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2013杨浦区高三一模数学理试题及答案


杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(理) 2013.1. 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定 位置上. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 1. 若函数 f ?x? ? 3 的反函数为 f
x ?1

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?


. .



z?
2.若复数
2

1? i i ( i 为虚数单位) ,则 z ?

3.抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离为

?1 2 3 ? ? ?1 1 2 ? ? ? ,则该线性方程组的解是 4. 若线性方程组的增广矩阵为 ?
5.若直线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角是 6. 若 ( x ? a) 的二项展开式中, x 的系数为 7 ,则实数 a ?
7
5



. .

0 7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为

cm2 .
8. 设数列

{an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 的两根,则数列

{an } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________.
9. 下列函数:① f ( x) ? 3 , ② f ( x) ? x , ③
x
3 2

f ( x) ? ln

1 x

f ( x) ? cos
, ④

?x
2
(写出

⑤ f ( x) ? ? x ? 1 中,既是偶函数, 又是在区间 ?0, ? ?? 上单调递减函数为 符合要求的所有函数的序号). 10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为 b 和 c , 则函数 f ( x) ? x ? 2bx ? c 图像与 x 轴无公共点的概率是____
2

___ .

11.若函数
2

f ( x) ? loga (3x ? 2) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线
A M E P F D

x ? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是
12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀,



B

N

C

其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为____ 平方米 .

13 在 ?ABC 中,若

?A ?

?

4 , tan(A ? B) ? 7 , AC ? 3 2 ,

则 ?ABC 的面积为___________. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 3x ? 2 与圆 x ? y ? n 相切,其中
m
2 2 2

m 、 n ? N* ,0 ? m ? n ? 1.若函数 f ?x ? ? m x?1 ? n 的零点 x0 ? ?k , k ? 1?,k ? Z ,
则 k ? ________. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在区间 ?3,??? 内单调递增”的………(
2



( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(B ) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.

16.若无穷等比数列

? an ?的前 n 项和为 S n ,首项为1 ,公比为
z? 1 a ? i 在复平面上对应的点位于

a?

3 lim S ? a 2 ,且 n ?? n ,

( n ? N ),则复数
*

………(



( A) 第一象限.

(B ) 第二象限.

(C ) 第三象限.

(D) 第四象限.

x2 ? y2 ? 1 F1 F2 17.若 、 为双曲线 C : 4 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,
∠ F1 PF2 = 60 ? ,则 P 到 x 轴的距离为 ………( )

( A)

5 5 .

(B )

15 5 .

(C )

2 15 5 .

15 (D) 20 .

18. 已知 数列

?an ? 是各项均为正数 且公比不等于 1 的等比数 列( n ? N

*

) . 对 于函数

y ? f ( x) ,若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”. 现有定义
在 (0, ??) 上的如下函数:①

f ( x) ?

1 x,

② f ( x) ? x ,
2

③ f ( x) ? e ,
x



f ( x) ? x ,则为“保比差数列函数”的所有序号为
( A)
①②.

………(



(B )

③④.

(C )

①②④.

(D) ②③④ .

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 .

? PA 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? 平面 ABC ,AC ? AB ,AP ? BC ? 4 , ABC ? 30? , P

D 、E 分别是 BC 、 的中点, AP
(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. C E

A

B

D

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin x ,
2

(1)求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间;

? ? ?? x ? ?? , ? ? 6 3 ? ,求 f (x) 的最大值及取得最大值时对应的 x 的取值. (2)若

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 椭圆 T 的中心为坐标原点 O ,右焦点为 F (2, 0) ,且椭圆 T 过点 E (2, 2) .

N P 若 ?ABC 的三个顶点都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 M 、 、 .

(1)求椭圆 T 的方程; (2)设 ?ABC 的三条边所在直线的斜率分别为

k1 、 2 、k3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2,3 . k

1 1 1 ? ? OM 、 、OP 的斜率之和为 0,求证: k1 k2 k3 为定值. ON 若直线

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

f ( x) ?
已知函数

x ?2

1 x 1

( x ? 0)
的值域为集合 A ,

C A (1)若全集 U ? R ,求 U ;
1? ? x ?? 0 , ? 2 ? ,不等式 f ?x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; ? (2)对任意
y ? x 和 y 轴作垂线,垂足 (3)设 P 是函数 f ?x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线
分别为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

x x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分, 对于实数 x , 将满足“ 0 ? y ? 1且 用记号
表示,对于实数 a ,无穷数列

?an ? 满足如下条件:

a1 ? a , a n ?1

? 1 , an ? 0 , ? ? ? an ? 0 , a ? 0. n ?

