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数列通项公式求法分类及例题

时间:2015-03-02


数列通项公式求法分类及例题
(一)观察归纳法:通过观察寻求 an 与 n 的关系 (1) 5,55,555,5555,

1 4 9 16 ,4 , 2 5 10 17 1 2 3 4 ,? , ,? , (3) 2 3 4 5
(2) 1 , 2 ,3 (二)定义法:判断数列是否是等差数列或等比数列,若是用公式写出通项公式 (1)数列 ?

an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 ,求 an ; (2) 数列 ?an ? 中, a1 ?

1 1 , an ? an ?1 ? n ? 2 ? , 求 an ; 2 2

(三)已知 Sn 与 n 的关系求 an ---------四步法 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , Sn ? n3 ? n ?1 ,求 an 。

(四)已知 Sn 与 an 的关系式求 an ,用好关系式 an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2? (1)数列 ?an ? 中, an ? 5Sn ? 3, 求 an ; (2)数列 ?an ? 中, Sn ? 2an ? 1, 求 an 。

(五)叠加法:适用于已知 an ? an?1 ? f ? n?? n ? 2? ,求 an (1)数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? an?1 ? 3n ? 2 ? n ? 2? , 求 an ;

(2)数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? an ?1 ?

1 ? n ? 2 ? ,求 an 。 2n

(六)叠乘法:适用于已知

an ? f ? n ?? n ? 2 ? ,求 an an ?1
2 ? n ? 1? an ?1 ? n ? 2 ? , 求 an ; n

(1) 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?

(2) 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?

1 an ?1 ? n ? 2 ? , 求 an . 2n

(七)构造法:利用整体思想构造等差数列或等比数列求通项公式 (1) 若 an?1 (2) 若 an?1

? p ? an ? q ,则: an?1 ? ? ? p(an ? ?) ________待定系数法
? pan r ? qan
,则:

1 r 1 q ? ? ? an?1 p an p
an?1 an q (n) ? ? p n?1 p n p n?1

(3) 若 an?1 (4) 若 an ?1

? p ? an ? q(n) ,则:

? pan q ,则: lg an?1 ? q lg an ? lg p
1 an ? 1 ,求 an ; 2

(1)数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

(2)数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

an , 求 an ; 3an ? 1

例1、 已知数列 {an} 满足:

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,



?an ? 的通项公式.

例2、 在数列

?an ? 中, a1 ? 1, Sn ?

Sn?1 (n ? 2) ,求 an 2Sn?1 ? 1

例3、 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

1 an ? 1(n ? N * ) ,求 an 2

4、已知数列

?an ? , a1 ? 4 且满足 an?1 ? an ? 4n ? 6(n ? N * ) ,求 an 。

5、已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) , 证明数列 ?an ? 1? 是等比数列. 6、 {an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列,如果 an ? 2005 ,则序号 n 等于 (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 ) ,

7、 观察下列各图, 并阅读下面的文字, 像这样,10 条直线相交, 交点的个数最多是 ( 其通项公式为 A.40 个 B.45 个 . C.50 个 D.55 个

2 条直线相 交,最多有 1 个交点

3 条直线相 交,最多有 3 个交点

4 条直线相 交,最多有 6 个交点

8、一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3 n 项的和为( ) A.83 B.108 C.75 D.63 变式题 1 、一个等差数列前 n 项的和为 48 ,前 2 n 项的和为 60 ,则前 3 n 项的和 为 。 9、 等比数列 {an } 的各项为正数, 且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? ( ) B.10 C.8 D.2+ log3 5

? log3 a10 ?

A.12

10、设数列 {an } 是单调递增的等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首 项是( A.1 ) B.2 C.4 D.8

变 式题 1 、 在各项都为正数的等比数列 {an } 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21 ,则

a3 ? a4 ? a5 ? (
(A)33



(B)72(C)84(D)189


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