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2013年吉林省长春市高中毕业班第四次调研测试文科数学

时间:2013-05-11


2013 年长春市高中毕业班第四次调研测试



学(文科)

命题人:长春市教育局教研室于海洋 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟,其 中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生

必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区 域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 .... 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1. 设集合 A ? {x x ? 2 ,0 ? n ? 4, n ? Z}, B ? {x x ? 2n, n ? Z} ,则 A ? B 为
n

A. {1, 2, 4,8,16} 2. 关于复数 z ? A. B. C. 3. 4.

B. {1, 2, 4,8}

C. {2, 4,8}

D. {2, 4}

D. 下列函数的图像一定关于原点对称的是 A. y ? ln(sin x)

(1 ? i) 2 ,下列说法中正确的是 1? i 在复平面内复数 z 对应的点在第一象限 复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? i 若复数 z1 ? z ? b (b?R) 为纯虚数,则 b ? 1 设 a , b 为复数 z 的实部和虚部,则点 ( a, b) 在以原点为圆心,半径为 1 的圆上
B. y ? sin x cos x C. y ? cos(sin x)
开始

D. y ? e

sin x

已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足

S8 ? 17 ,则公比 q = S4 1 1 A. B. ? 2 2 ?2 C. 2 D.
5. 执行如图所示程序框图,输出的 x 值为 A. 11 B. 13 C. 15 D. 4

x?2
x 是偶数?


x ? x ?1

x ? x?2 x ? 12
是 输出 x 否



6.

若 f ( x) ? x ? 则n? A.

1 ( x ? 2) 在 x ? n 处取得最小值, x?2
B. 3 C.

结束

5 2

7 2

D. 4

7.

8.

设函数 f ( x) ?| sin(2 x ? ) | ,则下列关于函数 f ( x) 的说法中正确的是 3 A. f ( x ) 是偶函数 B. f ( x ) 最小正周期为π ? ? 7? ] 上是增函数 C. f ( x ) 图象关于点 (? , 0) 对称 D. f ( x ) 在区间 [ , 3 12 6 已知直线 l :y ? x ? m (m? R) , 若以点 M (2,0) 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P , P 在 y 且 轴上,则该圆的方程为 A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 B. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 C. x2 ? ( y ? 2)2 ? 8 D. x2 ? ( y ? 2)2 ? 8 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A. 4 B.

?

9.

20 3
2
2

26 C. 3

D. 8
正视图
2

侧视图

2

俯视图

??? ??? ???? ? ? ? ??? ??? ? ??? ???? ? 10. 如图,平面内有三个向量 OA , OB , OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120? , OA 与 OC 的夹角 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 3 ? ???? 为 30? ,且 | OA |? 2 , | OB |? , | OC |? 2 3 ,若 OC ? ?OA ? ?OB (? , ? ?R) ,则 2 8 3 C A. ? ? 4 , ? ? 2 B. ? ? , ? ? 3 2 B 4 3 4 C. ? ? 2 , ? ? D. ? ? , ? ? 3 2 3
11. 已 知 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) 及 双 曲 线 以 a2 b2

O

A

y 2 x2 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线将第一象限三等分,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 a2 b a b 2 3 2 3 A. 2 或 3 B. 6 或 C. 2 或 D. 3 或 6 3 3
12. 已知空间 4 个球,它们的半径均为 2,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这 4 个 球都外切,则这个小球的半径为 A.

6 ?2

B.

6? 2

C.

