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2014年重庆一中高2016级高二上期半期考试数学理科


2014 年重庆一中高 2016 级高二上期半期考试

数 学 试 题 卷(理科)

2014.11.

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需

改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线 l : 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2 y 3 2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线 x 2 ? ) ? 1 的渐近线?( 4 2 1 1 正视图 侧视图 A. y ? ? x B. y ? ? x 2 4 C. y ? 2 x D. y ? 4 x 3.如图 1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成, 2 ) 则该几何体的表面积是( 俯视图 A. 7? B. 8? C. 10? D. ? ? 12 (图 1) 4.设 x、y、z 是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z 均为直线; ②x、y 是直线,z 是平面;③x、y 是平面,z 是直线;④x、y、z 均为平面。其中 ) 能使“ x ? z且y ? z ? x // y ”为真命题的是( A.③④ B.①③ C.②③ D.①② x2 5.直线 l 不经过坐标原点 O, 且与椭圆 ? y 2 ? 1 交于 A、 B 两点, M 是线段 AB 的中点. 那 2 么,直线 AB 与直线 OM 的斜率之积为 ( ) 1 A. ? 1 B.1 C. ? D.2 2 6.已知命题 p : 直线 y ? x ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1有且仅有一个交点; 命题 q : 若直线 l 垂直于直线 m ,且 m // 平面? , 则 l ? ? . 下列命题中为真命题的是( A. (?p ) ? (?q ) D. p ? q B. (?p) ? q C. (?p) ? (?q ) )

7.下列有关命题的说法错误 的是 ( ..

)

A.对于命题 p : ?x ? R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 . 则 ? p : ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 . B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.命题“若 x 2 ? 1 , 则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”. D.命题“若 x ? y ? 5 ,则 x ? 2或y ? 3 ”是假命题. 8.(原创)如下图 2, 在平行四边形 ABCD 中, AD=2AB=2, ∠BAC=90° . 将△ACD 沿 AC 折起, 使得 BD= 5 . 在三棱锥 D-ABC 的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错 . ) 误 的是( . A.面 ABD⊥面 BCD C.面 ABC⊥面 ACD B.面 ABD⊥面 ACD D D.面 ABC⊥面 BCD

D

C

A B
(图 3)

A
D C
(

M

B P

A B

C
图 2)

9.(原创)如上图 3, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, 面 PAB⊥面 ABCD. 在 面 PAB 内的有一个动点 M, 记 M 到面 PAD 的距离为 d . 若 | MC |2 ?d 2 ? 1 , 则动点 M 在面 PAB 内的轨迹是( A.圆的一部分 线的一部分 10.设椭圆 ) B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D. 抛 物

的两个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P(x1, x2 )的位置( A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外

x2 y 2 1 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F(c, 0) ,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 a 2 b2 2

)

B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案写在答题卡相应位 置上. 11.过点 P(3,1)向圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 作一条切线, 切点为 A, 则切线段 PA 的长为 . 12.椭圆 是
x y + =1 上一点 P 到它的右准线的距离是 10, 那么 P 点到左焦点的距离 100 36
2 2

.

13.一个几何体的三视图如图 4, 则这个几何体的体积为 14.半径为 5 的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为 3 和 4. 则该圆台体积的最大值为 15.(原创)设 A 为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点, 点 A 关于原点
2 2

.
2 3
正视图 1 侧视图

.

? ? 的对称点为 B, F 为椭圆的右焦点, 且 AF⊥ BF. 若∠ ABF∈ [ , ], 12 4
则该椭圆离心率的取值范围为 .

a

b

俯视图 (图 4)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 16.(本小题 13 分)已知双曲线 C : (1)求双曲线 C 的方程;
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,实轴长为 2。 a 2 b2

(2)若直线 y ? x ? m 被双曲线 C 截得的弦长为 4 2 , 求

m 的值。
y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; 5 ? t t ?1

17.(本小题 13 分)已知命题 A:方程

命题 B:实数 t 使得不等式 t 2 ? (a ? 1)t ? a ? 0 成立。 (1)若命题 A 为真,求实数 t 的取值范围; (2)若命题 B 是命题 A 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围。