其中 n ? 1 , 2 , 3,? ? ? .

(1)若 a ?

2 ,求数列 ?an ? ;

a?
(2)当

1 4 时,对任意的 n ? N* ,都有 an ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A .

a?
(3)若 a 是有理数,设 任意正整数 n ,是否都有

p q ( p 是整数, q 是正整数, p 、 q 互质) ,问对于大于 q 的

an ? 0 成立,并证明你的结论.

杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理) 参考答案

一.填空题:

?x ? 1 3 ? ? y ? 1 (向量表示也可) 3 ;7. 50? 1. 0;2. 2 ;3.2;4. ? ;5. arctan 2 ;6.
7 2 8. 2013;9.③⑤;10. 36 ;11. y ? 2x ? 2 x 21 12. 48;13. 2 ;14. 0;
二、选择题: 15. ( A) ;16. (D ) ;17. (B ) ;18. (C ) . 三、解答题 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 .

(1)由已知得, AC ? 2 , AB ? 2 3 ,

………2 分

1 8 3 VP ?? ABC ? S ?ABC PA ? 3 3 所以 ,体积
(2)取 AC 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AB // DF , 所以 ?EDF 就 是异面直线 AB 与 ED 所成的角 ? .

………5 分

………7 分

由已知, AC ? EA ? AD ? 2 , AB ? 2 3 , PC ? 2 5 ,

? AB ? EF , ? DF ? EF .
在 Rt?EFD 中, DF ? 3 , EF ? 5 ,

………10 分

tan? ?
所以,

15 3 .

………12 分

(其他解法,可参照给分) 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 解: (1)因为 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin x
2

? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1
? 2 sin( 2 x ?
T?

………2 分

?
6

) ?1
………4 分 ………5 分

所以,

2? ?? 2 ,即函数 f ( x) 的最小正周期为 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? ? k? ? x ? ? k? , (k ? Z ) 2 3 ,6

? 2? [ ? k? , ? k? ], (k ? Z ) f (x) 的单调递减区间为 6 3 所以
?
(2)因为

………7 分

?
6

?x?

?
3 ,得

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6 ,

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 6 所以有 2 ? ? 1 ? 2 sin( 2 x ?


………8 分

?
6

)?2
,即

? 2 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1 ? 1
………10 分

所以,函数

f ? x?

的最大值为 1.

………12 分

?
此时,因为

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? ? ? ? 2x ? ? x? 6 ,所以, 6 2 ,即 6.

………14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

x2 y 2 ? 2 ?1 ' 2 b 解: (1)设椭圆 T 的方程为 a ,由题意知:左焦点为 F (?2, 0)
' 所以 2a ?| EF | ? | EF | ?

2 ?3 2 ,

………4 分

解得 a ? 2 2 , b ? 2 .

x2 y 2 ? ?1 4 故椭圆 T 的方程为 8 .
(方法 2、待定系数法) (2)设 由:

………6 分

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) , M ( s1 , t1 ), N ( s2 , t2 ), P ( s3 , t3 ) ,
………8 分

x12 ? 2 y12 ? 8 , x2 2 ? 2 y2 2 ? 8 ,

两式相减,得到

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

k1 ?
所以

y1 ? y2 1 x ?x 1s t 1 ?? 1 2 ?? 1 ? ?2 1 x1 ? x2 2 y1 ? y2 2 t1 ,即 k1 s1 ,

………11 分

t t 1 1 ? ?2 2 ? ?2 3 k s2 , k3 s3 同理 2

t t t 1 1 1 ? ? ? ?2( 1 ? 2 ? 3 ) k k 2 k3 s1 s2 s3 ,又因为直线 OM , ON , OP 的斜率之和为 0, 所以 1

1 1 1 ? ? ?0 k1 k2 k3 所以
方法 2、(可参照方法 1 给分) 设直线 AB :

………14 分

y ? t1 ? k1 ( x ? s1 )

,代入椭圆 x ? 2 y ? 8 ,得到
2 2

(1 ? 2k12 ) x 2 ? 4(t1 ? k1s1 )k1 x ? 2(t1 ? k1s1 ) 2 ? 8 ? 0
x1 ? x2 ? ?4(t1 ? k1s1 )k1 1s k1 ? ? 1 2 ? 2s1 1 ? 2k1 2 t1 ,化简得

(以下略) 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)由已知得,?

x ? 0 ,则

f ( x) ? x ?