10 ? 3

D. 2 2 ? 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). ? y ≥ 0??? x, y 满足约束条件 ? y ≤ x 13. 设 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为____________. ? ? x +2 y ≤ 2 ? 14. 已知 a, b, c 为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,满足 a cos B ? b cos A ? c sin C ,向量

m ? ( 3, ?1) , n ? (cos A,sin A) . 若 m ? n ,则角 B ? ___________.
15. 给出下列 5 种说法: ①在频率分布直方图中,众数左边和右边的直方图的面积相等;②标准差越小, 样本数据 的波动也越小;③回归分析就是研究两个相关事件的独立性;④在回归分 析中,预报变量是 2 由解释变量和随机误差共同确定的;⑤相关指数 R 是用来刻画回 归效果的, R 2 的值越大, 说明残差平方和越小,回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是____________(请将正确说法的序号写在横线上). 16. 函数 f ( x) ? x3 ? 2 xf ?(?1) ,则函数 f ( x ) 在区间 [?2,3] 上的值域是_____________. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2n (n ? N * , n ≥ 2) ,且 a1 ? 2 . (1) 求数列 {an } 的通项公式;

2n ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 1. (n ? 1)an 18. (本小题满分 12 分) 为了研究玉米品种对产量的影响,某农科院对一块试验田种植的一批玉米共 10000 株的生长 情况进行研究,现采用分层抽样方法抽取 50 株作为样本,统计结果如下: 高茎 矮茎 合计 11 19 30 圆粒 13 7 20 皱粒 24 26 50 合计 (1) 现采用分层抽样的方法,从该样本所含的圆粒玉米中取出 6 株玉米,再从这 6 株 玉米中随机选出 2 株,求这 2 株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率; (2) 根据对玉米生长情况作出的统计,是否能在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下 认为 玉米的圆粒与玉米的高茎有关?(下面的临界值表和公式可供参考:
(2) 若 bn ?
P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P

19. (本小题满分 12 分) 如图,平面四边形 ABCD 的 4 个顶点都在球 O 的表面上, AB 为球 O 的直径, P 为球面上一点,且 PO ? 平面 ABCD , BC ? CD ? DA ? 2 ,点 M 为 PA 的中点. (1) 证明:平面 PBC // 平面 ODM ;

M

C

B

O D A

(2) 求点 A 到平面 PBC 的距离. 20. (本小题满分 12 分)
2 2 1 已知 F 、 F2 是椭圆 x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,且离心率 e ? ,点 P 为椭圆上的 1 2 a b 一个动点, ?PF F 的内切圆面积的最大值为 4? .

1 2

3

? ???? ???? ???? ???? (2) 若 A, B, C , D 是椭圆上不重合的四个点,满足向量 F1 A 与 FC 共线, F1B 与 F D 共 1 1 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 线,且 AC ? BD ? 0 ,求 | AC | ? | BD | 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) .
(1) 当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间;
1 4

(1) 求椭圆的方程;

?x ≥ 0 (2) 当 x ? [0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内, ?y ? x ≤0 数 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. C 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,PA 是 ? O 的切线,PE 过圆心 O , AC 为 ? O 的 B 直径, PC 与 ? O 相交于 B 、 C 两点,连结 AB 、 CD . O
E D

求实

PA2 BD (1) 求证: ?PAD ? ?CDE ;(2) 求证: . ? PC ? PE AD A 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2? (cos? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 ,以极点为原点,极轴
方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为

P

?5x ? 1 ? 4t ( t 为参数). ? ?5 y ? 18 ? 3t (1) 求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C 2 的普通方程; (2) 设点 P 为曲线 C 2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,求这两条切线所成角余弦值
的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x) ?| x ? 3| ? | x ? 1| , x ? R . (1) 解不等式 f ( x) ? ?1 ; (2) 设函数 g ( x) ?| x ? a | ?4 ,且 g (x) ≤ f (x) 在 x ?[?2, 2] 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

2013 年长春市高中毕业班第四次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 题号 C C B D B B D 答案 8 A 9 B 10 C 11 C 12 A

简答与提示: 1. 【命题意图】本小题通过集合的性质与运算考查学生对集合问题的理解,本题属于基本题. 【试题解析】C 由题可知 A ? {2, 4,8} , B ? {偶数} ,因此 A ? B ? {2, 4,8} ,

2.

