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函数零点个数的判断策略

时间:2015-09-23


高中●  学教 与学  
。学 习指导 o 

2 0 1 4 童  

函数零点个数的判 断策略 
孟 庆东  
( 江苏省 淮 阴中学 , 2 2 3 0 0 2 )  

从近几年 的高考 来看 , 有 关 函数 零点 个 

函数 Y:F (  ) 的图象不易画时

, 可将 F (  ) 分 
解成两个相对简单的函数 , 即F (  )=   断F (  )的零 点个数.   例2 ( 2 0 1 2年湖南高考题 )设定义 在 R   上 的函数  ) 是最小正周期为 2 竹的偶 函数 ,   ,   (  ) 是, (  ) 的导函数. 当  ∈[ 0, 丌] 时, 0<   )一  

数问题 的高考 试题 层 出 不穷 , 对解 决 此类 问  题 的能力考 查 力度 也 逐 步加 大. 以下 结合 实 
例探 讨判断函数零 点个 数的策略.  


g ( x ) , 利用, (  ) 与g (  ) 图象交点 的个数来 判 



利用解方程判断函数零点个数 
『   +2 戈 一3,   ≤ 0,  

例1 ( 2 0 1 0年福建高考题 )函数 
、  

I 一 2 + l n   .  > 0  
的零点个数为 (   )  
( A ) 0 ( B ) 1   ( C ) 2 ( D) 3  

)< 1 ;当   ∈( 0 , 1 r ) , 且  ≠ ÷ 时,  

解  当  ≤0时 , 令  + 2  一3=0 , 解得  =一3 ; 当  >0时 , 令 一2+I n   =0 , 解得 
=e   . 所 以  )有两个零点 , 故选 C .  

(  一 号l 厂   (   ) > 0 , 则 函 数Y =  ) 一 s i n  
在[ 一2 1 T , 2 1 r ]上的零点个数 为(  
( A) 2 ( B ) 4 ( C) 5 ( D) 8  

)  

二、 利用 函数图象判断 函数零点个数 
1 . 直接 利用 函数 图象与  轴 的交点个数  根据函数零 点 的 定 义 , 可 匦 出 函数 Y =   , (  )的图象 , 它与 轴 的交点个数就是 函数 的  零点个数 , 此方法要 求 函数 的图象容 易作 出.   如上述例 1 可直接画 出图象 , 如图1 . 由图 1 可  知此 函数有两个零点.  
nj / ~ +I

解 

当  ∈ ( O , 订 ) 且  ≠  T i -时 ,  

(   一 詈  (   ) > o , 从 而  ) 在 ( 0 , 詈 ) 上 单  
调 递 减, 在 ( 詈, 1 T ) 上 单 调 递 增 . 又  ∈ [ 0 ,   ]  
时, 0<, (  )< 1 , 在 R上的 函数  ) 是最小 

正周期 为 2 订的偶 函数. 在 同一 坐标 系中作 出  
Y=   ) 和g (  )=s i n  简 图, 如图2 . 由图 2  

2 髫 一 3  

知 Y:   )一s i n  在 [ 一 2 I r , 2 1 T ] 上 的零点个 
 





f  
图 1  

数为 4个. 故选 B .  
J 

l  



2 1 r  一 1 r \   \ /  1 r  \  / V   2 霄   :  
y - = s i n  

2 . 一分为二 转化 为两个 函数 图象交点的  .  
个数  
图 2  

函数 F (  )= , (  ) 一 g (   ) 的零点 , 即方程 
)=g (  ) 的根 , 也 就是 函数 Y:  
6 ?  

) 的图 

3 . 分 离参数转 化为 两个 函数 图 象的交点  个数 

象与 函数 Y=g ( x )的图象交 点的横 坐标. 当 
?

第 2 御 

高中数学教 与学  
由图 3 知: 当 0≤0或 口=   时 
-   e 

对 于解 决含参数 的函数零 点个数问题时 ,  
从正面合理地对参数的取值进行分类讨论是 常 

)的 

用 的策略 , 但有 时学生会 因为找不到分类 的标 
准或讨论不够全 面而失Y Y . 通过分离原 函数对 

1  

零点个数为 1 ; 当 0<口<   时 
e 

) 的零点 

应方程  )=0中的变量 和参数 。 后变形成 
g ( x )=h ( n ) , 将原 函数 的零 点个数 问题化 归  为函数 Y=g ( x )图象和直线 Y:h ( n )的交点  个数问题 , 可避免复杂的讨论   例3  ( 2 0 1 3 年江苏高考题 ) 设 函数 , (  )   =I n   —n   , g (   )=e  一口   , 其 中 口为实数.  

