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2.2.1对数与对数运算(二)教案

时间:2011-10-18


2.2.1 对数与对数运算(二)
教学目标
(一) 教学知识点 对数的运算性质. (二) 能力训练要求 1.进一步熟悉对数定义与幂的运算性质; 2. 理解对数运算性质的推倒过程; 3.熟悉对数运算性质的内容; 4.熟练运用对数的运算性质进行化简求值; 5.明确对数运算性质与幂的运算性质的区别. (三)德育渗透目标 1.认识事物之间的普遍联系与相互转化; 2.用

联系的观点看问题.

教学重点
证明对数的运算性质.

教学难点
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.

教学过程
一、复习引入: 1.对数的定义

log a N = b
新疆 王新敞 奎屯

其中 a ∈ (0,1) U (1,+∞) 与 N ∈ (0,+∞)

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2.指数式与对数式的互化

a b = N ? log a N = b (a > 0且a ≠ 1)
3.重要公式: ⑴负数与零没有对数; ⑶对数恒等式 a
log a N

⑵ log a 1 = 0 , log a a = 1
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=N

a m ? a n = a m + n (m, n ∈ R )
4.指数运算法则 ( a ) = a
m n mn

(m, n ∈ R)

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(ab) n = a n ? b n (n ∈ R)
二、新授内容: 1.积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) = log a M + log a N (1) M log a = log a M ? log a N ( 2) N log aM n = nlog aM(n ∈ R) ( 3)
证明:①设 log a M=p, log a N=q. ∴MN= a a = a
p q p+q

由对数的定义可以得:M= a ,N= a .

p

q

∴ log a MN=p+q, 即证得 log a MN= log a M + log a N. 由对数的定义可以得 M= a ,N= a
p q

②设 log a M=p, log a N=q.





M ap = q = a p?q N a

∴ log a

M = p?q N

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即证得 log a

M = log a M ? log a N . N

③设 log a M=P 由对数定义可以得 M= a , ∴M =a
n np

p

∴ log a M =np,

n

即证得 log a M =n log a M.

n

说明:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒 等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式. ①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”…… ②有时逆向运用公式:如 log10 5 + log10 2 = log10 10 = 1 . ③真数的取值范围必须是 (0,+∞) :

log 2 (?3)(?5) = log 2 (?3) + log 2 (?5) 是不成立的.
log10 (?10) 2 = 2 log10 (?10) 是不成立的.
④对公式容易错误记忆,要特别注意:

log a ( MN ) ≠ log a M ? log a N , log a ( M ± N ) ≠ log a M ± log a N .
2.讲授范例: 例 1. 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式:

(1)log a

xy ; z

(2) log a

x2 y . 3 z

解: (1) log a

xy = log a (xy)- log a z= log a x+ log a y- log a z z
= log a ( x
2

(2) log a

x2 y
3

z
2

y ) ? log a 3 z

= log a x + log a 例 2. 计算

1 1 y ? log a 3 z =2 log a x+ log a y ? log a z . 2 3
(4) lg 5 100

(1) log5 25 , (2) log 0.4 1 , (3) log 2 ( 47 × 25 ) , 解: (1) log 5 25= log 5 5 =2
2
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(2) log 0.4 1=0. = 2×7+5=19.

(3) log 2 ( 4 7 ×25)= log 2 4 7 + log 2 2 5 = log 2 2 2×7 + log 2 2 5 (4)lg 5 100 = log10 =
2

1 5

2 2 lg10 = . 5 5
(2) lg 20 + log100 25;

例 3.计算:
2 (1) (lg 5) + lg 2 ? lg 50;

(3) lg14 ? 2 lg

7 + lg 7 ? lg18. 3
2 2 2

说明:此例题可讲练结合. 解:(1) (lg 5) + lg 2 ? lg 50 = (lg 5) + lg 2 ? (lg 5 + 1) = (lg 5) + lg 2 ? lg 5 + lg 2 = lg 5(lg 5 + lg 2) + lg 2 = lg 5 + lg 2 =1; (2) lg 20 + log100 25 = lg 20 + lg 5 = lg 100 =2; (3)解法一:lg14-2lg

7 2 +lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg( 3 ×2) 3

=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.? 解法二: lg14-2lg

7 7 2 +lg7-lg18=lg14-lg ( ) +lg7-lg18=lg 14 × 7 3 3 7 2

( ) × 18 3

= lg 1 = 0

评述:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3)题各部分变形要化到最简形式, 同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 例 4.已知 lg 2 = 0.3010 , lg 3 = 0.4771 , 求 lg 45 例 5.课本 P66 面例 5. 20 世纪 30 年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级, 地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级 M,其计算公式为 M=lgA-lgA0. 其中,A 是被测地震的最大振幅,A0 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中 的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20,此时标准地震的振幅 是 0.001,计算这次地震的震级(精确到 0.1); (2)5 级地震给人的震感已比较明显, 计算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍(精确到 1).

例 6.已知 log18 9 = a , 18 = 5 ,求 log 36 45
b

(备用题)

评述:此题体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视. 3.课堂练习: 教材第 68 页练习题 1、2、3 题. 4.课堂小结 对数的运算法则,公式的逆向使用. 5、课后作业:


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