故选 C. 【命题意图】本小题通过复数的运算与性质考查学生的运算求解能力,本题将复数的考点考 查的比较全面,是一道复数的综合题,属于基本题. 【试题解析】C 由题可知 z ?

b ? 1 ,故选 C.
3.

(1 ? i)2 2i ? ? ?1 ? i ,若 z ? b (b?R) 为纯虚数, 则 1? i 1? i

【命题意图】本小题通过三角函数考查复合函数的奇偶性,对学生的函数部分的基础知识加 以考查,并且要求学生有一定的数形结合的想象能力. 本小题是一道侧重考查数学概念的基 本题. 【试题解析】B 由奇函数定义可知,函数 y ? sin x cos x 中, x 的定义域关于原点 对称

且 sin(? x) cos(? x) ? ? sin x cos x ,故选 B. 4. 【命题意图】本小题通过等比数列的求和考查学生的运算求解能力,要求学生全面的地把握 本题,通过设置漏洞,以让学生理解等比数列求和的易错点,本小题是一道侧重考查数学基 本公式应用的基本题.

【试题解析】D

a1 ( 1 q8 ) ? S 1 ? q8 1? q 由 题 可 知 q ?1 , 则 8 ? , ? ? 1 ? q4 ? 1 7 得 ? S4 a1 ( 1 q 4 ) 1 ? q 4 1? q

q4 ? 16 ,因此 q ? ?2 ,故选 D.
5. 【命题意图】本小题通过程序框图考查学生的逻辑推理能力,要求学生将程序框图读懂,并 且理解程序框图的相关作用,本小题是一道基本题. 【试题解析】B 由程序框图可知: x0 ? 2 , x1 ? 3 , x2 ? 5 , x3 ? 6 , x4 ? 7 ,

x5 ? 9 , x6 ? 10 , x7 ? 11 , x8 ? 13 而后输出 x 值为 13,故选 B.
6. 【命题意图】本小题通过均值不等式考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,本小题是一 道基本题. 【试题解析】B 由 f ( x) ? x ?

1 1 ? ( x ? 2) ? ? 2 ? 4 ,当且仅当 x?2 x?2

x?2 ?
7.

1 ? 0 即 x ? 3 时,取得等号,故选 B. x?2

【命题意图】本小题通过三角函数图像考查学生的运算求解能力与数形结合思想,本小题是 一道基本题. 【试题解析】D 由三角函数的性质可知: f ( x) ?| sin(2 x ?

?
3

) | 的单调区间

k? ? 2 x ?

?
3

? k? ?

?
2

,则

? 7? x ? [ , ] ,故选 D. 3 12
8.

k? ? k? ? ? ?x? ? (k ?Z) ,当 k ? 1 时, 2 6 2 12

【命题意图】本小题通过直线与圆的位置关系考查学生的运算求解能力与数形结合思想,本 小题是一道基本题. 【试题解析】A 由题意 P(0, m) ,又直线 l 与圆相切于点 P , MP ? l ,且直线的 倾斜

? 角 为 45 , 所 以 点 P 的 坐 标 为 (0, 2) .

???? | MP |? 2 2 , 于 是 所 求 圆 的 方 程 为

( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 ,故选 A.
9. 【命题意图】本小题通过三视图考查学生的空间想象能力与运算求解能力,是一道中档难度 的试题. 【试题解析】B 由三视图可知,该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥,

则 V ? V1 ? V2 ?