个数为 2 .  
4 . 整体 换元 转化为 两个 函数 图象交 点的 
个数 

当复合 函数 Y=   g (  ) )不易具 体化或  简化来分析 它 的零 点个 数 时 , 常 常通 过 整体  换元转化为方程, ( t )=0与 t=g (  )的根 的 

( 1 ) 若, (  )在 ( 1 ,+a 。 )上 是单调减 函  数, 且g (  )在 ( 1 , +∞)上有最小值 , 求 口的 
取值 范围 ;  

个数 , 再进一步转化为 函数 Y=  t ) 的零点个  数 以及直线 Y=t 与 Y=g ( x )图象交点 的个 
数.  

( 2 ) 若g (  ) 在( 一1 , +∞) 上是单调增 函 
数, 试求 , (  )的零点个数 , 并证明你 的结论.  
解  ( 1 ) 略.  

例4 ( 2 0 1 2年江苏高考题 )若 函数 Y =   ) 在  =  。 处取得极大值或极小值 , 则称  。  
为 函数 Y= , (  ) 的极值点. 已知 n , b 是实数 , 1  

( 2 ) 。 . ‘ g (  ) 在( 一1 , +∞) 上是单调增 函  数, . ‘ . g   (  )=e  一口≥ 0 , 即 口≤ e   对  ∈  
1  

和 一1 是函数, (  )=   +口  +   的两个极值 
点.   ( 1 ) 求 口和 b 的值 ;  

( 一1 , +∞) 恒成 立 ’ . . . 口≤   . 由   ):0 得 
e 

( 2 ) 设 函数 g (  ) 的导 函数 g   (  )=   )  
+2 , 求g (  )的极值点 ;  

n=  
^  f

' - . .i  ̄X f ( x )的零点个数就是直线 Y  

( 3 ) 设 h (  ) =  

) )一c , 其中c   E  

=o与 函数 ^ (  ) =  
? . ?  

图象 交 点 的个 数.  

[ 一2 , 2 ] , 求 函数 Y=h (  )的零点个数.  
解  ( 1 ) 口=0 , b=3 ( 过程略 ) .   ( 2 ) g (  ) 的极值点是 一2 ( 过程略 ) .   ( 3 ) 令t = , (  ) , 将方程  ) )=c 等价  转化为 , ( t )=c , t=, (  ) .  
, 

, (   )=   二  , . . . 令  (  )=0 得  :e .  

当  E ( 0 , e )时 h   (  )>0 , . ‘ .在 (   )在( 0 ,   e )上单调递增 ; 当  ∈ ( e , +0 0 ) 时h   (  )<   0 , . . . 在h (  ) 在( e , +∞) 上单调递减- . . . h (  )  
1  

)  L 站  

的最大值 为 h ( e )=   . 又 当  E ( 0 , 1 )时 
e 

h (  )<0 ; 当  ∈( 1 , +∞)时 h (  )>0 ; 当  
_ + O 时h (  ) 一 一∞; 当  一 +a 。时 h (  ) _ + 0 .  

- 2 /   2   3  
图 4  

故 可作出 | I l (  )=  
)  

的简 图 , 如图 3 .  

由导数 知识很容 易画出  )=   一 3  的 

图象 , 如图 4 , 且  一2 )=   1 )=一2   一1 )  
y = h ( x )  
 

1  
_ — —

e   。 。   \

 

=   2 )= 2 .  
~  

/  


图 3  

① 当 c=一2 时, 由   ) 的图象知, ( t )=  
c 有两个解 t 。=1 、 t 2=一2 ( 即直线 Y=c 与Y   =  t ) 的 图象有两个交点 ) . 再看 t=   ) , 当  t 取t  =1 时直线 Y=1 与 Y=, (  )的图象有 
?

D   / 1   e  

一 :  

7 ?  

