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杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)


杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(理)
2013.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
x 1. 若函数 f ? x ? ? 3 的反函数为 f

>?1

? x ? ,则

f

?1

?1 ? ?
. .



2.若复数 z ? 3.抛物线 y
2

1? i i

( i 为虚数单位) ,则

z ?

? 4 x 的焦点到准线的距离为
?1 2 1

4. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ? ?1

3? ? ,则该线性方程组的解是 ? 2?



5.若直线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角是 6. 若 ( x ? a ) 的二项展开式中, x 的系数为 7 ,则实数 a ?
7

. .

5

7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为
0

cm

2

.
2

8. 设数列 { a n } ( n ? N * )是等差数列.若 a 2 和 a 2012 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则数列
{ a n } 的前 2013

项的和 S 2013 ? ______________.
x

9. 下列函数:① f ( x ) ? 3

3 , ② f ( x ) ? x , ③ f ( x ) ? ln

1 x

, ④ f ( x ) ? cos

?x
2

⑤ f ( x ) ? ? x ? 1 中,既是偶函数, 又是在区间 ? 0 , ? ? ? 上单调递减函数为
2

(写

出符合要求的所有函数的序号). 10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为 b 和 c , 则函数 f ( x ) ? x ? 2 bx ? c 图像与 x 轴无公共点的概率是____
2
x

___ .

11.若函数 f ( x ) ? log a ( 3 ? 2 ) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线
x
2

? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是



A M

E P

F D

12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀,

B

N

C

其中 A E ? 4 米, C D

? 6

米. 为了合理利用这块钢板,将在五边

形 A B C D E 内截取一个矩形块 B N P M ,使点 P 在边 D E 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为____
?
4

平方米 .

13 在 ? ABC 中,若 ? A ?

, tan( A ? B ) ? 7 , AC ? 3 2 ,

则 ? ABC 的面积为___________. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ?
3 x ? 2 与圆 x
m
x ?1

2

? y

2

? n 相切,其中
2

m 、 n ? N * ,0 ? m ? n ? 1 .若函数 f ? x ? ? m

? n 的零点 x 0 ? ? k , k ? 1 ? ,k ? Z ,

则 k ? ________. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 3 ”是“函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 2 在区间 ?3 , ?? ? 内单调递增”的………(
2



( A ) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

( B ) 必要非充分条件. ( D ) 既非充分又非必要条件.
3 2

16.若无穷等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,首项为 1 ,公比为 a ? ( n ? N * ),则复数 z ?
1 a ?i

,且 lim S n ? a ,
n? ?

在复平面上对应的点位于

………(



( A ) 第一象限.

( B ) 第二象限.
x
2

(C ) 第三象限.

( D ) 第四象限.

17.若 F1 、 F 2 为双曲线 C :

? y

2

? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,

4

∠ F1 PF 2 = 60 ? ,则 P 到 x 轴的距离为
5 5 15 5 2 15 5

………(
15 20



( A)



(B)



(C )



(D )



18. 已知数 列 ? a n ? 是各项均为正 数且公比不 等于 1 的等比 数列( n ? N * ) . 对于函数
y ? f ( x ) ,若数列 ? ln f ( a n )? 为等差数列,则称函数 f ( x ) 为“保比差数列函数”. 现有

定义在 (0, ? ? ) 上的如下函数:① f ( x ) ? ④ f (x) ?
( A)

1 x



② f (x) ? x ,
2

③ f (x) ? e ,
x

x ,则为“保比差数列函数”的所有序号为

………(
( D ) ②③④ .



①②.

(B)

③④.

(C )

①②④.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 .
? 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? 平面 ABC ,AC ? AB ,AP ? BC ? 4 , ABC ? 30 ? , PA P D 、 E 分别是 BC 、AP 的中点,

(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. E

A B

C

D

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知 f ( x ) ?
3 sin 2 x ? 2 sin
2

x ,

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间;
? ?

(2)若 x ? ? ?

?
6

,

? ?
3? ?

,求 f ( x ) 的最大值及取得最大值时对应的 x 的取值.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 椭圆 T 的中心为坐标原点 O ,右焦点为 F ( 2 , 0 ) ,且椭圆 T 过点 E ( 2 , 2 ) .
N 若 ? A B C 的三个顶点都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 M 、 、P .

(1)求椭圆 T 的方程; (2)设 ? A B C 的三条边所在直线的斜率分别为 k 1 、k 2 、 k 3 ,且 k i ? 0 , i ? 1, 2 , 3 . 若直线 OM 、ON 、 OP 的斜率之和为 0,求证:
1 k1 ? 1 k2 ? 1 k3

为定值.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3

小题满分 6 分.
1 x ? 2 1 ( x ? 0 ) 的值域为集合 A ,

已知函数 f ( x ) ?

x

(1)若全集 U ? R ,求 C U A ; (2)对任意 x ? ? 0 ,
? ? 1? ,不等式 f ? x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; 2? ?

(3)设 P 是函数 f ? x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足 分别为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 对于实数 x , 将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分, 用记号 x 表示,对于实数 a ,无穷数列 ? a n ? 满足如下条件:
? 1 ? ? ? an ? ? 0 , an ? 0 , , an ? 0 .

a1 ? a

, a n ?1

其中 n ? 1 , 2 , 3 ,? ? ? .

(1)若 a ? (2)当 a ?
1 4

2 ,求数列 ? a n ? ;

时,对任意的 n ? N * ,都有 a n ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A .
p q

(3)若 a 是有理数,设 a ?

( p 是整数, q 是正整数, p 、 q 互质) ,问对于大于 q 的

任意正整数 n ,是否都有 a n ? 0 成立,并证明你的结论.


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