1 1 1 20 ? 2? 2? 4 ? ? ? 2? 2? 2 ? ,故选 B. 3 3 2 3

10. 【命题意图】本小题通过平面向量考查学生的运算求解能力,同时也考查学生的数形结合思 想,是一道中档难度的试题. ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 【试题解析】C 设 与 O A O B 方 向 的 单 位 向 量 分 别 为 a , b , 依 题 意 有 同 , ???? ? ? ??? ? ? ??? 3 ? ? ???? ??? 4 ??? ? ? 4 OC ? 4a ? 2b , 又 OA ? 2a , OB ? b ,则 OC ? 2OA ? OB ,所以 ? ? 2 , ? ? . 故选 2 3 3 C. 11. 【命题意图】本小题通过双曲线考查学生的推理论证能力与运算求解能力,进而考查学生化 归与转化的数学思想,是一道中档难度的试题. 【试题解析】C 则e ? 由题可知,双曲线渐近线的倾角为 30? 或 60? ,则 k ?

b ? 3或 a

3 . 3

2 3 c c2 a 2 ? b2 b ,故选 C. ? 2 ? ? 1 ? ( )2 ? 2 或 2 3 a a a a

12. 【命题意图】本小题通过具体的立体几何考查学生的空间想象能力与运算求解能力,着重考 查几何体中点线面的关系问题,是一道较难的试题. 【试题解析】A 由题意可知,小球球心 O 为正四面体 A1 的中心,到顶点的距离为 6 ,从而所求小球的半径

r ? 6 ? 2 . 故选 A.
O

C B2

B1

D

A2

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 6 14.

? 6

15. ②④⑤

16. [?4 2,9]

简答与提示: 13. 【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解能力,是一道基本题. 【试题解析】如图所示,在线性规划区域内,斜率为 ?3 的直线经 y 该区域并取最大值时,该直线应过点 (2, 0) ,因此 z ? 3x ? y 的 最大 6

过 值为 6.

1

O

2

x

14. 【命题意图】本小题通过解三角形考查学生的运用公式的求解问 的能力,是一道基本题. 【试题解析】由 a cos B ? b cos A ? c sin C ,可知 sin C ? 1 ,于是 C ? 可得 3 cos A ? sin A ? 0 ,解得: A ?



?
2

,再由

?? ? m?n

?
3

,所以 B ?

?
6

.

15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想,是一道中档难度的 综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知,②④⑤的说法正确.

16. 【命题意图】本小题通过导数的基本知识考查学生的推理论证能力,是一道中档难度的综合 试题. 【试题解析】由 f '( x) ? 3x2 ? 2 f '(?1) ,令 x ? ?1 ,则 f '(?1) ? 3 ? 2 f ?(?1) , 则 f '(?1) ? ?3 ,即 f ( x) ? x3 ? 6 x ,由导函数的性质可求得

f ( x) 在区间 [?2,3] 上的值域为 [?4 2,9] .
三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要通过递推数列通项公式的求取,考查对考生的运算求解能力、逻辑 推理能力, 对考生化归与转化的数学思想提出较高要求. 本题属于基础试题, 难度相对较低. 【试题解析】解:(1) 由 an ? 2an?1 ? 2n 可知 所以数列 {

an an ?1 ? ? 1, 2 n 2 n ?1

an } 是公差为 1 的等差数列. 2n a a 由等差数列的通项公式可知, n ? 1 ? (n ? 1) ? n . n 2 2
所以 an ? n ? 2n . (2) 由(1)可得 bn ? (6 分)

2n 1 1 1 , ? ? ? (n ? 1)an n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? 1? ?1. 2 2 3 n n ?1 n ?1
(12 分)

则 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 1 ?

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题通过统计与概率的相关知识,具体涉及到随机变量的分布列、数学期望 的求法和统计案例中独立性检验等知识内容,考查学生对数据处理的能力,对考生的运算求 解能力、推理论证能力都有较高要求. 本题属于统计概率部分综合题,对考生的统计学的知 识考查比较全面,是一道的统计学知识应用的基础试题. 【试题解析】解:(1) 依题意,取出的 6 株圆粒玉米中含高茎 2 株,记为 a , b ,矮茎 4 株, 记为 A, B, C , D ,从中随机选取 2 株的情况有如下 15 种:

aA, aB, aC , aD,bA,bB ,bC ,bD ,ab , AB , AC , AD ,BC ,BD ,CD .
其中满足题意的共有 aA, aB, aC, aD, bA, bB, bC, bD 8 种,则所求概率为 P ? (2) 根据已知列联表: 圆粒 皱粒 合计 50 ? (11? 7 ? 13 ?19)2 ? 3.860 ? 3.841 . 所以 K 2 ? 30 ? 20 ? 24 ? 26 又 p( K 2 ≥ 3.841) ? 0.050 , 因此能在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下认为玉米的圆粒与 高茎 11 13 24 矮茎 19 7 26 合计 30 20 50

