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专题16 圆锥曲线的综合应用(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)

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圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点,主要以解答题的形式呈现,往往作为考题 的压轴题之一,以椭圆或抛物线为背景,尤其是与条件或结论相关存在性开放问题,对考生的代数恒等变 形能力、计算能力有较高要求. 考点一 圆锥曲线中的最值、范围 圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值),或者利用式 子的几何意义求解. 例 1、如图所示,设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|-1. (1)求 p 的值; (2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于点 M,求 M 的横坐标的取值范围. x2 y2 3 【变式探究】已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直 a b 2 2 3 线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 考点二 定点、定值问题探究 1.由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若 得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). 2.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大 小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值. x2 y2 3 例 2、已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB 的面积为 a b 2 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:|AN|· |BM|为定值. 【方法规律】 1.求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得出定值. 2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问题选择消元 的方向是非常关键的. x2 y2 2 【变式探究】如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 A(0,-1),且离心率为 . a b 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值. x2 y2 4 例 3、已知焦距为 2 2的椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右顶点为 A,直线 y= 与椭圆 C 交于 P,Q 两 a b 3 点(P 在 Q 的左边),Q 在 x 轴上的射影为 B,且四边形 ABPQ 是平行四边形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M,N. 若 M 是椭圆的左顶点,D 是直线 MN 上一点,且 DA⊥AM.点 G 是 x 轴上异于点 M 的点,且以 DN 为 直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点,求证:点 G 是定点. 【方法规律】 1.动直线 l 过定点问题,设动直线方程(斜率存在)为 y=kx+t,由题设条件将 t 用 k 表示为 t=mk,得 y=k(x+m),故动直线过定点(-

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