高中数学教与学  
3个交点 ; 当t 取t 2 :一 2时直线 Y=一2 与 Y:  

2 0 1 4年  
( 2 )幽 效  (  )在 ( o, 1 T )内  且 只  两 个  

, (  )的图象有 2 个交点 , 故此时方 程 , (  ) )   =c 共有 5 个不 同的解.   ② 当 c=2时 , 由   ) 的图象知  t )=c   有两个解 £ 3=2 、   =一1 ( 即直线 Y=c 与 Y:   , ( t )的图象有两个交 点 ) , 再看 t=, (  ) , 当t   取t ,=2时直线 Y=2与 Y:   ) 的图象有 2   ) )  
个交点 ; 当t 取t  =一I 时直线 Y=一I 与 Y=  

零点. 证明如下 :  
由( 1 )知 

= 一 

)=  s i n   一   3


从而, ( 0 )  

< 0 √ I 詈 ) =  

> 0 . 又  ) 在  

( 0 , 詈 ] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 , 故 , (   ) 在   【 0 , 号 】 上 至 少 有 一 个 零 点 . 又 当  E  

)的图象有 3 个交点 , 故此时方 程  =c 共有 5个不 同的解.  

③ 当 一2 <c<2时. 由, (  )的图象 知 
, ( t )=c 有3 个 不同的解 t   , t   , t   , 满足 I   t   I <   2 , i=5 , 6 , 7 . 再看 t=   直线与 Y=   ) , 当t 分别取 t 5 , t   ,   t   时, Y=t 5 , Y=t   , Y=t , 这三条平行于 轴的  )的图象各有 3 个交 点 , 故此时  方程, (   ) )=c 共有 9个不同的解.   综上: 当I   c   I :2 时, 函数 Y:  (  ) 有5 个  零点 ; 当I   c I <2 时, 函数Y=h ( x ) 有9 个零点.  
三、 利用 零点 存在 定 理 和 函数 单调 性 判  断 函数零点个数 

( o ,  ̄ 一 ] n - , J - , f  ) = s  + …s   > o , , (   ) 在  
( 0 , 号 】 上 单 调 递 增 , 故  ) 在 ( o , 詈 】 上 只 有  


个零点.  

当  ∈ 【 詈 , 订 ] 时 , 令 g (   ) =  (   ) =  

s i n   + X C O S   . 由 g ( 詈 )  1 > 0 , g ( 盯 ) : 一 竹  
< O , R   g (   ) 在 【 詈 , 订 】 上 的 图 象 是 连 续 不 断  

零点存在定理  如果 函数 Y= , (  ) 在区  间[ n , b ]上的图象是连续不断的一条 曲线 , 且 
满足  口 )?   6 )<0, 那么, 函数 Y=, (  )在  区间 ( n , b )内有零点.  

的 , 故 存 在 m ∈ ( 詈 , 盯 ) , 使 得 g ( m ) : 0 ?  
由g   (  )  = 2 c o s   一x s i n   ,知  ∈  

( 詈 , 1 r ) 时 g   (   ) < 0 , g (   ) 在 ( 詈 , 霄 ) 上 单 调  
递减.  

用零点存在定 理可 判断 函数零 点是 否存 

在. 如果需要进一 步判 断零点是 否 唯一 , 可以  
借助 函数 的单调性. 一般 地 , 图象连续 不 断的 

当   ∈ (   , I T , m  , g (   ) > g ( m ) = 0 , 即   ,   (   ) > 0 , 从 而  ) 在 ( 詈 , m ) 上 单 调 递 增 ,   当   ∈ 【 詈 , m 】 时  ) ≥   詈 ) =   > 0 ,  
故  ) 在 [   , i T , m 】 上 无 零 点 .  
当  ∈ ( m, 1 T )时 , g (  )<g ( m)=0 , 即 

函数  ) 在 区间 ( Ⅱ , b ) 上单调 , 且, ( 。 ) ?  b )  
<0 , 则 函数 , (  )在 区 间 ( n , b )上 有唯 一 零 
点.  

例5 ( 2 0 1 2年 福 建 高 考 题 )已 知 函数 

) =   a x s i n  一 一 ÷ ( 口 n ∈  ) R ) , 且 在 l I   0 ,  l 詈 " I f   l 上  
的最大值 为 
二 

.  

(  )<0 , 从而  )在 ( m, 1 r ) 上单调 递减.   又 因为  m)>0 , , ( 1 T )<0 , 且 
上只有一个零点.   综上 , 函数 
个 霉 占.  

( 1 ) 求 函数  )的解析式 ;   ( 2 ) 判断 函数  )在 ( 0 , 1 T )内的零 点个  数, 并加 以证 明.  

) 在[ m,  

霄] 上 的图象是连续不断 的, 故  ) 在( m, 竹)  
)在 ( 0 , 盯 )内有且 只有 两 

解  ( 1  
8?  

)=x s i n   一÷( 过程略) ;  

?


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