8 . 15
(6 分)

(12 分) 玉米的高茎有关. 19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题通过立体几何的相关知识,具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的 平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力, 对学生的数形结合思想的考查也有涉及,本题是一道立体几何部分的综合题,属于中档难度 试题. 【试题解析】(1) 证明:

AB为圆O直径 ? ? ? BC ? CD ? DA ? 2 且 AB ? CD , BC ? CD ? DA?

则 CD 平行且等于 BO ,即四边形 OBCD 为平行四边形,所以 BC // OD .

AO ? BO ? ? ? ? OM // PB ? OD // 平面PBC ? AM ? PM ? ?? ? ? 平面ODM // 平面PBC ? OM // 平面PBC ? ?????????????????????????BC // OD ?
(6 分) (2) 由图可知 VP? ABC ? VA? PBC ,即 ? 则h ?

1 1 1 1 ? 2? 2 3 ? 2 ? ? ? 2? 7 ? h 3 2 3 2
(12 分)

4 21 4 21 ,即点 A 到平面 PBC 的距离为 . 7 7

20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查,具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识,提示考生对圆锥曲线的综 合题加以重视,本题主要考查考生的推理论证能力,运算求解能力、化归与转化以及数形结 合的数学思想. 【试题解析】解:(1)由几何性质可知:当 ?PF F2 内切圆面积取最大值时, 1 即 S?PF1F2 取最大值,且 ( S ?PF1F2 ) max 由? r ?
2

1 ? 2c ? b ? bc . 2

4 2 3 ? 得r ? 3 3 r C?PF1F2 , 2

又 C?PF1F2 ? 2a ? 2c 为定值, S ?PF1F2 ? 综上得

bc 2 3 ; ? 2a ? 2c 3 c 1 又由 e ? ? ,可得 a ? 2c ,即 b ? 3c , a 2 经计算得 c ? 2 , b ? 2 3 , a ? 4 , x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆方程为 (5 分) 16 12 ??? ? ??? ? (2) ①当直线 AC 与 BD 中有一条直线垂直于 x 轴时, | AC | ? | BD |? 6 ? 8 ? 14 . ? y ? k ( x ? 2) ? ②当直线 AC 斜率存在但不为 0 时,设 AC 的方程为: y ? k ( x ? 2) ,由 ? x 2 y 2 消 ?1 ? ? ?16 12

去 y 可得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 ,代入弦长公式得: | AC |?

????

24(k 2 ? 1) , 3 ? 4k 2

1 ? ? y ? ? k ( x ? 2) 1 2 1 1 ? 同理由 ? 2 消去 y 可得 (3 ? 4 2 ) x ? 16 2 x ? 16 2 ? 48 ? 0 , 2 k k k ?x ? y ?1 ?16 12 ? ??? 24(k 2 ? 1) ? 代入弦长公式得: | BD |? , 3k 2 ? 4 ???? ??? ? 168(k 2 ? 1) 2 168 所以 | AC | ? | BD |? ? 2 2 1 (3 ? 4k )(4 ? 3k ) 12 ? 1 ? 2 2 k ? 1 (k ? 1) 2 ???? ??? ? 96 1 49 ? t ? (0,1) ,则 ?t 2 ? t ? 12 ? (12, ] ,所以 | AC | ? | BD |? [ ,14) , 令 2 k ?1 4 7 ??? ? ??? ? 96 由①②可知, | AC | ? | BD | 的取值范围是 [ ,14] . (12 分) 7
21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要通过函数与导数综合应用问题,具体涉及到用导数来研究函数的单 调性等知识内容,考查考生的运算求解能力,推理论证能力,其中重点对导数对函数的描述 进行考查,本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题,也是一道关于数列拆分问题的典型 例题,对今后此类问题的求解有很好的导向作用. 【试题解析】解:(1) 当 a ? ?