18.(本小题 13 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ?ACB ? 90? ,点 E、F、G 分别是 AA1、 AC、BB1 的中点,且 CG⊥C1G . (1)求证:CG//面 BEF; (2)求证:面 BEF⊥面 A1C1G .
B1

A1

E

C1

G

A F C

B

(图 5) (图 6)

19. (本小题 12 分) 如图 6-(1)所示,在边长为 12 的正方形 AA? A?1 A1 中,点 B、C 在线段 AA′ 上,且 AB=3,BC=4.作 BB1∥AA1,分别交 A1A1′ 、AA1′ 于点 B1、P;作 CC1∥AA1,分别交 A1A1′ 、AA1′ 于点 C1、Q. 现将该正方形沿 BB1,CC1 折叠,使得 A? A1 ? 与 AA1 重合,构成如 图 6-(2)所示的三棱柱 ABC-A1B1C1. (1)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,求证:AP⊥BC; (2)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,连接 AQ 与 A1P,求四面体 AA1QP 的体积; (3)在三棱柱 ABC- A1B1C1 中,求直线 PQ 与直线 AC 所成角的余弦值. 20.(本小题 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率等于 2 ,
2

它的一个顶点 B 恰好是抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点, 那么椭圆 C 的右焦点 F 是否可以成为 ?BMN 的 垂心 ?若可以,求出直线 l 的方程;若不可以,请说明理由.(注: 垂心是三角形三条高 .. 线的交点)

21.(原创)(本小题 12 分)如图 7, 已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 1) ,设 A 为圆 C 与 x 轴负 半轴的交点,过点 A 作圆 C 的弦 AM,并使弦 AM 的中点恰好落在 y 轴上. (1)当 r 在 (1,??) 内变化时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知定点 P(-1,1)和 Q(1,0), 设直线 PM、 QM 与轨迹 E 的另一个交点分别是 M1、 M2 . 求 证:当 M 点在轨迹 E 上变动时,只要 M1、M2 都存在且 M1 ? M2,则直线 M1M2 恒过一个 定点,并求出这个定点。

(图 7)

2014 年重庆一中高 2016 级高二上期半期考试

数 学 答 案(理科)
1 B 11. 2 C 12. 12 ; 3 B 13. 3 ; 4 C 5 C 14. 259 ? ;
3

2014.11. 8 A
3

6 A

7 D 15. [ 2 , 6 ]
2

9 D

10 A

3 ;

16.解:(1)由题意,解得 a ? 1, c ? 3 ,∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1. 2

(2)

? y? x?m ? 2 ? x 2 ? 2m x ? m 2 ? 2 ? 0 ? 2 y x ? ? 1 ? 2 ?

,













4 2 ? 2 ? 4m 2 ? 4(m 2 ? 2) ? m ? ?1 .

17.解:(1)由条件知 5 ? t ? t ? 1 ? 0 ? 1 ? t ? 3 ; (2) B 是 A 的必要不充分条件, ? 1 ? t ? 3 是 t 2 ? (a ? 1)t ? a ? 0 解集的真子集. 因方程 t 2 ? (a ? 1)t ? a ? 0 两根为 1和a , 故只需 a ? 3 . 18.证明:(1)法 1:连结 A1C,由 A1C//EF 且 A1G//EB 可知面 A1CG//面 EFB,所以 CG//面 BEF. 法 2:连结 AG 交 BE 于点 H,再连结 FH,在△ACG 中,FH 是中位线,所以

FH//CG,则 CG//面 BEF。

(2)由A1C1 ? B1C1且A1C1 ? CC1 ? A1C1 ? 面BCC1 B1 ? A1C1 ? CG ? ? ? CG ? 面A1C1G , C1G ? CG ? 而 CG//面 BEF, 所以面 BEF⊥面 A1C1G. 19. (1)证明:因为 AB=3,BC=4,所以图(2)中 AC=5,从而有 AC2=AB2+BC2,即 BC⊥AB.又因为 BC⊥BB1,所以 BC⊥平面 ABB1A1, 则 AP⊥BC.
1 AA1 ? AB ? 18 , 由于 CQ//面 APA1 且 BC⊥面 APA1, 所以 Q 到面 APA1 距 2 1 离就是 BC 的长 4, 所以 VQ ? APA1 ? ?18 ? 4 ? 24 . 3 (3)解: 建立如图空间直角坐标系,则 A(3,0,0)、C(0,4,0)、

(2)解: S ?APA1 ?

