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离心率问题


离心率问题
类型一、几何法 1.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F 1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A, B 两点,若 ?ABF2 是正三角形, 则这个椭圆的离心率是____________. 变式练习:在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径作圆, a

2 b2

过点 (

a2 , 0) 做圆的两切线互相垂直,则椭圆的离心率为_________. c

2. 已知正方形 ABCD ,若以 A, B 为焦点的椭圆过 C , D 两点,则椭圆的离心率为_______. 变式练习:在 ?ABC 中,?A ? 90 , tan B ?

3 ,以 A, B 为焦点的椭圆过 C ,则椭圆的离心率为__________. 4

3.椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 且抛物线 y 2 ? 2bx 的焦点为 F,若 F1F ? 3FF2 ,此椭圆 2 a b

离心率为_________ 4. F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A, B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆与双曲线左 a 2 b2

支的两个交点, ?F2 AB 为等边三角形,则双曲线的离心率为_________. 练习: 1.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线与双曲线 则双曲线的离心率为__________. 2.设双曲线两个焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 做双曲线实轴所在直线的垂线交双曲线于 P ,若 PF2 ? 2 F 1F 2 ,则双曲 线的离心率为___________. 3. F1 , F2 分别为双曲线

x2 ? y 2 ? 1交于 A, B 两点,点 F 为抛物线的焦点,若 ?FAB 为直角三角形, 2 a

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右两个焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两 a 2 b2

点,若 ?F2 AB 为锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是____________. 4. F1 , F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是_______. 5. 在 ?ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?

uuur uuuu r

7 ,以 A, B 为焦点的椭圆过 C ,则该椭圆的离心率为___________. 18

6. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点做圆 x2 ? y 2 ? a2 的两条切线,切点分别为 A, B, ?AOB ? 120 a 2 b2

( O 为坐标原点) ,则双曲线的离心率为__________.

7.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个角为 60 ,则双曲线 C 的离心率为___ 8. ABCDEF 为正六边形,以 F , C 为焦点,且经过 A、E、D、B 四点的双曲线的离心率为_______. 类型二:方程法 1. 在平面直角坐标系 xoy 中, 双曲线中心在原点, 焦点在 y 轴上, 一条渐近线为 x ? 2 y ? 0 , 则它的离心率为_____.

2. 已知两个正数 a , b 的等差中项是 心率为_______ 3.过双曲线 x ?
2

9 x2 y 2 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b ,则双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离 2 a b

y2 ? 1(b ? 0) 的左焦点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线的两条渐近线分别相交于 B,C 且 b2

AB ? BC ,则双曲线的离心率为________.
4.设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 相切,该双曲线的离心率等于_______ 2 a b x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 A 做斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线交于 B,C 两 a 2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率为_______ 2

5. 过双曲线

点,若 AB ?

x2 y 2 6.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P, a b
若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( 7.设 F1 , F2 为双曲线 的离心率是( 8.过椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,若 F1 , F2 , P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线 a 2 b2



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点,若 ?F1PF2 ? 60 ,则椭圆 a 2 b2


的离心率为( 9.已知椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 有相同的焦点 (c, 0), (?c, 0) ,若 与双曲线 a 2 b2 m2 n 2

c是a与m的等比中项,n2是m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是____________
10.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M,N 两点,以 MN 为直径的圆 a 2 b2

刚好过双曲线的右焦点,则双曲线的离心率等于_____________


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