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6.等差数列前n项求和


基础练习:
1 . 在等差数列 {a n }中, a 1 ? a 2 ? a 3 ? 45 ,

a 2 ? a 3 ? a 4 ? 29 , 则 a 3 ? a 4 ? a 5 ? ____ .
2 . 在等差数列 {a n }中 d ? 0,若 a 4 ? a 6 ? 24 , n 项和 S n的最大

a 2 ?

a 8 ? 10 , 则该数列的前 值是 _____ .

3 . S n 是等差数列的前

n 项和,

a 3 ? a 6 ? a 12 ? 45 , 则 S 13 ? _____

例1 : 若等差数列前四项和 前 n 项和为 286 , 求项数;

21 , 末四项和为

67 ,

分析:
解:

a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 21
a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? a n ? 3 ? 67

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1 ?

a 3 ? a 4 ? 21
a n ? 2 ? a n ? 3 ? 67
? a 1 ? a n ? 22

4 ? a 1 ? a n ? ? 88

? Sn ?

a1 ? an 2

? n ? 286

? n ? 26

? 2 ?等差数列 ?a ?的公差
n

d ?

1 2

, 且 S 100 ? 145 ,

求 a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 99的值;
解: S 100 ? ?a 1 ? a 3 ? ? ? a 99 ? ? ?a 2 ? a 4 ? ? ? a 100 ?
? ?a 1 ? a 3 ? ? ? a 99 ? ? ?a 1 ? a 3 ? ? ? a 99 ? ? 50 d

? 2 ? a 1 ? a 3 ? ? ? a 99 ? ? 145 ? 50 ?

1 2

a 1 ? a 3 ? ? ? a 99 ? 60

例 2:在等差数列 前 20 项的和是

{ a n }中,前 10 项的和是 1220 ,求前 30 项的和

310 ,

方法一:基本元素法

根据 S n ? na 1 ?

n (n ? 1) 2

d 求出 a 1 , d

例 2:在等差数列 前 20 项的和是

{ a n }中,前 10 项的和是 1220 ,求前 30 项的和

310 ,

方法二:
解: S 10 , S 20 ? S 10 , S 30 ? S 20 成等差数列 2 ( S 20 ? S 10 ) ? S 10 ? ( S 30 ? S 20 )

? S 30 ? 2730

例 2:在等差数列 前 20 项的和是

{ a n }中,前 10 项的和是 1220 ,求前 30 项的和

310 ,

方法三:
? S 10 ? 310 ? ? S 20 ? 1220

根据等差数列和的性质
设 Sn ? An
2

? Bn
2

( A , B 为常数)

? 310 ? A ? 10 ? B ? 10 ? 设? 2 ? 1220 ? A ? 20 ? B ? 20

?

?A ? 3 ? ?B ? 1

?

Sn ? 3 n ? n
2

S 30 ? 2730

例 2:在等差数列 前 20 项的和是

{ a n }中,前 10 项的和是 1220 ,求前 30 项的和

310 ,

分析:

a1 ? a 2 ? a 3 ? ? a 11 ? a 12 ? a 13 ? ? a 21 ? a 22 ? a 23 ? ?

a 10 ? T1 a 20 ? T2 a 30 ? T3

T2 ? T1 ? T3 ? T2 ? ? ? 10 d

?

? T1 , T2 , T3 ? 也成等差数列

等差数列和的一般规律



S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n ? 成等差数列

例 3,在项数为奇数等差数 所有项的和为 首项减末项是 77 ,偶数项和为

列数列中 33 ,

18 ,求数列的项数。

例4.若数列{an }为等差数列,公差为 d , S奇、S偶分别表示其奇、偶项之和; (1)若共有 2n项,则S奇 ? S偶 ? ? nd (2)若共有 2n ? 1项,则S奇 ? S偶 ? an ?1

例 3:求和: 1 1? 2 ? 1 2? 3 ?
1 2
?1? 1 n?1

1 3?4
)? ( 1 2

??
1 3

1 n ? (n ? 1)
1 n ? 1 n?1 )

解: Sn ? ( 1 ?

?

)??? (

?

n n?1

裂项相消法

变式一:求数列
分析: Sn ? 1 3

an ?
? 1 8 ?

1 n ? 2n
2

的前 n 项和
1 n ? 2n
2

1 15

?? ?

从通项来分析
1

1 1 1 ? an ? 2 ? ( ? ) n ? 2n n (n ? 2 ) 2 n n? 2
解 : Sn ? 1 2 [( 1 ? 1 3 )? ( 1 2 ? 1 4 )? ( 1 3 ? 1 5 ) ? ?( 1 n ? 1 n? 2 )]

1

?

1 2

[1 ?

1 2

?

1 n?1

?

1 n

] ?

3 4

?

2n ? 1 2n (n ? 1)

点评:( 1)求数列的和的分析方 观察数列的通项
(2)通项为分式的数列求
变式二:求和: Sn ?

法:

和一般是

裂项求和

变式二: 2? 1 2? 4 ? 1 2? 4? 6 ?? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

分析:
?

an ?
1

1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

n (2 ? 2n ) 2

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n

?

1 n?1

例4:. 若两个等差数列的前n项和之比是 试求它们的第11项之比。 解: 设这两个数列为
即 Sn Tn
? a 11 ?

7n ? 1 4 n ? 27

,

?a n ?, ?b n ?
b1 ? b 21 2

?

7n ? 1 4 n ? 27
, b11 ?

a 1 ? a 21 2

a 1 ? a 21 ? a 11 b11 2 ? b1 ? b 21 2

? 21 ? 21

?

S 21 T 21

?

7 ? 21 ? 1 4 ? 21 ? 27

?

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