? ??

? ??

P(0,0,3)、Q(0,4,7).所以 AC ? (?3,4,0), PQ ? (0,4,4).设直线 AC
? ?? ? ??

AC· PQ | 与直线 PQ 所成角为 ? ,则 cos ? ? |? ? ?? ? ?? | AC |· | PQ |

16 2 2 ? . 5 5? 4 2

20.解: (1)设椭圆方程为
?c 2

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,抛物线 x ? 4 y 的焦 2 a b
2

? 点为(0,1), 由 ? ,所以椭圆方程为 x ? y 2 ? 1 ?a 2 ?a? 2 2 ? ? b ?1

(2)假设存在直线 l ,使得点 F 是 ?BMN 的垂心.易知直线 BF 的斜率为 ? 1 ,从而 直 线 l 的 斜 率 为 1. 设 直 线 的 方 程 为 y ? x ? m , 代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 , 可 得
3x 2 ? 4bx ? 2(b 2 ? 1) ? 0 .
2 4 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? m , x1 x 2 ? 2m ? 2 .于是

3

3

NF ? BM ? (1 ? x2 ) x1 ? y2 ( y1 ? 1)
? x1 ? y 2 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? m ? x1 x 2 ? ( x1 ? m)(x 2 ? m) ? ?2 x1 x 2 ? (1 ? m)(x1 ? x 2 ) ? m ? m 2 ? ?2 ? 2m 2 ? 2 4m ? (1 ? m)(? ) ? m ? m2 ? 0 3 3

解之得 m ? 1 或 m ? ?4 / 3 .

当 m ? 1 时,点 B 即为直线 l 与椭圆的交点,不合题意; 意. 所以当且仅当直线 l 的方程为 y ? x ?
y 2

当m ? ?

4 时,经检验符合题 3

4 时, 点 F 是 ?BMN 的垂心. 3
y 2

21 解:(1)设 M ( x, y) ,则 AM 的中点 D(0, ) .因为 C (1, 0) , DC ? (1, ? ) , DM ? ( x, ) 在⊙ C 中,因为 CD ? DM ,所以, DC ? DM ? 0 ,所以 x ? 为: y 2 ? 4x ( x ? 0) .
2 (2)设 M, M1, M2 的坐标分别为 (t 2 ,2t ),(t12 ,2t1 ),(t 2 ,2t 2 ) ,其中 t ? 0且t ?

y 2

y2 ? 0 .所以,点 M 的轨迹 E 的方程 4

1 . 2



P,M,M1

共 线 得

2t1 ? 2t 2t ? 1 t?2 ? 2 ? t1 ? 2 2 2t ? 1 t1 ? t t ?1

;



Q,M,M2

共 线 得

2t 2 ? 2t 2t ? 0 1 ? 2 ? t2 ? ? . 2 2 t2 ? t t ?1 t

所以 t1t 2 ? ? 率.

t?2 t2 ?1 t ? t ? ? (* ) , . 可见 t1 ? t 2 ? 0 , 即直线 M1 M2 必有斜 1 2 2t 2 ? t 2t 2 ? t

由点斜式可求得直线 M1 M2 的方程为: (t1 ? t 2 ) y ? 2 x ? 2t1t 2 ? 0 ,

将(*)中两式代入得:

(t 2 ? 1) y ? (4t 2 ? 2t ) x ? 2t ? 4 ? 0 , 再化简得 t 2 ( y ? 4x) ? 2t ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? 0 .
? y ? 4x ? 0 ? x ? ?1 ? 由方程组 ? x ? 1 ? 0 ? ? .所以直线 M1 M2 必过点(-1,-4) ? y ? ?4 ? y?4?0 ?

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