2 ?2 2 x

………1 分

x?
当且仅当

2 x 时,即 x ? 2 等号成立,

? M ? 2 2, ??
所以,

?

?

………3 分

CU M ? ? ? , 2 2

?

?

………4 分

2? ? a ? ?? x ? ? x? ? (2)由题得 2? ? ? 1? 9 y ? ?? x ? ? x ? ? 0 , ? ? x?在 2 ? 的最大值为 2 ? ? 函数
?a ? ? 9 2

………5 分

………9 分

………10 分

? ? 2? 2? P? x 0 , x 0 ? ? y ? ? x0 ? ? ? ??x ? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? ? ,则直线 PA 的方程为 ? ? (3)设 ? ,
y ? ? x ? 2 x0 ?


2 x0 ,

………11 分

?y ? x ? 2 ? ? y ? ? x ? 2 x0 ? x 0 由?

A( x0 ?


1 1 , x0 ? ) x0 x0

………13 分

? 2? B? 0, x0 ? ? ? x0 ? ?, 又 ?
PA ? (
所以

………14 分

1 1 1 ,? ) PA ? PB ? (? x0 ) ? ?1 x0 x0 , PB ? (? x0 ,0) ,故 x0

………16 分

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

解: (1)

a1 ?

2 ? 2 ?1

a2 ?


1 ? a1

1 ? 2 ?1

2 ? 1 ? 2 ?1
, ………2 分

ak ? 2 ? 1 ,则
所以 an ? 2 ?1 . (2)

a k ?1 ?

1 ? ak

2 ?1 ? 2 ?1

………4 分

a1 ? a ? a

1 1 ? a ?1 ?? ? 4 4 a ,所以 ,所以 ,

1 1 1 1 1 a2 ? ? ? ?1 ? a ? a ?1 ?? ? 2 2 a1 a a 2 a ①当 ,即 时, ,所以 a ? a ? 1 ? 0 ,
a? ?1 ? 5 ?1 ? 5 1 a? ?( , 1) 2 2 2 ( ,舍去).

解得

………6 分

1 1 1 1 1 1 a2 ? ? ? ?2? a ? a≤ 2≤ ? 3 2 a1 a a 3 2 ,即 a ②当 时, ,所以 a ? 2a ? 1 ? 0 ,
a?
1 1 ?2 ? 8 ? 2 ? 1 a ? ? 2 ? 1? ( , ] 3 2 ,舍去). 2 (

解得

………7 分

1 1 1 1 1 1 a2 ? ? ? ?3 ? a ? a≤ 3≤ ? 4 2 a1 a a 3 ,即 a ③当 4 时, ,所以 a ? 3a ? 1 ? 0 ,
a? ?3 ? 13 ?3 ? 13 1 1 a? ?( , ] 2 2 4 3 ,舍去). (

解得

………9 分

a? 综上, ?

?1 ? 5 ?3 ? 13 a? 2 a ? 2 ? 1, 2 ,

?.

………10 分 ………11 分

(3)成立. (证明 1)

由 a 是有理数, 可知对一切正整数 n ,

an 为 0 或正有理数, 可设

an ?

pn q n ( p n 是非负整数,

pn qn 是正整数,且 q n 既约).

………12 分

a1 ?
①由 ②若

p p ? 1 q q1 ,可得 0 ? p1 ? q ;

………13 分

pn ? 0 ,设 qn ? ?pn ? ? ( 0 ? ? ? pn , ? , ? 是非负整数)

qn p q ? 1 ?? ? an ? n ? n p qn 得 an pn p n ,而由 则 n

a n ?1 ?

q 1 ? ? n ? an pn pn

,故

pn?1 ? ? , qn?1 ? pn ,可得 0 ? pn?1 ? pn

………14 分 ………15 分

若 若

pn ? 0 则 pn?1 ? 0 ,

a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq

均不为 0,则这 正整数互不相同且都小于 , ………17 分

q

q

但小于 q 的正整数共有 q ? 1 个,矛盾. 故

a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq

中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? q) ,使得

am ? 0 .

从而数列

?an ?中 am 以及它之后的项均为 0,所以对不大 q 于的自然数 n ,都有 an ? 0 .
………18 分

(证法 2,数学归纳法) (其它解法可参考给分)

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