1 1 2 时, f ( x) ? ? x ? ln( x ? 1) ( x ? ?1) , 4 4

1 1 ( x ? 2)( x ? 1) ( x ? ?1) , f ?( x) ? ? x ? ?? 2 x ?1 2( x ? 1)
由 f ?( x) ? 0 解得 ?1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 . 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) .
? x ? 0, (2) 因函数 f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内, ?y ? x ? 0

(6 分)

则当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立, 、 设 g ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ),只需 g ( x) max ? 0 即可. 由 g ?( x) ? 2ax ?
1 x[2ax ? (2a ? 1)] , ?1 ? x ?1 x ?1

(i) 当 a ? 0 时, g ?( x) ?

?x , x ?1

当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. (ii) 当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?
x[2ax ? (2a ? 1)] 1 ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? ?1 , x ?1 2a

① 若

1 1 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 , 2a 2

则 函 数 g ( x) 在 (0, ??) 上 单 调 递 增 , g ( x) 在 [0, ??) 上 无 最 大 值 , 当 x ? ?? 时 ,
g ( x) ? ?? ,此时不满足条件;

② 若

1 1 1 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上单调递减, 2a 2 2a

在区间 (

1 ? 1, ??) 上单调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,当 x ? ?? 时, 2a

g ( x) ? ?? ,不满足条件.

(iii) 当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

x[2ax ? (2a ? 1)] ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1

∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, 0] . (12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算,具体涉及到共圆图形的判断和圆的 性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.本小题针对考生的平面几何思想与 数形结合思想作出考查. 【试题解析】解:(1) 由 PA 是圆 O 的切线,因此弦切角 ? PAD 的大小等于夹弧所对的圆周 角 ?ACD ,在等腰 ?OCD 中,OD ? OC ,可得 ?ACD ? ?CDE ,所以 ?PAD ? ?CDE . (5 分) (2) 由 ?PBD 与 ?PEC 相似可知,

PB BD 2 ? ,由切割线定理可知, PA ? PB ? PC ,则 PE CE 2 PA PA2 BD PB ? ? ,又 EC ? AD ,可得 . (10 分) PC PC ? PE AD

23. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面 直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容. 【试题解析】解:(1) 对于曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2? (cos? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 , 可化为直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,即 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ;

?5x ? 1 ? 4t 对于曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 5 y ? 18 ? 3t ? 可化为普通方程 3x ? 4 y ? 15 ? 0 .

(5 分) 弦值

(2) 过圆心 (1, ?2) 点作直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的垂线,此时两切线成角 ? 最大,即余 最小. 则由点到直线的距离公式可知,

1 7 2 ,因此 cos ? ? 1 ? 2sin ? ? , 2 4 8 32 ? 42 7 因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是 [ ,1) . (10 分) 8

d?

| 3 ?1 ? 4 ? (?2) ? 15 |

? 4 ,则 sin

?

?

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以 及解法等内容.

?4 【试题解析】解:(1) 由条件知 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 1|? ??2 x ? 2 ? ??4 ?
由 f ( x) ? ?1 ,解得 x ?

x ? ?1 ?1 ? x ? 3 , x?3
(5 分)

3 . 2 (2) 由 g ( x) ≤ f ( x) 得 | x ? a | ?4 ?| x ? 3 | ? | x ? 1| ,由函数的图像 可知 a 的取值范围是 [?4, 0] .
y
4
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(10 分)

2 -2

4

O

x

-4


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