1 ,? an ?1 ? 2an ? 2(an ? 2an ?1 ) 又? bn ? an ?1 ? 2an ,? bn ? 2bn ?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an ?1 ? 2an ? 3 ? 2
n ?1

,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ? 1) ? 2n ?2 2 2 4 4 4

?数列 {

176.(08 四川卷 20) . 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 ban ? 2 ? ? b ? 1? Sn
n

(Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2n ?1 是等比数列; (Ⅱ)求 ? an ? 的通项公式 【解】 :由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ? b ? 1? Sn
n

?

?

ban ?1 ? 2n ?1 ? ? b ? 1? Sn ?1


两式相减得 b ? an ?1 ? an ? ? 2 ? ? b ? 1? an ?1
n

即 an ?1 ? ban ? 2n

(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an ?1 ? 2an ? 2n 于是 an ?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
又 a1 ? 1? 2n ?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2n ?1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。 (Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,即 an ? ? n ? 1? 2 当 b ? 2 时,由由①得
n ?1

?

?

an ?1 ?

1 1 1 b ? ? ? 2n ? ? 2n?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? ? 2n ? b ? an ? 2?b 2?b 2?b 2?b ? ?

因此 an ?1 ?

1 1 ? ? 2 ?1 ? b ? n ?b ? 2n ?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? 2?b 2?b 2?b ? ?

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 n n ?1 n?2 ? 2 ? b ? 2 ? ? 2 ? 2b ? b ? ? ? ?
178. 【09 重庆市】设数列 ? an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? nan ? 2 (n ? N *).
n

(I)求数列 ? an ? 的通项; (II)设 bn ? n an , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
2

解: (I)? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? nan ? 2 , ①
n

?当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? (n ? 1)an?1 ? 2n?1 , ②

将①-②得 nan ? 2 ? 2
n

n ?1

? 2n ?1 ,? an ?

2n?1 (n ? 2). n

? 2( n ? 1) ? . 在①中,令 n ? 1, 得 a1 ? 2. ? an ? ? 2 n ?1 ( n ? 2) ? ? n
(II)由 bn ? n an 得 bn ? ?
2

?

2(n ? 1)

n ?1 ?n?2 (n ? 2)

, 则当 n ? 1 时, S1 ? 2,

?当 n ? 2 时, Sn ? 2 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ... ? n?2n ?1 ,
2 则 2Sn ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? (n ? 1)?
2 3 n ?1

? n?2n ,

? Sn ? n?2n ? (2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n?1 ) ? (n ? 1)2n ? 2( n ? 2). 又 S1 ? 2, ? Sn ? (n ? 1)2n ? 2(n ? N *).
181. 【07 福建卷 21】数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2Sn (n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 解: (Ⅰ)? an ?1 ? 2Sn ,? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,?

Sn ?1 ? 3 .又? S1 ? a1 ? 1 , Sn

?数列 ? S n ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n ?1 (n ? N* ) .
3 当 n≥ 2 时, an ? 2Sn ?1 ? 2?
n?2

n ? 1, ?1, (n ≥ 2) ,? an ? ? n ? 2 3 ??? ,n ≥ 2.

(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,当 n ? 1 时, T1 ? 1 ;

3 3 3 当 n≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4? ? 6? ? ? ? 2n?
0 1

n?2

,①

3Tn ? 3 ? 4? 1 ? 6? 2 ? ? ? 2n? n ?1 ,② 3 3 3 3 ① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ? ? 3n ?2 ) ? 2n? n ?1

3(1 ? 3n ? 2 ) 1 ? 1? 3 ? 2 ? 2? ? 2n? n ?1 ? ?1 ? (1 ? 2n)? n?1 .?Tn ? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ≥ 2) . 3 2 ? 2? 1? 3
又?T1 ? a1 ? 1 也满足上式,?Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?

185. 【10 安徽卷 21】设 C1 , C2 ,?, Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的 正半轴上, 且都与直线 y ?

3 x 相切, 对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn ?1 相互外切, rn 以 3

表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和. 【解题指导】 (1)求直线倾斜角的正弦,设 Cn 的圆心为 (?n , 0) ,得 ?n ? 2rn ,同理得

n rn

?n ?1 ? 2rn ?1 , 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系, 得两圆半径之间的关系, {rn } 中 rn ?1 即
与 rn 的关系,证明 {rn } 为等比数列; (2)利用(1)的结论求 {rn } 的通项公式,代入数列 然后用错位相减法求和.

n , rn

3 3 1 x的倾斜角记为,则有tan? = ,sin ? ? , 3 3 2 r 1 设Cn的圆心为(?n,0),则由题意得知 n ? ,得?n ? 2rn;同理 ?n 2 解:(1)将直线y=

?n+1 ? 2rn+1,从而?n+1 ? ?n ? rn ? rn+1 ? 2rn+1,将?n ? 2rn 代入,
解得rn+1 ? 3rn 故 rn 为公比q ? 3的等比数列。 (?)由于rn ? 1,q ? 3,故rn ? 3n ?1,从而 记Sn ? 1 2 n ? ? ..... ? , 则有 r1 r2 rn n ? n *31? n , rn

Sn ? 1 ? 2*3?1 ? 3*3?2 ? ......n *31? n Sn ? 1*3?1 ? 2*3?2 ? ...... ? ( n ? 1) *31? n ? n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn ? 1 ? 3?1 ? 3?2 ? ... ? 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 ? ? n *3? n ? ? ( n ? ) *3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n ? 3) *31? n ? S n ? ? (n ? ) *31? n ? 4 2 2 4

186.【10 安徽卷理 20】.设数列 a1 , a2 , a3 , a4 …… an ?1 中每一项都不为 0 证明, ? an ? 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ? N ,都有

1 1 1 n ? ? ? …… ? an an ?1 an an ?1 a1a2 a2 a3


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